数模课件5.ppt

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1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程5.1 传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化

2、规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健

3、康健康人人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模 日日接触率接触率SI 模型模型模型模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最最大大模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）

4、病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数1-1/i0模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特的特例例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0模型模型4SIR模型模型预防传染病

5、蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计 降低降低 s0提高提高 r0 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计记被传染人数比例记被传染人数比例xuQ 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量模模型型建建立立0t=0,x=0，点燃香烟点燃香烟q(x,t)毒物流量毒物流量w(x,t)毒物密度毒物密度1)求求q(x,0)=q(x)t时刻，香烟燃至时刻，香烟燃至 x=ut1)求求q(x,0)=q(

6、x)2)求求q(l,t)3)求求w(ut,t)4)计算计算 Q结果结果分析分析烟草烟草为什么有作用为什么有作用?1）Q与与a,M成正比，成正比，aM是毒物集中在是毒物集中在x=l1 处的吸入量处的吸入量2)过滤嘴因素，过滤嘴因素，,l2 负指数负指数作用作用是毒物集中在是毒物集中在x=l 处的吸入量处的吸入量3）(r)烟草的吸收作烟草的吸收作用用b,l1 线性线性作用作用带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤嘴结果结果分析分析4)与另一支不带过滤嘴的香烟比较，与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0,b,a,v,l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提高提高 -b 与加长与加长l2，效果相同效果

7、相同5.3 人口预测和控制人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口人口发展发展方程方程人口发展方程人口发展方程一阶偏微分方程一阶偏微分方程人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr生育率的分解生育率的分解 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式0人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后

8、作用很大人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t)计算的平均存活时计算的平均存活时间间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过不过高高5.4 万有引力定律的发现万有引力定律的发现背景背景航海业发展航海业发展天文观测精确天文观测精确“地心说地心说”动动摇摇哥白尼：哥白尼：“日心说日心说”伽里伽里略：落体运动略：落体运动开普开普勒：行星运动三定律勒：行星运动三定律变速运动的计算方法变速运动的计算方法牛顿：一切运动有力学原因牛顿：一切运动有力学原因

9、牛顿运动三定律牛顿运动三定律牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）开普开普勒三定律勒三定律牛顿运动第二定律牛顿运动第二定律万有引力定律万有引力定律自然科学之数学原理自然科学之数学原理(1687)模型假设模型假设极极坐标系坐标系(r,)太阳太阳(0,0)1.行星轨道行星轨道a长半轴长半轴,b短半轴短半轴,e离心离心率率3.行星运行周期行星运行周期 T行星位置：向径行星位置：向径O(太阳太阳)P(行星行星)r2.单位时间单位时间 扫扫过过面积为常数面积为常数 Am 行星质量行星质量 绝对常数绝对常数4.行星运行受力行星运行受力 模型建立模型建立O(太阳太阳)P(行星行星)r向径向径 的基向量的基向量模型建立模型建立万有引力定律万有引力定律需需证明证明 4A2/p=kM（与（与哪一颗行星无关）哪一颗行星无关）A单位时间单位时间 扫扫过过面积面积O(太阳太阳)P(行星行星)rlp/22=pA