2020_2021学年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积课件新人教A版必修2.ppt

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1、1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.1.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积等于各个面的面积的和棱柱、棱锥、棱台的表面积等于各个面的面积的和,也也就是展开图的面积就是展开图的面积.2.2.圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积图图形形表面表面积积公式公式旋旋转转体体圆圆柱柱 底面底面积积:S:S底底=r=r2 2侧侧面面积积:S:S侧侧=2r=2rl表面表面积积:S=2rS=2rl+2r+2r2 2圆圆锥锥 底面底面积积:S:S底底=r=r2 2侧侧面面积积:S:S侧侧=r=rl表面表面积积:S=r:S=rl

2、+r+r2 2图图形形表面表面积积公式公式旋旋转转体体圆圆台台 上底面面上底面面积积:S S上底上底=r=r2 2下底面面下底面面积积:S S下底下底=r=r2 2侧侧面面积积:S:S侧侧=l(r+r)(r+r)表面表面积积:S=(rS=(r2 2+r+r2 2+r+rl+r+rl)【思考思考】圆台侧面积公式是如何推导出来的圆台侧面积公式是如何推导出来的?提示提示:如图所示如图所示,S,S圆台侧圆台侧=C(=C(l+x)-Cx=+x)-Cx=.因为因为 ,所以所以x=,x=,代入上代入上式得式得S S圆台侧圆台侧=(C+C)=(C+C)l=(r+r)=(r+r)l.3.3.体积公式体积公式(1

3、)(1)柱体柱体:柱体的底面面积为柱体的底面面积为S,S,高为高为h,h,则则V=ShV=Sh.(2)(2)锥体锥体:锥体的底面面积为锥体的底面面积为S,S,高为高为h,h,则则V=ShV=Sh.(3)(3)台体台体:台体的上台体的上,下底面面积分别为下底面面积分别为S,S,S,S,高为高为h,h,则则V=V=(S+S)h(S+S)h.【思考思考】将台体的上底面缩小或扩大将台体的上底面缩小或扩大,分析柱体、锥体、台体的分析柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系是什么体积公式之间的关系是什么?提示提示:【思考思考】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)一

4、个几何体的展开图有多种形式一个几何体的展开图有多种形式,所以其表面积是所以其表面积是不确定的不确定的.()(2)(2)锥体的体积等于底面面积与高之积锥体的体积等于底面面积与高之积.()(3)(3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥.()(4)(4)圆台的高就是相应母线的长圆台的高就是相应母线的长.()提示提示:(1).(1).不同的展开方式不同的展开方式,几何体的展开图不一定几何体的展开图不一定相同相同,但其表面积唯一确定但其表面积唯一确定.(2).(2).锥体的体积等于底面面积与高之积的锥体的体积等于底面面积与高之积的 .(3).(3).

5、沿着三棱柱的三个面对角线沿着三棱柱的三个面对角线,其中有两对共点其中有两对共点,将三棱柱割开将三棱柱割开,则这三个三棱锥的体积相等则这三个三棱锥的体积相等,所以该命所以该命题正确题正确.(4)(4).圆台的高是指两个底面之间的距离圆台的高是指两个底面之间的距离.2.2.已知一个铜质的五棱柱的底面积为已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm16 cm2 2,高为高为4 4 cm,cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗不计损耗),),那么铸成的铜块的棱长是那么铸成的铜块的棱长是 ()A.2 cmA.2 cmB.3 cmB.3 cmC.4cmC.4cmD.8

6、 cmD.8 cm【解析解析】选选C.C.因为铜质的五棱柱的底面积为因为铜质的五棱柱的底面积为16 cm16 cm2 2,高高为为4 cm,4 cm,所以铜质的五棱柱的体积所以铜质的五棱柱的体积V=164=64(cmV=164=64(cm3 3),),设设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm,a cm,则则a a3 3=64,=64,解得解得a=4.a=4.3.3.一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面那么此几何体的侧面积积(单位单位:cm:cm2 2)为为()A.48A.48B.64B.64C.80C.80D.120D

7、.120【解析解析】选选C.C.据三视图知据三视图知,该几何体是一个正四棱锥该几何体是一个正四棱锥(底面边长为底面边长为8),8),直观图如图直观图如图,PEPE为侧面为侧面PABPAB的边的边ABAB上的高上的高,且且PE=5.PE=5.所以此几何体的侧面积是所以此几何体的侧面积是S=4 =4S=4 =4 8 85=80(cm5=80(cm2 2).).4.4.圆台圆台OOOO的上、下底面半径分别为的上、下底面半径分别为1 1和和2,2,高为高为6,6,则其则其体积等于体积等于_._.【解析解析】V=(1V=(12 2+1+12+22+22 2)6=14.6=14.答案答案:1414类型一柱

8、体、锥体、台体的表面积类型一柱体、锥体、台体的表面积【典例典例】1.(20181.(2018全国卷全国卷I)I)已知圆柱的上、下底面的已知圆柱的上、下底面的中心分别为中心分别为O O1 1,O,O2 2,过直线过直线O O1 1O O2 2的平面截该圆柱所得的截的平面截该圆柱所得的截面是面积为面是面积为8 8的正方形的正方形,则该圆柱的表面积为则该圆柱的表面积为()A A.12 .12 B B.12.12C C.8 .8 D D.10.102.2.将圆心角为将圆心角为120,120,面积为面积为33的扇形作为圆锥的侧面的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积为则圆锥的表面积为_._.3.3.一个棱

9、锥的三视图如图所示一个棱锥的三视图如图所示:(1)(1)借助图中的长方体画出此棱锥的直观图借助图中的长方体画出此棱锥的直观图.(2)(2)求该棱锥的表面积求该棱锥的表面积(单位单位:cm:cm2 2).).【思维思维引引】1.1.先根据已知截面的形状和面积计算圆柱的底面半径先根据已知截面的形状和面积计算圆柱的底面半径和高和高,再计算圆柱的表面积再计算圆柱的表面积.2.2.由圆锥的侧面积列方程求母线由圆锥的侧面积列方程求母线,由圆锥底面周长即侧由圆锥底面周长即侧面展开图扇形的弧长面展开图扇形的弧长,列方程求底面半径列方程求底面半径,最后求圆锥最后求圆锥的表面积的表面积.3.(1)3.(1)找准棱

10、锥的底面和顶点位置找准棱锥的底面和顶点位置,画出直观图画出直观图.(2)(2)分析四个表面三角形的形状分析四个表面三角形的形状,求各面积之和求各面积之和.【解析解析】1.1.选选B.B.截面面积为截面面积为8,8,所以高所以高h=2 ,h=2 ,底面半底面半径径r=,r=,所以该圆柱表面积所以该圆柱表面积S=()S=()2 22+2 2 =12.2+2 2 =12.2.2.设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为l,半径为半径为r,r,因为因为120120=,=,所以所以 l2 2=3,=3,所以所以l=3,=3,又又2r=2r=22l,所以所以r=1,r=1,所以所以S S圆锥表圆锥表=r=r2 2

11、+3=4.+3=4.答案答案:443.(1)3.(1)如图所示如图所示,该三棱锥的直观图是三棱锥该三棱锥的直观图是三棱锥P-ABD,P-ABD,其其中中P P是是BDBD的中点的中点.(2)(2)取取BDBD中点中点O,O,取取ADAD中点中点E.E.连接连接OE,PE,OE,PE,由已知得由已知得AD=AB=6(cm),AD=AB=6(cm),ABAD,PO=4(cm),PB=PD.SABAD,PO=4(cm),PB=PD.SABDABD=6=66 6 =18(cm =18(cm2 2),),S SPBDPBD=6 6 4=12 (cm4=12 (cm2 2).).因为因为POOE,POOE

12、,所以所以PE=5(cm),PE=5(cm),所以所以S SPABPAB=S=SPADPAD=6 65=15(cm5=15(cm2 2),),所以所以S S表表=18+12 +15+15=(48+12 )(cm=18+12 +15+15=(48+12 )(cm2 2).).【内化内化悟悟】求圆柱、圆锥、圆台的表面积需要求哪些几何量求圆柱、圆锥、圆台的表面积需要求哪些几何量?这些这些几何量都集中体现在哪个截面中几何量都集中体现在哪个截面中?提示提示:求圆柱、圆锥、圆台的表面积需要求母线和底面求圆柱、圆锥、圆台的表面积需要求母线和底面半径半径,这些几何量都集中体现在旋转轴的截面中这些几何量都集中体

13、现在旋转轴的截面中.【类题类题通通】空间几何体的表面积的求法技巧空间几何体的表面积的求法技巧:(1)(1)多面体的表面积是各个面的面积之和多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积而表面积是侧面积与底面圆的面积之和与底面圆的面积之和.(3)(3)棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角

14、三角形的直角三角形(或梯形或梯形)求解求解.【习练习练破破】(2019(2019亳州高一检测亳州高一检测)如图如图,正三棱台正三棱台ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,O,O1 1,O,O分别为上、下底面的中心分别为上、下底面的中心,其上、下底面边长及其上、下底面边长及高分别为高分别为1,2,2.1,2,2.(1)(1)求它的斜高求它的斜高.(2).(2)求它的表面积求它的表面积.(注注:正三棱台的底面是正三角形正三棱台的底面是正三角形,侧面是全等的等腰梯侧面是全等的等腰梯形形,斜高是侧面梯形的高斜高是侧面梯形的高)【解析解析】(1)(1)如图所示如图所示,D,D1 1,D

15、,D分别为分别为A A1 1B B1 1 和和ABAB的中点的中点,则则O O1 1D D1 1=,OD=,OO=,OD=,OO1 1=2,=2,在直角梯形在直角梯形O O1 1D D1 1DODO中中,DDDD1 1=,=,即该正三棱台的斜高为即该正三棱台的斜高为 .(2)(2)该正三棱台的表面积为该正三棱台的表面积为 (1+2)(1+2)3+3+1 12 2+2 22 2=.=.【加练加练固固】1.1.已知正方体的已知正方体的8 8个顶点中个顶点中,有有4 4个为侧面是等边三角形个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点的三棱锥的顶点,则这个三棱锥与正方体的表面积之比则这个三棱锥与正方体的表面积之

16、比为为()A.1 A.1 B.1 B.1 C.2 C.2 D.3 D.3【解析解析】选选B.B.棱锥棱锥B-ACDB-ACD为适合条件的棱锥为适合条件的棱锥,四个四个面为全等的等边三角形面为全等的等边三角形,设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,则则BC=,SBC=,SBACBAC=.=.三棱锥的表面积三棱锥的表面积S S锥锥=4 =2 ,=4 =2 ,又正方体的表面积又正方体的表面积S S正正=6.=6.因此因此S S锥锥S S正正=2 6=1 .=2 6=1 .2.2.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 3倍倍,母线长为母线长为3,3,

17、圆台的侧面积为圆台的侧面积为84,84,则该圆台较小底面的则该圆台较小底面的半径为半径为 ()A.7A.7B.6B.6 C.5 C.5D.3D.3【解析解析】选选A.A.设圆台较小底面的半径为设圆台较小底面的半径为r,r,则另一底面则另一底面的半径为的半径为3r.3r.由由S S侧侧=3(r+3r)=84,=3(r+3r)=84,解得解得r=7.r=7.类型二柱体、锥体、台体的体积类型二柱体、锥体、台体的体积角度角度1 1等体积变换法求体积等体积变换法求体积【典例典例】如图如图,已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长为是棱长为a a的正方体的正方体,E

18、,E为为AAAA1 1的中点的中点,F,F为为CCCC1 1上一点上一点,求三棱锥求三棱锥A A1 1-D-D1 1EFEF的体积的体积.【思维思维引引】三棱锥三棱锥A A1 1-D-D1 1EFEF的高不易求出的高不易求出,可以转换为可以转换为求三棱锥求三棱锥F-AF-A1 1D D1 1E E的体积的体积.【解析解析】由由 =,=,因为因为 EAEA1 1A A1 1D D1 1=a=a2 2,又三棱锥又三棱锥F-AF-A1 1D D1 1E E的高为的高为CD=a,CD=a,所以所以 =a a a a2 2=a=a3 3.=a =a3 3.【素养素养探探】在与柱体、锥体、台体的体积有关的

19、问题中在与柱体、锥体、台体的体积有关的问题中,经常利用经常利用核心素养中的数学运算核心素养中的数学运算,通过分析空间几何体的形状选通过分析空间几何体的形状选择恰当的公式择恰当的公式,求出几何体的体积求出几何体的体积.将本例的条件改为点将本例的条件改为点F F为为CCCC1 1的中点的中点,其他条件不变其他条件不变,如如图图,求四棱锥求四棱锥A A1 1-EBFD-EBFD1 1的体积的体积.【解析解析】因为因为EB=BF=FDEB=BF=FD1 1=D=D1 1E=a,DE=a,D1 1FEB,FEB,所以四边形所以四边形EBFDEBFD1 1是菱形是菱形,连接连接EF,EF,则则EFBFED

20、EFBFED1 1.因为三棱锥因为三棱锥A A1 1-EFB-EFB与三棱锥与三棱锥A A1 1-FED-FED1 1的高相等的高相等,所以所以 =,=,又因为又因为 EAEA1 1AB=aAB=a2 2,所以所以 =a=a3 3,所以所以 =a =a3 3.角度角度2 2公式法和割补法求体积公式法和割补法求体积【典例典例】1.1.已知某几何体的三视图如图所示已知某几何体的三视图如图所示,则该几何则该几何体的体积是体的体积是()A.28+6 A.28+6 B.40B.40C.C.D.30+6 D.30+6 2.2.如图所示如图所示,三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC的所有棱长都为的所有棱长都为1

21、,1,求此三棱求此三棱锥的体积锥的体积.【思维思维引引】1.1.由三视图判断此几何体的形状由三视图判断此几何体的形状,求出有求出有关几何量关几何量,用相应体积公式计算用相应体积公式计算.2.2.将此三棱锥放在正方体中将此三棱锥放在正方体中,将此三棱锥看作正方体切将此三棱锥看作正方体切去四个三棱锥得到去四个三棱锥得到,据此设计算法求解据此设计算法求解.【解析解析】1.1.选选C.C.由三视图知由三视图知,直观图如图所示直观图如图所示:底面是底面是直角三角形直角三角形,直角边长为直角边长为4,5,4,5,三棱锥的一个后侧面垂直三棱锥的一个后侧面垂直于底面于底面,并且高为并且高为4,4,所以棱锥的体

22、积为所以棱锥的体积为 5 54 44=.4=.2.2.如图所示如图所示,把三棱锥放在正方体中把三棱锥放在正方体中.三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC可看作正方体切去四个三棱锥得到可看作正方体切去四个三棱锥得到,因为正四面体的棱长为因为正四面体的棱长为1,1,所有正方体的棱长为所有正方体的棱长为 ,所以三棱锥所以三棱锥P-ABCP-ABC的体积为的体积为 .【类题类题通通】求几何体体积的常用方法求几何体体积的常用方法【习练习练破破】1.1.如图如图,一圆柱被一平面所截一圆柱被一平面所截,已知被截后的几何体的已知被截后的几何体的最长侧面母线长为最长侧面母线长为4,4,最短侧面母线长为最短侧面母线长为

23、1,1,且圆柱底面且圆柱底面半径长为半径长为2,2,则该几何体的体积等于则该几何体的体积等于_._.【解析解析】方法一方法一:如图如图,该几何体的体积等于下面的圆该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和,下面的圆柱的下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长高就是该几何体的最短侧面母线长1,1,而上面的圆柱的而上面的圆柱的高为高为3.3.于是所求几何体的体积为于是所求几何体的体积为V=2V=22 21+1+222 23=10.3=10.答案答案:1010方法二方法二:如图如图,将一个与已知的几何体完全相同的几何将一个与已知的几何体完全相同的

24、几何体体,与已知的几何体拼在一起组成一个高为与已知的几何体拼在一起组成一个高为5 5的完整圆的完整圆柱柱,那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半.于是于是V=V=2 22 25=10.5=10.答案答案:10102.2.如图如图,三棱台三棱台ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,ABA,ABA1 1B B1 1=12,=12,求三棱锥求三棱锥A A1 1-ABC,-ABC,三棱锥三棱锥B-AB-A1 1B B1 1C,C,三棱锥三棱锥C-AC-A1 1B B1 1C C1 1的体积之比的体积之比.【解析解析】设棱台的高为设棱台

25、的高为h,=S,h,=S,则则 =4S.=4S.所以所以 =S=SABCABCh=Sh,h=Sh,=h=Sh.h=Sh.又又V V台台=h(S+4S+2S)=Sh,=h(S+4S+2S)=Sh,所以所以 =,=,所以体积比为所以体积比为124.124.【加练加练固固】1.1.圆锥母线长为圆锥母线长为1,1,侧面展开图的圆心角为侧面展开图的圆心角为240,240,则该则该圆锥的体积为圆锥的体积为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.设圆锥底面半径为设圆锥底面半径为R,R,高为高为h,h,则则2R=,2R=,所以所以R=,h=,R=,h=,所以所以V=RV=R2 2h=.h=

26、.2.2.如图所示如图所示,在长方体在长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,用截面截用截面截下一个棱锥下一个棱锥C-ADD,C-ADD,求棱锥求棱锥C-ADDC-ADD的体积与剩余的体积与剩余部分的体积之比部分的体积之比.【解析解析】方法一方法一:设设AB=a,AD=b,DD=c,AB=a,AD=b,DD=c,长方体长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD的体积的体积V=abc,V=abc,又又 bc,bc,且三棱锥且三棱锥C-ADDC-ADD的高为的高为CD=a.CD=a.所以所以V V三棱锥三棱锥C-ADDC-ADD=S=SADDADDCD=abc.CD=abc.则剩余部分的几

27、何体体积则剩余部分的几何体体积V V剩剩=abc-abc=abc.=abc-abc=abc.故故 V V剩剩=abc abc=15.=abc abc=15.方法二方法二:已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADDA-BCCB,ADDA-BCCB,设它的底面设它的底面ADDAADDA面积为面积为S,S,高高为为h,h,则它的体积为则它的体积为V=Sh.V=Sh.而棱锥而棱锥C-ADDC-ADD的底面面积为的底面面积为 S,S,高为高为h,h,因此棱锥因此棱锥C-ADDC-ADD的体积的体积V VC-ADDC-ADD=Sh=Sh.Sh=Sh.剩余部分的体

28、积是剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh.Sh-Sh=Sh.所以棱锥所以棱锥C-ADDC-ADD的体积与剩余部分的体积之比为的体积与剩余部分的体积之比为 Sh Sh=15.Sh Sh=15.类型三求组合体的表面积与体积类型三求组合体的表面积与体积【典例典例】1.(20191.(2019嘉兴高一检测嘉兴高一检测)某几何体的三视图某几何体的三视图如图所示如图所示,则此几何体的体积是则此几何体的体积是_,_,表面积是表面积是_._.2.2.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,5,圆心角为圆心角为216216的扇形的扇形,在这个圆锥中内接一个高为在这个圆锥中内接一个高为

29、x x的圆柱的圆柱.(1)(1)求圆锥的体积求圆锥的体积.(2)(2)当当x x为何值时为何值时,圆柱的侧面积最大圆柱的侧面积最大?【思维思维引引】1.1.先由三视图还原该几何体的直观图先由三视图还原该几何体的直观图,观察其有几部分观察其有几部分组成组成,求几何体的体积时求几何体的体积时,依据需要先将几何体分割分依据需要先将几何体分割分别求解别求解,再求和再求和.求表面积时求表面积时,应注意重合部分的处理应注意重合部分的处理.2.(1)2.(1)先根据题目条件先根据题目条件,找出关于圆锥的底面半径找出关于圆锥的底面半径r r的的方程方程,然后求圆锥的底面半径和高然后求圆锥的底面半径和高,最后求

30、圆锥的体积最后求圆锥的体积;(2)(2)在圆锥的轴截面中在圆锥的轴截面中,利用三角形相似推出圆柱的底利用三角形相似推出圆柱的底面半径面半径y y与圆锥的高与圆锥的高x x的关系的关系,进而建立圆柱的侧面积进而建立圆柱的侧面积S S关于圆锥的高关于圆锥的高x x的函数的函数,求最大值求最大值.【解析解析】1.1.由三视图可得该几何体的直观图如图所示由三视图可得该几何体的直观图如图所示:所以该几何体的体积所以该几何体的体积V=4V=46 63+3+4 43 33=90,3=90,表面积表面积S=2(4S=2(46+46+43+63+63)-33)-33+3+4 43 32+2+3+33+34=13

31、8.4=138.答案答案:90901381382.(1)2.(1)因为圆锥侧面展开图的半径为因为圆锥侧面展开图的半径为5,5,所以圆锥的母线所以圆锥的母线长为长为5.5.设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为r,r,则则2r=2r=2 25,5,所以所以r=3,r=3,则圆锥的高为则圆锥的高为4,4,故体积故体积V=rV=r2 24=12.4=12.(2)(2)如图为轴截面图如图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个这个图为等腰三角形中内接一个矩形矩形.设圆柱的底面半径为设圆柱的底面半径为y,y,则则 ,得得y=3-x.y=3-x.圆柱的侧面积圆柱的侧面积S(x)=2(3-x)x=(4x-xS(x)=2(3-x)x=(4x-x2 2)=)=4-(x-2)4-(x-2)2 2(0 x4),(0 xVV1 1,S,S2 2SS1 1.5.5.方案二比方案一更加经济方案二比方案一更加经济.