14.2乘法公式 、14.3因式分解.ppt

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1、5米5米米x米米(X-5)米米(X+5)米米 村主任说村主任说:“邓老师啊邓老师啊,咱村因工业用地需要咱村因工业用地需要,要要动用你家那块正方形的土地动用你家那块正方形的土地,村里的方案是把这块地的村里的方案是把这块地的一边减少一边减少5 5米，另一边增加米，另一边增加5 5米，这样你也没什么吃亏，米，这样你也没什么吃亏，你看如何？如果可以你看如何？如果可以,麻烦你到村委签个名麻烦你到村委签个名!”我一听我一听,我就纳闷我就纳闷,我能否签这个名我能否签这个名?同学们，帮老同学们，帮老师分析一下，我到底会不会吃亏？师分析一下，我到底会不会吃亏？计算下列各题：计算下列各题：(1)(a+2)(a-2

2、)=_(2)(3+x)(3-x)=_(3)(2m+n)(2m-n)=_观察这些等式，左边的两个二项式进行的是什么运算,它们有什么特点？等式右边呢？议一议议一议你发现了什么规律？请用数学表达式表示；你能用自己的语言叙述这个规律吗？(a+b)(ab)=a2b2两数两数和和与这两数与这两数差差的积的积,这两数的这两数的平方差平方差.等于等于平方差公式：平方差公式：练一练练一练练一练练一练阅读算式，按要求填写下面的表格阅读算式，按要求填写下面的表格2m3n(-2m+3n)(2m+3n)3x2(2-3x)(2+3x)5x(x+5)(x-5)写成写成“a2 2-b2 2”的形式的形式与平方差与平方差公式中

3、公式中b b对应的项对应的项与平方差与平方差公式中公式中a对应的项对应的项算式算式(3n)-(2m)利用平方差公式计算的关键是利用平方差公式计算的关键是_利用平方差公式计算（先确定各题的利用平方差公式计算（先确定各题的a与与b再填空）再填空）(1)(5+6x)(5-6x)=()2-()2=_(2)(x-2y)(x+2y)=()2-()2=_(3)(-m+n)(-m-n)=()2-()2=_符号相同的项是符号相同的项是a,符号相反的项是符号相反的项是b56x25-36x2x2yx2-4y2-mnm2-n2 注意注意注意注意准确确定准确确定a和和b怎样确定怎样确定a与与b_运用平方差公式进行计算运

4、用平方差公式进行计算:1 1口答下列各题：口答下列各题：(l)(-(l)(-a+b)(a+b)=a+b)(a+b)=_(2)(a-b)(b+a)=_(2)(a-b)(b+a)=_(3)(-a-b)(-a+b)=_(3)(-a-b)(-a+b)=_(4)(a-b)(-a-b)=_(4)(a-b)(-a-b)=_a a2 2-b b2 2a a2 2-b b2 2b b2 2-a a2 2b b2 2-a a2 2两个二项式相乘其中两个二项式相乘其中一项相同一项相同,另另一项互为相反一项互为相反数数,结果是结果是相同项相同项的平方减去的平方减去相反项相反项的平方。的平方。(1)(a+b)(ab)；

5、(2)(ab)(ba);(3)(a+2b)(2b+a);(4)(ab)(a+b);(5)(2x+y)(y2x).(不能不能)2.2.下列式子可用平方差公式计算吗下列式子可用平方差公式计算吗?为什么为什么?如果能够，怎样计算如果能够，怎样计算?(不能不能)(不能不能)(能能)解解:原式原式(a2 b2)b2a2(不能不能)下图是一个边长为下图是一个边长为 a 的大正方形的大正方形,割去一个边长为割去一个边长为b b 的小正方形的小正方形.小明小明将绿色和黄色两部分拼成一个长方形将绿色和黄色两部分拼成一个长方形.问问:小明能拼成功吗小明能拼成功吗?做一做做一做baab原图形实际面积为：原图形实际面

6、积为：_新长方形的面积为：新长方形的面积为：_baaba-bbbab解决问题解决问题 小明同学去商店买了单价是小明同学去商店买了单价是小明同学去商店买了单价是小明同学去商店买了单价是9.89.8元元元元/千克的糖千克的糖千克的糖千克的糖果果果果10.210.2千克，售货员刚拿起计算器，小明就说千克，售货员刚拿起计算器，小明就说千克，售货员刚拿起计算器，小明就说千克，售货员刚拿起计算器，小明就说出应是出应是出应是出应是99.9699.96元，结果与售货员计算出的结果元，结果与售货员计算出的结果元，结果与售货员计算出的结果元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说相吻合。售货员很惊讶地说

7、相吻合。售货员很惊讶地说相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是个神你好象是个神你好象是个神你好象是个神童，怎么算得这么快？童，怎么算得这么快？童，怎么算得这么快？童，怎么算得这么快？”小明小明小明小明同学说同学说同学说同学说：“过奖过奖过奖过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道小明同学用的是什么公式吗？怎么计你知道小明同学用的是什么公式吗？怎么计你知道小明同学用的是什么公式吗？怎么计你知道小明同学用的是什么公式吗？怎么计算的呢算的呢算的呢算的呢?(1)10298 (2)5

8、9.760.3 利用平方差公式计算利用平方差公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)+1=(28-1)(28+1)+1=216-1+1=216试用语言表述平方差公式试用语言表述平方差公式(a+b)(ab)=a2b2。应用平方差公式时要注意一些什么？应用平方差公式时要注意一些什么？两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。两数和与这两数差的积，等于

9、它们的平方差。运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等的找出相等的找出相等的找出相等的“项项项项”和符号相反的和符号相反的和符号相反的和符号相反的“项项项项”，然后应用公，然后应用公，然后应用公，然后应用公式式式式.能能能能力力力力提提提提高高高高46557988111312122、观察并计算下列各组算式、观察并计算下列各组算式u从以上的过程中你发现了什么规律？从以上的过程中你发现了什么规律？u请用字母表示这一规律，你能说明它请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？的正确性吗？=

10、24=25=63=64=143=144思维拓展：思维拓展：已知已知(N+56)2=1234567,求求(N+46)(N+66)的值的值运用平方差公式计算运用平方差公式计算:56785680-56792=(5679-1)(5679+1)-56792=56792-1-56792=-1如果A=1234567892,B=123456788123456790,试比较A与B的大小.练一练练一练练一练练一练(a+3)(a-3)=a-3不对，不对，a29(5ab+1)(5ab-1)=25a2b21对对(0.1x+1)(0.1x1)=0.1x21不对，不对，0.01x21(5y+2)(5y-2)=5y-4不对，

11、不对，25y-4(x+3y)(x 3y）(-2x-y)(-y+2x)=y2-4x2对对平方差公式平方差公式练习练习:用平方差公式计算用平方差公式计算:(1)(-3x+4y(1)(-3x+4y2 2)(-4y)(-4y2 2-3x)-3x)(2)(x-2)(x(2)(x-2)(x2 2+4)(x+2)(x+4)(x+2)(x4 4+16)+16)(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2温故而知新温故而知新:两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差baab1).(3+4)2=32+42=2).(2+6)2=22+62=492564

12、40(3+4)2 32+42(2+6)2 22+62 运用多项式与多项式相乘的法则计运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式：算下列各式：1、(a+b)23、(2a+x)2 观察上述观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什两题的计算结果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜测第么规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗题的结果吗？合合 作作 学学 习习=(a+b)(a+b)2、(2+x)2=(2+x)(2+x)=22+2x+2x+x2=(2a)2+22ax+x2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=22+22x+x2bbaa(a+b)ababab+完全平方和公式：(a+b)2=a2+2

13、ab+b2 的图形理的图形理解解你能用一个图形的面积直观地表示你能用一个图形的面积直观地表示（ab）2的结果吗？的结果吗？完全平方公式完全平方公式:两数两数和和的平方的平方,等于这两数的等于这两数的平方和平方和 ,加上加上这两数积的这两数积的2 2倍倍.(a+b)2=a2+2ab+b2一般的，我们有以下两数和的完全平方公式：小明写出了如下的算式小明写出了如下的算式小明写出了如下的算式小明写出了如下的算式:(ab)2=a+(b)2他是怎么想的他是怎么想的他是怎么想的他是怎么想的?你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗?a2 2ab+b2.(ab)2=(ab)2=a+(b

14、)2=a2+2a(-b)+(b)2=a2 2ab+b2aabb(a-b)aababbbb完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2的图形理的图形理解解完全平方公式完全平方公式:两数两数差差的平方的平方,等于这两数等于这两数的的平方和平方和,减去减去这两数积的这两数积的2 2倍倍.(ab)2=a22ab+b2模仿练习：模仿练习：（y7）2（7y）2(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2完全平方公式完全平方公式和的完全平方公式与差的完全平方公式统称和的完全平方公式与差的完全平方公式统称完全平方公式完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也称乘法公式。平方差公式和完全平方公

15、式也称乘法公式。(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2完全平方公式完全平方公式结构特征结构特征:左边是左边是左边是左边是:的平方的平方的平方的平方;右边是右边是右边是右边是:(两数和两数和两数和两数和 )两数的平方和两数的平方和两数的平方和两数的平方和加上加上加上加上(减去减去减去减去)这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.:二项式二项式二项式二项式(差差差差)语言表述语言表述:两数和两数和两数和两数和 的平方的平方的平方的平方等于等于等于等于 这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和加上加上加上加上 这两数乘积的两倍这两数乘积

16、的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.(减去减去减去减去)或或或或(差差差差)首平方，尾平方，首尾两倍放中央首平方，尾平方，首尾两倍放中央公式变形为公式变形为（首（首尾）尾）2 2首首2 22 2首首尾尾尾尾2 2例例1 1 运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算：(1)(x+2y)(1)(x+2y)2;2;(2)(2a-5)(2)(2a-5)2 2;(3)(-2s+t)(3)(-2s+t)2 2;(4)(-3x-4y);(4)(-3x-4y)2 2.解：解：（1 1）原式）原式=x=x2 2+2x2y+2x2y+（2y2y）2 2 =x=x2 2+4xy+4y+4xy+4y2 2（2

17、2）原式）原式=（2a2a）2 2-2-22a2a5+55+52 2=4a=4a2 2-20a+25-20a+25（3 3）原式）原式=（-2s-2s）2 2+2+2（-2s-2s）t+tt+t2 2=4s=4s2 2-4st+t-4st+t2 2（4 4）原式）原式=（-3x-3x）2 2-2-2（-3x-3x）4y+4y+（4y4y）2 2 =9x =9x2 2+24xy+16y+24xy+16y2 2(2)(-2a(2)(-2a2 2+b)+b)2 2例例2、运用完全平方公式计算：、运用完全平方公式计算：(1)(4a(1)(4a2-b-b2 2)2 2(3)(2a-3b)(3)(2a-3

18、b)2 2-2a(a-b)-2a(a-b)1 1、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？当怎样改正？(2)(x-y)(2)(x-y)2 2=x=x2 2-y-y2 2(3)(x-y)(3)(x-y)2 2=x=x2 2-2xy-y-2xy-y2 2(4)(x+2y)(4)(x+2y)2 2=x=x2 2+2xy+2y+2xy+2y2 2错错错错错错错错(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2(x+2+2y)2=x2+4xy+4y2（1 1）(x+y)(x+y)2 2=x=x2 2+y+y

19、2 2(2)(a-b)(2)(a-b)2 2 与与(b-a)(b-a)2 2(1)(-a-b)(1)(-a-b)2 2 与与(a+b)(a+b)2 22、比、比较较下列各式之下列各式之间间的关系：的关系：相等相等相等相等（3 3）(-b+a)(-b+a)2 2 与与(-a+b)(-a+b)2 2相等相等互互为为相反数的两式的完全平方相反数的两式的完全平方结结果一果一样样。3 3 下列等式是否成立下列等式是否成立?说明理由说明理由(1)(1)(4a4a+1)1)2 2=(1=(14a)4a)2 2；(2)(2)(4a4a1)1)2 2=(4a=(4a+1)1)2 2；(3)(3)(4a(4a1)

20、(11)(14a)4a)(4a(4a1)(4a1)(4a1)1)(4a(4a1)1)2 2；(4)(4)(4a(4a1)(1)(1 14a)4a)(4a(4a1)(4a1)(4a+1).1).4.4.在横线上填入适当的整式在横线上填入适当的整式:14x14x12x12x1 1例例3:一花农有一花农有1块正方形茶花苗圃，边长块正方形茶花苗圃，边长为为a（m）。现将这块苗圃的边长都增加）。现将这块苗圃的边长都增加1.5m，求这块苗圃的面积增加了多少，求这块苗圃的面积增加了多少m。aa1.51.5(a+1.5)-a=a+3a+2.25-a=3a+2.25一花农有一花农有4块正方块正方形茶花苗圃形茶花

21、苗圃,边长分别边长分别为为 30.1 m,29.5 m,30m,27m.现将这现将这4块苗圃的块苗圃的边长都增加边长都增加1.5m后后,求各苗圃的面求各苗圃的面积分别增加了多少积分别增加了多少m2?生活在线：生活在线：解：设原正方形苗圃的边长为解：设原正方形苗圃的边长为a(m)a(m)，边长增加，边长增加1.5m1.5m后，新正方形的边长为后，新正方形的边长为(a+1.5)m(a+1.5)m。(a+1.5)(a+1.5)2 2-a-a2 2=a=a2 2+3a+2.25-a+3a+2.25-a2 2=3a+2.25=3a+2.25当当a=30.1a=30.1时，时，3a+2.25=33a+2.

22、25=330.1+2.25=92.5530.1+2.25=92.55当当a=29.5a=29.5时，时，3a+2.25=33a+2.25=329.5+2.25=90.7529.5+2.25=90.75当当a=30 a=30 时，时，3a+2.25=33a+2.25=330+2.25=92.2530+2.25=92.25当当a=27 a=27 时，时，3a+2.25=33a+2.25=327+2.25=83.2527+2.25=83.25答：答：4 4块茶花苗圃的面积分别增加了块茶花苗圃的面积分别增加了92.55m92.55m2 2，90.75m90.75m2 2，92.25m92.25m2 2

23、，83.25m83.25m2 2。例例3 3、花农老万有花农老万有4 4块正方形菜花苗圃，边长分别为块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m30.1m，29.5m29.5m，30m30m，27m27m。现将这现将这4 4块苗圃的边长都增加块苗圃的边长都增加1.5m1.5m，求各苗圃的面积分别增加多少求各苗圃的面积分别增加多少m m2 2？例：利用完全平方公式计算：例：利用完全平方公式计算：(1)0.982 (2)10012解：解：(1)原式原式=（1 0.020.02）2 2=1=12 2 2 1 10.02+0.020.02+0.022 2=1 0.04+0.0004=0.9604（2）原式）

24、原式=（1000 +1）2=10002 +2 100010001+11+12 2=1000000+2000 +1=1002001 完全平方公式完全平方公式口诀：口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央首平方，尾平方，首尾两倍放中央完全平方公式：完全平方公式：1).不漏中间项。不漏中间项。2).注意中间项的符号对应。注意中间项的符号对应。3).乘方时应适当添括号乘方时应适当添括号注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同形式不同形式不同形式不同:平方差公式是两数平方差公式是两数平方差公式是两数平方差

25、公式是两数和和和和与两数与两数与两数与两数差差差差的的的的积积积积 完全平方公式的完全平方公式的完全平方公式的完全平方公式的两数和两数和两数和两数和的的的的平方平方平方平方结果不同结果不同结果不同结果不同：完全平方公式的结果完全平方公式的结果完全平方公式的结果完全平方公式的结果 是三项，是三项，是三项，是三项，即即即即(a (a b)b)2 2a a2 2 2ab2ab+b b2 2;平方差公式的结果平方差公式的结果平方差公式的结果平方差公式的结果 是两项，是两项，是两项，是两项，即即即即(a(a+b)(ab)(a b)b)a a2 2 b b2 2.(1)化简化简:(2m+1)2 -(2m)

26、2(3)(3)用简便的方法计算用简便的方法计算:234523452 2+0.7655+0.76552 2+2.469+2.4690.76550.7655做一做：做一做：(4)(4)如果如果x x2 2+ax+36+ax+36是一个完全平方式是一个完全平方式,那么那么a=_a=_(6)(6)已知已知(a+b)(a+b)2 2=11,ab=1,=11,ab=1,求求(a-b)(a-b)2 2的值的值.做一做：做一做：(5)(5)如果如果x x2 2+6x+b+6x+b2 2是一个完全平方式是一个完全平方式,那么那么b=b=；1212331、计算：、计算：2、若、若 ，则，则 =。提高拓展：提高拓展

27、：生活在线：生活在线：要给一边长为要给一边长为a a米的正方米的正方形桌子辅上正方形的桌布形桌子辅上正方形的桌布,桌布的四周均桌布的四周均超出桌面超出桌面0.10.1米米,问需要多大面积的桌布问需要多大面积的桌布.解解:由题意知由题意知,桌布是边长为桌布是边长为(a+0.2)米的正米的正方形方形,故面积为故面积为:(a+0.2)2=a2+0.4a+0.04(平方平方米米)答答答答:所需桌布的面积为所需桌布的面积为所需桌布的面积为所需桌布的面积为a a2 2+0.4a+0.04(+0.4a+0.04(平方平方平方平方米米米米)着手点着手点:1.桌布的形状桌布的形状 2.边长多少边长多少?生活在线

28、：生活在线：小红用小红用5块工艺布料制作靠垫面子块工艺布料制作靠垫面子,如如图甲图甲,其中四周的其中四周的4块由如图乙的长方形布料裁成块由如图乙的长方形布料裁成4块块得到得到,正中的一块从另一块布料裁得正中的一块从另一块布料裁得.正中一块正方正中一块正方形布料应裁取多大的面积形布料应裁取多大的面积(接缝忽略不计接缝忽略不计)分析分析:中间面积中间面积 =总面积总面积-周围面积周围面积解解:由图得由图得,大正方形的边长为大正方形的边长为 ,答答:中间正方形的面积应取中间正方形的面积应取第第 1课时课时第第23课时课时第第 4课时课时复习回顾复习回顾口答：口答：问题：问题：630可以被哪些整数整除

29、？可以被哪些整数整除？解决解决这个问题，需要对这个问题，需要对630进进行分解质因数行分解质因数630=23257类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题以便于更好的解决一些问题新课引入新课引入试试看试试看(将下列多项式写成几个整式的乘积将下列多项式写成几个整式的乘积)回忆前面整式的乘法回忆前面整式的乘

30、法上面我们把一个上面我们把一个多项式多项式化成了几个化成了几个整整式式的的积积的形式，像这样的式子变形叫做把的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项这个多项式式 ，也叫做把这个多项，也叫做把这个多项式式 。分解因式分解因式因式分解因式分解因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解与整式乘法是因式分解与整式乘法是逆变形逆变形 依依照定义，判断下列变形是不是照定义，判断下列变形是不是因式分解因式分解（把（把多项式多项式化成几个化成几个整式整式的的积积）创设情景创设情景 学校打算把操场重新规划一下，学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计

31、算操场总面积。分，如下图，计算操场总面积。abcmabcm方法一：方法一：S=m(a+b+c)方法二：方法二：S=ma+mb+mcmm方法一：方法一：S=m(a+b+c)方法二：方法二：S=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc下面两个式子中哪个是因式分解？下面两个式子中哪个是因式分解？在式在式子子ma+mb+mc中，中，m是这个多项是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫式中每一个项都含有的因式，叫做做 。公因式公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)ma+mb+mc=m(a+b+c)在下在下面这个式子的因式分解过程中，面这个式子的因式分解过程中，先先找到找到这个多项式的这个多项式

32、的公因式公因式，再将，再将原式除原式除以公因式以公因式，得到一个新多项式，将这个多，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。项式与公因式相乘即可。这种方法叫做这种方法叫做提公因式法提公因式法。提公因式法一般步骤：提公因式法一般步骤：1、找到该多项式的公因式，、找到该多项式的公因式，2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，、将原式除以公因式，得到一个新多项式，3、把、把它与公因式相乘。它与公因式相乘。如何准确地找到多项如何准确地找到多项式的公因式呢？式的公因式呢？1、系数、系数 所有项的系数的所有项的系数的最大公因数最大公因数 2、字母、字母 应提取每一项都有的字母，应提取每一项都有的字

33、母，且字母的且字母的指数取最低指数取最低的的 3、系数与字母相乘、系数与字母相乘最大公因数为最大公因数为3=3a的最低指数为的最低指数为1ab的最低指数为的最低指数为1b(3a5bc)=4st2(3s22t+1)pq(5q+7p+3)=按照提公因按照提公因式法因式分解。式法因式分解。提提高高训训练练(一一)提高训练提高训练(二二)第第 3课时课时第第 2课时课时复习回顾复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：平方差公式：完全平方公式：完全平方公式：计计算算：=(999+1)(9991)此处运用了什么公式此处运用了什么公式?新课引入新课引入试计

34、算：试计算：99921 12=1000998=998000平方差公式平方差公式逆用逆用因式分解因式分解:（1）x2;（2）y24252252=(x+2)(x2)=(y+5)(y5)这些计算过程中都这些计算过程中都逆用逆用了平方差公式了平方差公式即：即：此即运用平方差公式进行因式分解此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：用文字表述为：两个数的平方差等于这两个两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。数的和与这两个数的差的积。尝试练尝试练习习(对下列各式因式分解对下列各式因式分解)：a29=_49n2=_5s220t2=_100 x29y2=_(a+3)(a3)(7+n)(7n)5

35、(s+2t)(s2t)(10 x+3y)(10 x3y)x2+44x2+y2x41x2x66x354xy2(x+p)2(xq)2=y24x2=(y+2x)(y2x)=(x2)212=(x2+1)(x21)4x2+y2x41(x21)=(4x2y2)=(2x+y)(2xy)(x+1)(x1)因式分解一定要分解彻底因式分解一定要分解彻底!x2x6=x2(x3)2=(x+x3)(xx3)=x(1+x2)x(1x2)=x2(1+x2)(1+x)(1x)x2x6=x2(1x4)=x2(1+x2)(1x2)=x2(1+x2)(1+x)(1x)在我们现学过的因式分解方法中，在我们现学过的因式分解方法中，先考

36、虑先考虑提取公因式提取公因式，再考虑用，再考虑用公式法公式法。6x354xy2=6x(x29y2)=6x(x+3y)(x3y)(x+p)2(xq)2=(x+p)+(xq)(x+p)(xq)=(2x+pq)(p+q)YXYXYX 利用平方差利用平方差公式因式分解。公式因式分解。提提高高训训练练(一一)设设m、n为自然数且满足为自然数且满足关系式关系式12+92+92+22+m2=n2，则则m=_，n=_。提高训练提高训练(二二)3、n是自然数，代入是自然数，代入n3n中计算时，四个同学算中计算时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的只可能是出如下四个结果，其中正确的只可能是()()。A.4218

37、00B.438911C.439844D.428158复习回顾复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？还记得前面学的完全平方公式吗？计计算算：新课引入新课引入试计算：试计算：9992+1998+129991=(999+1)2=106此处运用了什么公式此处运用了什么公式?完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式一样，就像平方差公式一样，完全平方完全平方公式公式也可以也可以逆用逆用，从而进行一些简便，从而进行一些简便计算与因式分解。计算与因式分解。即：即：这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为：两个数的平方和加上（或减去）两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的这两个数的积的两两

38、倍，等于这两个倍，等于这两个数的和（或差）的平方。数的和（或差）的平方。牛刀小试牛刀小试(对下列各式因式分解对下列各式因式分解)：a2+6a+9=_n210n+25=_4t28t+4=_4x212xy+9y2=_(a+3)2(n5)24(t1)2(2x3y)216x2+24x+94x2+4xyy2x2+2x14x28xy+4y212a2+a4(p+q)212(p+q)+36形如形如a22ab+b2的式子叫做的式子叫做完全平完全平方式方式。完全平方式一完全平方式一定可以利用定可以利用完全平完全平方公式方公式因式分解因式分解完全平方式的特点：完全平方式的特点：1、必须是、必须是三项式三项式（或可以

39、看成三项的）（或可以看成三项的）2、有两个、有两个同号同号的平方项的平方项3、有一个乘积项（等于平方项底数的、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍倍）简记口诀：简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。16x2+24x+94x2+4xyy24x28xy+4y2=(4x+3)2=(4x24xy+y2)=(2xy)2=4(x22xy+y2)=4(xy)22a2+(p+q)212(p+q)+36a41=(a21)2=(a+1)2(a1)2=(a+1)(a1)2=(p+q6)2XXX 用完全平方公用完全平方公式进行因式分解。式进行因式分解。用恰当的方用恰当的方法进行因式分

40、解。法进行因式分解。备选方法：备选方法：提公因式法提公因式法平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式提提高高训训练练(一一)给给4x2+1加上一个单项式，加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是个单项式可以是_。提高训练提高训练(二二)提高训练提高训练(三三)知识结构知识结构因式分解因式分解常用方法常用方法提公因式法提公因式法公式法公式法十字相乘法十字相乘法分组分解法分组分解法拆项添项法拆项添项法配方法配方法待定系数法待定系数法求根法求根法一、提公因式法一、提公因式法 只需只需找到找到多项式中的多项式中的公因式公因式，然后用然后用原多项式除以公因式

41、原多项式除以公因式，把所，把所得的商与公因式相乘即可。往往与得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。其他方法结合起来用。提公因式法提公因式法随堂练习：随堂练习：1 1）15(15(mm n n)+13()+13(n n mm)2 2）4(4(x x+y y)+4()+4(x x33y y)二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的方法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。接下来是一些常用的乘法公接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。式

42、，可以逆用进行因式分解。常用公式常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导公式推导这是公式这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程的推

43、导过程不要与不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆混淆公式法公式法随堂练习：随堂练习：1 1）(a a2 21010a a+25)(+25)(a a2 2 25)25)2 2）x x3 3+3+3x x2 2+3 3x x+1+1二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的方法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。三、十字相乘法三、十字相乘法前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：(x+p

44、)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）例例1：因式分解：因式分解x2+4x+3可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项3=3=1 3而一次项系数而一次项系数而一次项系数而一次项系数4=4=1+3原式原式原式原式=(=(x x+1)()(x x+3)暂且称为暂且称为暂且称为暂且称为p、q型因式分解型因式分解例例2：因式分解：因式分解x27x+10可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项可以看出常数项10=

45、10=(2)(5)而一次项系数而一次项系数而一次项系数而一次项系数7=7=(2)+(5)原式原式原式原式=(=(x x2)()(x x5)这个公式简单的说，这个公式简单的说，这个公式简单的说，这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：1 1）a a2 266a a+52+52）a a2 2 5 5a a+6+63 3）x x2 2(2

46、(2mm+1)+1)x x+mm2 2+mm22三、十字相乘法三、十字相乘法试因式分解试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到这里就要用到这里就要用到这里就要用到十字相乘法十字相乘法（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成既然是二次式，就可以写成(axax+b b)()(cxcx+d d)的形式。的形式。的形式。的形式。(axax+b b)()(cxcx+d d)=)=acx x2 2+(ad+bc)x x+bd 所所所所以，需要将以，需要将以，需要将以，需要将二次项系数二次项系数与与与与常数项常数项分别拆成分别拆成分别

47、拆成分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。分解就成功了。分解就成功了。分解就成功了。=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=76x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+63x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=65x26x

48、y8y2试因式分解试因式分解5x26xy8y2。这里仍然可以用这里仍然可以用这里仍然可以用这里仍然可以用十字相乘法十字相乘法。15244 105x26xy8y2=(x2y)(5x+4y)简记口诀：简记口诀：首尾分解，首尾分解，交叉相乘，交叉相乘，求和凑中。求和凑中。十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习：1 1）4 4a a2 299a a+2+22 2）7 7a a2 21919a a663 3）2(2(x x2 2+y y2 2)+5)+5xyxy四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变

49、换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解abac+bdcd。解：原式解：原式=(abac)+(bdcd)=a(bc)+d(bc)=(a+d)(bc)还有别还有别的解法的解法吗？吗？四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解abac+bdcd。解：原式解：原式=(ab+bd)(ac+cd)=b(a+d)c(a+d)=(a+d)(bc)例例2：因式分解：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解

50、：原式解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=(x+1)(x2x+1)(x2+x+1)立方和公式立方和公式分组分解法分组分解法随堂练习：随堂练习：1 1）xyxy xzxz y y2 2+2+2yzyz z z2 22 2）a a2 2 b b2 2 c c2 222bcbc22a a+1+1回顾例题：回顾例题：因式分解因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1x2)=(x+1)(x2+1)2x2=(x+1)(x2+x+1)(x2x+