弹塑性力学第11章.ppt

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1、第十一章第十一章 理想刚塑性体的平面应变问题理想刚塑性体的平面应变问题n11-1 平面应变问题的基本方程n11-2 滑移线n11-3 滑移线的几何性质n11-4 边界条件n11-5 刚性平头冲模的压入n*11-6 滑移线场的数值解法引言 前面主要是讨论了塑性力学中的一些简单问题。但是，对许多具有重大实际意义的问题，由于它们的复杂性，要获得准确的解答往往是很困难的。因此，不得不引用某些假设，使问题得到适当的简化，然后找出近似解答。忽略弹性变形，而把材料看成是刚塑性的，这就是从材料方面作的一个简化。当塑性变形可以自由地发展，这种简化是合理的。但在弹性区特别是弹、塑性区交界处的所谓过渡区域内，这样的

2、简化带来的误差就比较大。尽管如此，引用刚塑性假设以后，仍将使很多具有实际意义的问题得到一个很好的近似解。当物体的形状是很长的或两端固定的等截面柱体，而所受载荷与横截面平行且沿长度不变，这就是弹性力学中的平面应变问题。其变形特点是沿长度方向的应变为零，横截面内的应变与长度方向坐标无关。土建、水利中的挡土墙和重力坝等，都是很接近于平面应变问题的。对于理想塑性体，当截荷逐渐加大时，都可到达极限状态，即载荷不变而变形可以不断增长的状态，与极限状态对应的载荷即为塑性极限载荷。从前面的一些例子中可以看出，如果只要求确定塑性极限载荷，则不须从弹性状态到塑性状态一步步地求解，而可以采用刚塑性材料模型直接求解，

3、所得结果与弹塑性结果相同。本章将讨论理想刚塑性体在平面应变条件下的塑性极限载荷以及在塑性区内的应力和变形分布。由于忽略弹性变形，以下所讲的刚性区实际上包括弹性区以及与弹性变形同量级的约束塑性变形区。111 111 平面应变问题的基本方程平面应变问题的基本方程 1 1应变状态和应力状态图应变状态和应力状态图11-1 11-1 平面平面应变应变取图111所示平头冲模压入为例，在横截面内取x、y轴，且取z轴垂直于该平面。对于平面应变问题，物体内各点的位移平行于xy平面，且与z无关，即u=u（x，y）v=v（x，y）w=0由几何方程应有而 也与z无关，则应变张量为图11-1 平面应变 (111)z=0

4、 yz=zx=0 x y xy （112a）相应的应变增量和应变率张量为:(112b)取和，则有关于应力分量，根据理想刚塑性体的evyMises本构方程：或者就有yz=zx=0,由z=0，则得：S z=0 即 （113）（114）解得进而可得平均应力为：设 所以，塑性区的应力张量和应力偏张量分别为：由于 ,所以 是主应力之一。如设 ,由材料力学可得另外两个主应力，从而有yz=zx=0 z 123 （115）(116)最大剪应力为：z方向的正应力也等于平均应力。显然在平面应变情况下，每一点的应力状态相当于平均应力加上纯剪应力，如图112所示。如不考虑平均应力，则其应力状态相当于纯剪应力状态。作用

5、于max作用面上的正面应力为 2.基本方程基本方程（1）平衡微分方程 讨论即将流动的瞬时，体积力不计，且各量与坐标z无关，则有图11-2 应力状态 （117）（2）屈服条件将主应力表达式代入Tresca和Mises屈服条件，得出相同形式的屈服条件，即 （118）式中：按Tresca屈服条件 ；按Mises屈服条件 。（3）本构关系按 Levy Mises 本构关系，有可以化作（11-9a）(119b)即（4）体积不可压缩条件由于略去弹性变形，材料成为不可压缩的，则有(1110)基本方程组中的五个式子：（117）、（118）、（119）、（1110），并利用边界条件，将决定塑性区内的三个应力分量

6、x、y、xy和两个速度分量x、y。对于理想刚塑性问题，在塑性流动区域中的应力分布一般是唯一的，与之对应的塑性极限载荷也是唯一的。但速度场则只能确定到一个未定因子的范围。112 滑移滑移线线 1滑移滑移线线及其微分方程及其微分方程 塑性区内任一点的应力状态，如图113（a）所示，可作图113（b）所示的应力圆。从图中可见，它可用平均应力与纯剪应力状态 相叠加的应力状态来表示。平均应力=z=。最大剪应力所在平面平行于 z轴，且与主平面成 45 的夹角。其上的正应力和切应力则分别为应力圆上、点的横坐标和纵坐标所表示。由屈服条件（118）式可知，此应力圆的半径为k，即 。在塑 性区内每 一点都能找到一

7、对正交的极值剪应力方向。于是，在塑性区内可以 作出两组正交的连续曲线，曲线上每一点的切线即为该点处极值剪应力作用 面的法线方向，所以，它们是极值剪应力的方向线，分别称为族及族滑移滑移线线。在塑性区内布满了这种正交的滑移线网络，形成滑移线场。由图113可知，滑移线是极值剪应力 所在面的法线，如取、为 右手坐标系，则主应力1应位于、坐标系的第一、三象限，所以，由1 方向顺时针转过45就是方向，逆时针转45就是方向，这种关系使得我 们很容易通过最大主应力方向确定滑移场方向。角是线的切线方向与x轴的 夹角，并规定相对于x轴逆时针转向为正。图11-3 塑性区一点的应力状态如图114所示的、族滑移线，其微

8、分方程式分别为(1111)图11-4 滑移线单元体上的应力式中=（x,y），是各点位置的函数。2.用滑移用滑移线线坐坐标标系表示的平衡方程系表示的平衡方程 在建立了正交的滑移线网络后，为了今后讨论方便起见，现将上节在x、y 坐标系中的平衡方程转换到、曲线坐标系中。在该坐标系中的平均应力与剪应力k，如图114所示。塑性区中由应力圆可得出：（1112）因此，求应力分布的问题就变成求角和平均应力的分布问题。将式（1112）代入平衡方程（117），得 （1113）这是两个含有未知函数（x、y）及（x、y）的一阶偏导数的非线性微分方程。可以证明，该方程组属双曲线型，滑移线即为它的特征线，因而可通过滑移线

9、来求此偏数分方程组的解。取、作为曲线坐标，如图114所示，并设x、y沿、方向，即以=0代入式（1113），得 （1114）式中 是沿、线的导数。因此就有 (1115)其中C和C为常数。沿同一条（或）线，参数C（或C）之值不变，但由一族中某一条滑移线转移到另一条滑移线时，这些常数一般是要变化的。式（1115）是在、坐标系中的平衡方程，表示、沿这些线的变化规律，称为汉基（Hencky）方程,也常被称为塑性方程的积分。它们是塑性理论应用于压力加工的基本方程。如果已知滑移线场，即已知场的变化，则应用式（1115），可根据某点b的平均应力去确定场内任意点a的平均应力，如图115所示。显然，滑移线方向变化

10、越大，平均应力的变化也越大。图11-5 由b确定a 图11-6 滑移线坐标系中的速度分量 3用滑移线坐标系表示的速度方程 如图116所示，设 、为塑性区内的任意点 O的速度矢量沿滑移线及方向的速度分量。从而速度矢量沿直角坐标x与y方向的分量x、y与 、关系为（1116）将上式代入（119a）得 现取x、y沿、方向，即=0。因 为有限值，所以上式左侧分子应为零，得（1117）（1118）这就是沿滑移沿滑移线线的速度方程的速度方程。顺便指出，滑移线具有刚性性质。由式（119b）可得 如取x、y沿、方向，=,则有而由式（1110）有所以就有 和 即沿滑移线的相对伸长速度为零，表明滑移线具有刚性性质，

11、塑性区的变形只有沿滑移线方向的剪切流动。如果已知滑移线场，即的变化为已知，则可由式（1118）用差分法求出 、沿滑移线变化的规律。因此，关健也在于如何作出滑移线场。113 滑移线的几何性质滑移线的几何性质 滑移线场具有某些固有的几何性质，这些性质对求解具体问题很有帮助。1.Hencky第一定理第一定理 现考虑一个以两条线(AP、BQ)和两条线(AB、PQ)为界的曲边四边形ABQP，如图117所示。对于滑移线场中任一结点，存在有(a)图11-7 Hencky第一定理证明由（a）式可解出：(b)对于曲边四边形ABQP则有 沿1两结点角之差：BA=沿2两结点角之差：QP=上下两式比较，显然有(c)它

12、说明了同族的两条滑移线与另一族中任一条滑移线在交点处的切线间的夹角不变。同样可以证明存在有(d)它说明了同族的两条滑移线与另一族中任一条滑移线在交点处的平均应力的改变是相同的。归纳起来：同一族的两条滑移线与另一族中任一条滑移线在交点处的切线间的夹角以及平均应力的改变都是相同的。这就是Hencky第一定理。推论 1:若一族滑移线某一段为直线，则被另族滑移线截割的所有这族的相应线段也都是直线，且长度相等。如图118（a）所示。由于族滑移线的直线段AB，在与族滑移线交点A、B处的切线间夹角为零，由式（c）可知，在A、B处切线间夹角也为零，从而AB、AB等均为直线。任何曲线的法包线是它的曲率中心的几何

13、轨迹。显然，滑移线AA和BB具有同一条法包线，如图118（a）。原来的曲线AA和BB可由法包线展开而作出，在画出曲线BB时，仅比画出曲线AA缩短一个线段AB。所以AB与AB的长度相等。在区域AABB内，沿同一线（直线）上的值不变，故也不变。应力分布仅沿线改变（因在改变）。这种应力称为简单应力场。图（b）所示的中心场就是一例。推论2 若两族滑移线均为直线，则在此区域内的任一点的、值都相同。这样的滑移场形成均匀应力场，如图119所示。图11-8 图11-9 均匀应力场 图11-10 Hencky第二定理的证明 2.Hencky第二定理第二定理 如沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线在交点处的曲率

14、半径改变量，在数值上等于所移动过的距离。如用公式表示则为（1119）如、线的曲率半径分别为R、R；则曲率就为（e）这里规定(或)线的曲率中心位于S（或S）增加方向时，曲率半径为正。反之为负。图1110所示R、R均为正。由于沿着线曲率增加方向，角增加；而沿着线曲率增加方向，角减少。因此，式（e）中的两式出现不同的正、负号。考虑由无限接近的、族滑移线所围成的曲边四边形ABQP如图1110。式（e）可写成(f)沿线对S计算导数：(g)另一方面，由图1110中的几何关系来求此导数。在此，研究的是微段弧，为了便于说明问题，以割线代替切线，从图上可知由此可得 由（g）式即有 图11-11 应力导数间断与曲

15、率间断根据Hencky第一定理，是不随S变化的常数，因而就有同理可证 这就是Hencky第二定理。为了数值计算方便，将式（1119）写成：沿线 dR+dS=0沿线 dR+dS=0由于dS和dS可分别以Rd以及（Rd）来代替，故上式可写成（1120）用式（1120）来确定、滑移线的形状，也是比较方便的。推论 若应力分量对(或)的导数在通过(或)线时发生间断(不连接），则(或)线在通过(或)线处的曲率也将发生间断。式（1114）第一式为或写作 而 为线的曲率。因此，如沿线的应力导数 在某点处间断，则该点的曲率 亦发生间断。这说明应力导数的不连续性只能在跨过另一族滑移线时发生，并且体现在曲率的不连续

16、性上，如图1111所示，A点以左R=，而A点以右R为有限值，而这咱变化是在跨过一条线时发生的 至此，我们得到了沿滑移线的应力、速度和曲率半径的三组方程，为今后应用方便，将它们归纳如下：（1121）11.4 边界条件边界条件n以以上上已已将将基基本本方方程程变变换换成成沿沿滑滑移移线线的的方方程程，因因此此边边界界条条件件也要作相应的变换。也要作相应的变换。n 1给定边界上的应力确定给定边界上的应力确定和和n在在塑塑性性区区内内各各点点的的应应力力满满足足屈屈服服条条件件，因因此此，由由边边界界应应力力n、n（图图1112）所所作作应应力力圆圆的的半半径径为为k。但但是是，通通过过(n、n)点点

17、所所作作半半径径为为k的的应应力力圆圆有有两两个个，因因而而与与边边界界面面垂垂直直的的截截面面上上的的应应力力t有有两两个个值值，如如图图1113所所示示。t的的确确定定必必须须从从问问题题的的整整体体来来考考虑虑。例例如如一一个个张张角角为为2r90的的平平面面应应变变无无限限楔楔体体，图图1114（a），在在AB边边上上作作用用有有均均匀匀压压力力p,AC边边为为自自由由边边界界。考考虑虑AC边边上上任任一一点点e，已已知知n=n=0，由由屈屈服服条条件件得得t=2k，据据此此可可作作两两个个应应力力圆圆，如如图图1114（b）。根根据据楔楔体体受受力力后后的的变变形形分分析析，AC边边

18、受受压压，应应取取t=2k，即取左边的应力圆。，即取左边的应力圆。d点的平均应力。点的平均应力。图11-14 从问题的整体考虑确定应力圆确定后，即确定了主应力，边界上的应力圆确定后，即确定了主应力，边界上的、线也线也就可以确定了。就可以确定了。下面讨论用数学公式表示边界条件。设物体表面下面讨论用数学公式表示边界条件。设物体表面上任上任一点的外法线一点的外法线n n与与x x轴的夹角为轴的夹角为，如图，如图11111212所示，则该所示，则该点的应力点的应力nn和和nn可由应力分量可由应力分量xx 、yy和和xyxy表示为表示为(a)n在塑性区内有在塑性区内有:将式将式(b b)代入式代入式(a

19、 a)，则有，则有(b)(c)上式即为塑性区的边界条件上式即为塑性区的边界条件 ,如果边界上给定如果边界上给定nn 、nn，则可求得边界处沿滑移线的平均，则可求得边界处沿滑移线的平均应力应力以及以及值，由上式可得值，由上式可得（11-22）式中，的取主值。m为任意正、负整数或零，可从角的选取中确定。上式说明，对应于给定的n、n，和并不是唯一的，还需根据具体问题来正确选取。例如，可以根据边界各点的切向正应力t的性质来确定，因为平均应力为所以有t=2n （1123）当t的正负号可以判断时，由式（1123）就能确定的正负号，进而确定式（1122）中的正负号。或者，由最大主应力1的方向来确定方向，即决

20、定角。下面讨论两种特殊情况：光滑接触表面。边界上n 0，而n=0，即边界面为主平面之一。由（1122）式得如取m=0，则，即滑移线与边界成45夹角。在边界为直线时，滑移线场如图1115。接触表面的摩擦力达到变形金属的物理性质所能允许的最大值，即边界上的n=k。边界面即为极值剪力作用面，因此，在这种情况下，一族滑移线与边界成90，另一族则与边界线有公切或以边界线为其包络线。当边界线为直线时，滑移线场如图1116所示。上面讨论的是两种极端情况，对于其它情况，上面讨论的是两种极端情况，对于其它情况，即即00nnkk时，滑移线与边界的夹角值介于时，滑移线与边界的夹角值介于上述两者之间。上述两者之间。2

21、 2刚塑性区交界线刚塑性区交界线如果不计整体的刚体位移，可以认为在刚性如果不计整体的刚体位移，可以认为在刚性区内速度区内速度 ，而在塑性区内，而在塑性区内 不不能全为零，所以，在刚塑性区交界线上必有能全为零，所以，在刚塑性区交界线上必有速度间断，可以证明：速度间断面必为滑移速度间断，可以证明：速度间断面必为滑移线或滑移线族的包络线。线或滑移线族的包络线。3两个塑性区的交界线如果两个塑性区的交界线L不是滑移线，图1117，则和通过时要发生间断。这种间断相当于通过一点有两个不同的应力圆，参看图1113，即法向应力n、n连续，而切向正应力t间断，其值为 如图11-18所示同时，由应力圆上转角的关系可

22、知L与两边滑移线的夹角必相等，即图11-17中所示的+=11115 5 刚性平头冲模的压入刚性平头冲模的压入现讨论宽为现讨论宽为2b2b、长为、长为l l的条形刚性平头冲模以速度的条形刚性平头冲模以速度v v压入塑性压入塑性介质（半无限平面）时，在极限状态下介质的塑性流动问题。介质（半无限平面）时，在极限状态下介质的塑性流动问题。如图如图11111919（a a）所示，介质内各点处于平面应变状态。）所示，介质内各点处于平面应变状态。假设冲头与平面间的接触表面光滑，冲头对介质假设冲头与平面间的接触表面光滑，冲头对介质的压力的压力p p均匀分布。于是，均匀分布。于是，ABAB为光滑的直线边界，为光

23、滑的直线边界，而而AEAE、BFBF为直线的自由边界。图为直线的自由边界。图11111919（a a）所示）所示为为HillHill提出的滑移线场提出的滑移线场.由弹性力学知，由弹性力学知，A A、B B两点可能因应力集中产生很大两点可能因应力集中产生很大应力而首先进入屈服，如图应力而首先进入屈服，如图11111919（b b）。随着外力）。随着外力的增加，塑性区由的增加，塑性区由A A、B B两点逐渐扩展，最终连成一两点逐渐扩展，最终连成一体而发生塑性流动，由此可构造出图示的滑移线场。体而发生塑性流动，由此可构造出图示的滑移线场。在开始流动的瞬间，冲头以速度在开始流动的瞬间，冲头以速度v v

24、向下移动，此时的向下移动，此时的载荷即为极限载荷。载荷即为极限载荷。1 1滑移线场滑移线场 由于由于问题问题的的对对称性，可只称性，可只讨论讨论右半右半边边。在在边边界界AE上，上，n=y=0，n=xy=0。根据上。根据上节对节对第一种特第一种特殊情况的殊情况的讨论讨论可知，滑移可知，滑移线为线为直直线线，且与，且与AE边边界成界成45夹夹角。角。同理，在同理，在边边界界AO上，因上，因为为，n=y=p，n=xy=0，滑移，滑移线线也也为为直直线线，且与，且与AO边边界成界成45夹夹角。角。在在ACDACD区内，区内，ACAC和和ADAD为直线且互相垂直。现考察它们是同为直线且互相垂直。现考察

25、它们是同族滑移线，还是异族滑移线。若为同族滑移线，则由于族滑移线，还是异族滑移线。若为同族滑移线，则由于A A为应为应力奇点，力奇点，ACAC与与ADAD为直线，将构成夹角为为直线，将构成夹角为9090的中心场（中心的中心场（中心扇形区）扇形区）ACDACD；若为异族，则根据；若为异族，则根据HenckyHencky第一定理，该区滑移第一定理，该区滑移线均匀直线，形成均匀应力场。这就要求图线均匀直线，形成均匀应力场。这就要求图11111919（a a）中的）中的AA点与点与OO点的应力相同，这是不可能的。因为点的应力相同，这是不可能的。因为OO点位于点位于AOCAOC区，区，AA点位于点位于A

26、DEADE区，两个区域受力不同，区内的平均应区，两个区域受力不同，区内的平均应力力显然不同。所以，显然不同。所以，ACAC与与AD AD 只可能为同族滑移线，而只可能为同族滑移线，而ACD ACD 为中心扇形区。为中心扇形区。确定两族滑移线：在确定两族滑移线：在ADEADE区内，取单元区内，取单元a a进行进行分析，如图分析，如图11111919（c c），当介质发生流动时，），当介质发生流动时，单元单元a a沿着滑移线往沿着滑移线往AEAE边界挤出，将受到图示方边界挤出，将受到图示方向的剪应力向的剪应力k k作用，据此可确定作用，据此可确定及及线。线。2.2.塑性区应力分布与极限载荷塑性区应

27、力分布与极限载荷n AED区域：该区为均匀应力区，取边界上的E点进行分析。已知 ，E点的应力状态如图1120所示。,于是由屈服条件：得t=x=2k。因位于、线第一、三象限的主应力n=0是最大主应力，故t应为负值，即t=-2k。由此可得E点的平均应力为 这也就是AED区域内任一点的平均应力值。ACDACD区域：该区为中心扇形区，平均应力区域：该区为中心扇形区，平均应力只沿只沿线变化，沿线变化，沿线不变。取任一点线不变。取任一点Q Q进行分析。进行分析。由方程（由方程（11111515）第一式有）第一式有即由此可见，只要知道由此可见，只要知道Q Q点的位置，确定了就点的位置，确定了就可求得可求得Q

28、Q，再利用（，再利用（11111212）式求出该点）式求出该点的应力分量的应力分量xx、yy和和xyxy。AOCAOC区域：该区为均匀应力区。以区域：该区为均匀应力区。以O O点为研究对象，点为研究对象，已知，则沿已知，则沿线有线有即即 确定极限载荷确定极限载荷P P：冲头下任一点（如：冲头下任一点（如O O点）沿点）沿y y方向的方向的应力为应力为得出得出已知冲头宽度为已知冲头宽度为2b，则单位长度的极限载荷，则单位长度的极限载荷为为3.3.速度场速度场 已知沿已知沿ABAB边界边界 ；沿刚、塑性分界；沿刚、塑性分界线线OCDEOCDE要求法向速度连续，所以要求法向速度连续，所以 。AOCA

29、OC区：已知区：已知 ，由式（，由式（11111818）沿）沿线有线有 所以所以 即即AOCAOC区域为均匀速度场。式中常数可由边界条件确区域为均匀速度场。式中常数可由边界条件确定。在定。在ABAB边界上边界上 ，要求法向速度连续，要求法向速度连续，故有故有 即为即为ACDACD区：该区内区：该区内 。沿。沿线有线有 即即 所以所以 由由AOCAOC和和ACDACD交界线上的速度值可知，在交界线上的速度值可知，在ACDACD区也有区也有 AEDAED区：同样可得区：同样可得 ，.至此，塑性区内各点的速度已全部求得。沿至此，塑性区内各点的速度已全部求得。沿线线 ；沿；沿线线已知冲头长度为已知冲头

30、长度为l l，冲头下压时单位时间内压下的体，冲头下压时单位时间内压下的体积为积为 V=V=2bl2bl在在AEAE、BFBF边界上，由于沿边界上，由于沿DEDE、GFGF的速度为的速度为 ，因而向上的垂直分量为因而向上的垂直分量为。AEAE、BFBF的长度均为的长度均为b b，因，因而被挤出的材料体积为而被挤出的材料体积为 V V=2bl2bl所以有所以有 V V=V=V符合体积不可压缩的假设。符合体积不可压缩的假设。本例除以上讨论的Hill解外，尚有Prandtl解。这个解相当于把原来的塑性区域加以扩充，如图1121。显然，AOC1D1E1中的应力分布仍和Hill解一样，所对应的极限压力p和

31、极限载荷P也不变，它和Hill解的最大差别在于速度分布不同。如图1121，沿AB上各点的不再需要等于零，而等于 。这样可以定出 。在AD1E1区，由于法向速度 =0，因此，可得到沿AE1向上的速度分量为 ，比Hill解小一半，但体积不可压缩条件仍然满足，因为与Hill解相比，AE1=2AE，即向上移动的面积增大了一倍。4Prandtl解n由上面两种解答可见，极限载荷是唯一的，而速度分布有差异。n对于实际的弹塑性介质变形情况，如图1122所示。图中EDCOHGF为塑性流动区，阴影区为约束塑性变形区，EIF下面的是弹性区。11116 6 滑移线场的数值解法滑移线场的数值解法n 从理论上讲，有了方程

32、式和边界条件，就可求出从理论上讲，有了方程式和边界条件，就可求出塑性区内的滑移线网和应力、速度分布。实际上塑性区内的滑移线网和应力、速度分布。实际上只有少数边值问题才有这样的分析解。对于比较只有少数边值问题才有这样的分析解。对于比较复杂的问题，一般是利用滑移线的几何性质，采复杂的问题，一般是利用滑移线的几何性质，采用数值计算方法加以解决。下面介绍一种差分方用数值计算方法加以解决。下面介绍一种差分方法，它是根据给定的边界数值，用有限差分法推法，它是根据给定的边界数值，用有限差分法推算滑移线网络上各点的坐标，算出各点的参数，算滑移线网络上各点的坐标，算出各点的参数，进而求出各点的应力。进而求出各点

33、的应力。在力给定边界附近的塑性区，滑移线场大致可以在力给定边界附近的塑性区，滑移线场大致可以分为以下三种情况。分为以下三种情况。1 1第一类边值问题第一类边值问题RiemanRieman问题问题 图11-23 第一类边值问题 给定的边界为两条正交的滑移线，如图1123，OE和OF分别为线和线，其上的和值为已知。为了决定EOF附近的滑移线场，今研究一个小单元体OACB。根据Hencky第一定理，应有 (a)上式右侧为已知的边界值，从而可以算出。取微线段BC的平均斜度为 ，将滑移线的微分方程 改写成有限差分形式，则为 (b)同样地，因AC为线，其微分方程为 ，则有(c)由式由式(a)(a)、(b)

34、(b)、(c)(c)可以计可以计算算CC 、xCxC、yCyC值。用同值。用同样的方法，按图上箭头所指样的方法，按图上箭头所指的顺序逐步计算，就可以确的顺序逐步计算，就可以确定定OEDFOEDF内滑移线结点的位置内滑移线结点的位置及及值。在滑移线场确定以值。在滑移线场确定以后，就可以根据边界上的应后，就可以根据边界上的应力值确定场内各点的应力值。力值确定场内各点的应力值。2.2.第二类边值问题第二类边值问题CauchyCauchy问题问题 n给定的边界为一条不与滑移线重合的曲线，如图1124所示。设AB即为已知应力的边界，它与两族滑移线相交。既然AB的形状和它上面的应力是已知的，则根据边界条件

35、，由式（1122）可以确定其上各点的和。对于AB附近的任一单元ACD，由式（1115）应有 n因为A、A、D、D是已知的，则由式（d）就可算出C和C。利用已知的C，可以类似于式(b)和(c)用差分的方法计算C点的坐标xC和yC。用这样的方法就可算出边界附近各点的值，依此类推，就可以算出整个AEB内各点的应力。(a)3.3.混合问题混合问题n在此，给定的两条边界，一条与滑移线重合，另一在此，给定的两条边界，一条与滑移线重合，另一条不与滑移线重合，如图条不与滑移线重合，如图11112525所示，所示，OAOA为为滑移滑移线，线，OBOB为只给定为只给定的曲线。在的曲线。在OAOA上近上近O O 点

36、处取一点点处取一点D D，设过，设过D D点的点的线与线与OBOB的交点为的交点为C C。为了确定。为了确定C C点位置，点位置，可以采用逐次逼近的方法。可以采用逐次逼近的方法。n具体作法：先由具体作法：先由D D作作ODOD的垂线交的垂线交OBOB于于CC，它就是，它就是C C点点的第一次近似；然后过的第一次近似；然后过D D点再作与点再作与x x轴夹角为轴夹角为 的直线交的直线交OBOB于于CC，它是，它是C C点的第二次近似；重复这点的第二次近似；重复这一步骤，直到前后两次近似的差满足计算精度的要一步骤，直到前后两次近似的差满足计算精度的要求为止。求为止。DCDC线确定以后，线确定以后，CDEFCDEF区域就是区域就是RiemanRieman问题，问题，按其方法求解。重复上面的步骤可以确定按其方法求解。重复上面的步骤可以确定G G点，而点，而GEHIGEHI区域又是区域又是RiemanRieman问题。如此反复求解下去，最问题。如此反复求解下去，最后就可作出后就可作出AOBAOB内的滑移线场。内的滑移线场。n上述求解方法是假定上述求解方法是假定OBOB与与OAOA在在O O点具有相同的点具有相同的值。值。如果两者的如果两者的值不同，那么值不同，那么O O点就会有一个奇点，在点就会有一个奇点，在此不再讨论。此不再讨论。