411圆的标准方程 (3).ppt

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1、 我们在前面学过，在平面直角我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线点和倾斜角也能确定一条直线复习引入复习引入ArxOy 平面内与定点距离等于定长的点的集合平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹轨迹)是圆是圆,定点就是定点就是圆心圆心,定长就是定长就是半径半径.初中所讲的圆的定义初中所讲的圆的定义 思考？思考？在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？如何确定一个圆呢？当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了因此一个圆最基本要素是因此一个圆最基本要素是圆心和半径

2、圆心和半径xOyA(a,b)Mr(x,y)引入新课引入新课如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，圆心圆心（点）（点）A A的位置用坐标的位置用坐标(a a,b b)表示，半径表示，半径r r的大小等于的大小等于圆上任意点圆上任意点M M(x x,y y)与圆心与圆心A A(a a,b b)的距离如何求圆的方的距离如何求圆的方程呢？程呢？思考思考?符合上述条件的点的集合是什么？你能用描符合上述条件的点的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？述法来表示这个集合吗？符合上述条件的点的集合：符合上述条件的点的集合：一一.圆的标准方程圆的标准方程xOyA(a,b)Mr(x,y)两边平方得两边平

3、方得 由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M M的坐的坐标适合的条件表示为标适合的条件表示为 xOyA(a,b)Mr(x,y)1.(1.(选系选系)取动点取动点,2.,2.找等量，找等量，3.3.列方程列方程,4.,4.化简化简.上述过程可归纳为：上述过程可归纳为：思考？思考？是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？这个方程的坐标的点都在圆上？点点M M(x x,y y)在圆上，由前面讨论可知，点在圆上，由前面讨论可知，点M M的坐标适的坐标适合方程；反之，若点合方程；反之，若点M M(x x,y y)的坐标适合方程，这就

4、说的坐标适合方程，这就说明点明点M M与与圆心的距离是圆心的距离是r r，即点，即点M M在在圆心为圆心为A A(a a,b b)，半半径为径为r r的圆上的圆上这个方程称为圆心为这个方程称为圆心为A A(a a,b b)，半径长为半径长为r r的圆的方程，的圆的方程，把它叫做把它叫做圆的标准方程圆的标准方程.注意：注意：标准方程的形式，及方程含有三个参变数标准方程的形式，及方程含有三个参变数a,b,ra,b,r,即圆即圆心心A(a,bA(a,b),),半径半径r r，只要，只要a,b,ra,b,r三个量确定且三个量确定且r0,r0,圆的标准方程就确圆的标准方程就确定了定了特殊位置的圆方程特殊

5、位置的圆方程因为圆心是原点因为圆心是原点O O(0,0)(0,0)，将将a a0 0，b b0 0和半径和半径r r代代入圆的标准方程：入圆的标准方程：思考？思考？圆心在坐标原点圆心在坐标原点，半径长为半径长为r r 的的圆的方程是什么？圆的方程是什么？得得：整理得：整理得：2.2.写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程：（1 1）圆心在原点，半径是）圆心在原点，半径是3 3；（2 2）圆心在点）圆心在点 ，半径是，半径是 ；（3 3）经过点）经过点 ，圆心在点，圆心在点 1.1.根据方程，指出圆的圆心和半径根据方程，指出圆的圆心和半径.（1）（2）（3）3.方程方程(x-1)(x-1)2 2

6、=9-(y+3)=9-(y+3)2 2表示什么图形表示什么图形_;4.方程方程x2+y2=0表示什么图形表示什么图形_5.方程方程y=表示什么图形表示什么图形?(0,0)圆心是圆心是(1,-3)(1,-3)半径是半径是3 3的圆的圆圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为2 2的上半圆的上半圆 例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于半径长等于5 5的圆的方程，并判的圆的方程，并判断点断点 ，是否在这个圆上是否在这个圆上 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5 5的圆的标准方程是的圆的标准方程是 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合的坐标

7、适合圆的方程，所以点圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；把点把点 的坐标代入此方程，的坐标代入此方程，左右两边不相等，点左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的坐标不适合圆的方程，所以点的方程，所以点 不在这个圆上不在这个圆上AxyoM1M2二二.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上；反之如果不成立则不在这个圆上立，则在这个圆上；反之如果不成立则不在这个圆上思考思考?点与圆的位置关系有几种？点与圆

8、的位置关系有几种？点在圆内，点在圆上，点在圆外三种位置关系点在圆内，点在圆上，点在圆外三种位置关系.思考思考?怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？还是在圆内呢？还是在圆外呢？外呢？M3M1A观察下图中的三个观察下图中的三个 点，可以看到点，可以看到M2 点在圆外点在圆外点到圆心的距离大于半径点到圆心的距离大于半径r；点在圆内点在圆内点到圆心的距离小于半径点到圆心的距离小于半径r；点在圆上点在圆上点到圆心的距离等于半径点到圆心的距离等于半径r xyo同理，点同理，点 在圆内在圆内设设 在圆外在圆外，圆心圆心A(a,b)，由点到圆心距离由点到圆心距离大于半大于半径径r r得得点点 在圆上在圆上小

9、结：小结：特别地，特别地，点点 在圆在圆 内的条件是内的条件是点点 在圆在圆 外的条件是外的条件是 点点 在圆在圆 上的条件是上的条件是 例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程 分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆三角形有唯一的外接圆 因为因为A(5,1),B(7,3)，C(2,8)都在圆上，所以它都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（们的坐标都满足方程（1 1）于是）于是 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 （1）解此方程

10、组，得解此方程组，得：所以，所以，的外接圆的方程的外接圆的方程 上述方法为上述方法为待定系数法待定系数法.还有别的方法吗？还有别的方法吗？圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOA(5,1)B(7,-,-3)C(2,-,-8)几何方法几何方法方法二：例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程 例例3 3 已知圆心为已知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)和和B(2,2)，且圆心且圆心C C在直线上在直线上l：xy+1=0，求圆心为求圆心为C

11、C的圆的标准的圆的标准方程方程 分析：分析：已知道确定一个已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与圆只需要确定圆心的位置与半径圆心为半径圆心为C的圆经过点的圆经过点A A(1,1)(1,1)和和B B(2,(2,2)2)，由于圆由于圆心心C与与A,B两点的距离相等，两点的距离相等，所以圆心所以圆心C在线段在线段AB的垂直的垂直平分线平分线 上又圆心上又圆心C在直在直线线l 上，因此圆心上，因此圆心C是直线是直线l与直线与直线 的交点，半径长等的交点，半径长等于于|CACA|或或|CBCB|yxOCABl因此线段因此线段AB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是即即圆心圆心C的坐标是方程组的坐

12、标是方程组的解的解 解解：因为：因为A A(1,1)(1,1)和和B B(2,(2,2)2)，所以线段所以线段ABAB的中点的中点D的坐标的坐标直线直线AB的斜率的斜率:所以圆心所以圆心C的坐标是的坐标是圆心为圆心为C的圆的半径长的圆的半径长所以，圆心为所以，圆心为C的圆的标准方程是的圆的标准方程是解得解得比较例比较例2 2和例和例3 3，归纳求，归纳求ABCABC外接圆的方程的两种方法外接圆的方程的两种方法.思考思考?（1 1）根据题设条件，列出关于）根据题设条件，列出关于a,b,ra,b,r的方程组，解方的方程组，解方程组得到程组得到a,b,ra,b,r的值，写出圆的标准方程的值，写出圆的标准方程.（2 2）根据确定圆的要素，以及题设条件，结合圆的）根据确定圆的要素，以及题设条件，结合圆的性质分别求出圆心坐标和半径大小，写出圆的标准方程性质分别求出圆心坐标和半径大小，写出圆的标准方程.知识小结知识小结圆的基本要素圆的基本要素圆的标准方程圆的标准方程圆心在原点的圆心在原点的圆的标准方程圆的标准方程判断点与圆的判断点与圆的位置关系位置关系圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.a,b,r(r0）三个量确定了三个量确定了,方程就确定了方程就确定了作业作业：P124 2,3,4练习练习：P120 1,3,4