2020_2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修2.ppt

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1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.1.异面直线异面直线(1)(1)定义定义:不同在不同在任何任何一个平面内的两条直线一个平面内的两条直线.(2)(2)画法画法:【思考思考】定义中的定义中的“任何任何”是否多余是否多余,能否把能否把“任何任何”去掉去掉?提示提示:(1)(1)“不同在任何一个平面内的两条直不同在任何一个平面内的两条直线线”是指是指不存在一个平面同不存在一个平面同时经过这时经过这两条直两条直线线,或者或者说说找不到一找不到一个平面同个平面同时经过这时经过这两条直两条直线线.(2)(2)定定义义中中“任何任何”是不可缺少的关是不可缺少的关键词键词,不能不能误误解解为为“不不

2、同在某一平面内同在某一平面内”.如如图图所示所示,虽虽然有然有a a,b,b,即即a,ba,b分别在两个不同的分别在两个不同的平面内平面内,但是因为但是因为ab=O,ab=O,所以所以a a与与b b不是异面直线不是异面直线.2.2.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系3.3.公理公理4 4文字语言文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平平行于同一条直线的两条直线互相平行行符号语言符号语言直线直线a,b,c,ab,bca,b,c,ab,bc ac ac作用作用证明两条直线平行证明两条直线平行4.4.等角定理等角定理文字语言文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平空间中如果两个角的两边分

3、别对应平行行,那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补符号语言符号语言OAOA,OBOBOAOA,OBOBAOB=AOBAOB=AOB或或AOB+AOB+AOB=180AOB=180作用作用证明两个角相等或互补证明两个角相等或互补5.5.异面直线所成的角异面直线所成的角(或夹角或夹角)(1)(1)定义定义:已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,a,b,经过空间经过空间任意一点任意一点O O作作直线直线aa,bb,aa,bb,则异面直线则异面直线a a与与b b所成的角就是直所成的角就是直线线aa与与bb所成的锐角所成的锐角(或直角或直角).).(2)(2)范围范围:0:09090.特别地

4、特别地,当当=90=90时时,a,a与与b b互互相垂直相垂直,记作记作abab.【思考思考】(1)(1)在异面直线所成角的定义中在异面直线所成角的定义中,角的大小与点角的大小与点O O的位置的位置有关系吗有关系吗?提示提示:根据等角定理可知根据等角定理可知,a,a与与bb所成角的大小与点所成角的大小与点O O的位置无关的位置无关.但是但是为为了了简简便便,点点O O常取在两条异面直常取在两条异面直线线中中的一条上的一条上,特特别别是是这这一直一直线线上的某些特殊点上的某些特殊点(如如线线段的段的端点、中点等端点、中点等).).(2)(2)研究范围推广到空间后研究范围推广到空间后,直线与直线垂

5、直的含义有直线与直线垂直的含义有变化吗变化吗?有什么变化有什么变化?提示提示:有变化有变化.空间中两条直线垂直包括相交直线垂直空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况和异面直线垂直两种情况.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”,错的打错的打“”)(1)(1)没有公共点的两条直线是异面直线没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)(2)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行.()(3)(3)若若a a与与b b是异面直线且是异面直线且a a与与c c也是异面直线也是异面直线,则则b b与与c c是是异面直线异面直线.()(4)(4)

6、如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那那么另一条直线也与这条直线垂直么另一条直线也与这条直线垂直.()提示提示:(1).(1).没有公共点的两条直没有公共点的两条直线线是平行直是平行直线线或异面或异面直直线线.(2).(2).在空在空间间中垂直于同一条直中垂直于同一条直线线的两条直的两条直线线不一定不一定平行平行,例如在例如在长长方体方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,AB,AD,AB,AD都与都与棱棱AAAA垂直垂直,但是但是这这两条直两条直线线相交相交.(3).(3).若若a,ba,b是异面直是异面直线线,a,c,a,c是异面直是异面

7、直线线,那么那么b,cb,c可以可以平行平行,可以相交可以相交,可以异面可以异面.(4).(4).由异面直由异面直线线所成角的定所成角的定义义或等角定理都可得出或等角定理都可得出,该该命命题题正确正确.2.2.如图所示如图所示,在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,与与AAAA1 1异面的异面的是是()A.ABA.ABB.BBB.BB1 1C.DDC.DD1 1D.BD.B1 1C C1 1【解析解析】选选D.ABD.AB与与AAAA1 1相交相交;BB;BB1 1与与AAAA1 1平行平行;DD;DD1 1与与AAAA1 1平行平行;B;B1

8、 1C C1 1与与AAAA1 1异面异面.3.3.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,BAE=25,BAE=25,则异面直线则异面直线AEAE与与B B1 1C C1 1所成的角的大小为所成的角的大小为_._.【解析解析】因因为为B B1 1C C1 1BC,BC,所以异面直所以异面直线线AEAE与与B B1 1C C1 1所成的所成的角是角是AEB=90AEB=90-25-25=65=65.答案答案:6565类型一空间两条直线位置关系的确定类型一空间两条直线位置关系的确定【典例典例】1.(20191.(2019淮南高一检测淮南高一检测)若

9、直线若直线l1 1和和l2 2是异面是异面直线直线,l1 1在平面在平面内内,l2 2在平面在平面内内,l是平面是平面与平面与平面的交线的交线,则下列结论正确的是则下列结论正确的是()A.A.l 至少与至少与 l1 1,l2 2中的一条相交中的一条相交B.B.l 与与 l1 1,l2 2 都不相交都不相交C.C.l 与与 l1 1,l2 2都相交都相交D.D.l 至多与至多与 l1 1,l2 2中的一条相交中的一条相交2.2.如图如图,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分别为棱分别为棱C C1 1D D1 1,CCCC1 1的

10、中点的中点,以下四个结论以下四个结论:直线直线DMDM与与CCCC1 1是相交直线是相交直线;直线直线AMAM与与NBNB是平行直线是平行直线;直线直线BNBN与与MBMB1 1是异面直线是异面直线;直线直线AMAM与与DDDD1 1是异面直线是异面直线.其中正确的为其中正确的为_(_(把你认为正确的结论的序号都把你认为正确的结论的序号都填上填上).).3.3.已知已知a,b,ca,b,c是三条直线是三条直线,且且a a与与b b异面异面,b,b与与c c异面异面,试判试判断断a a与与c c的位置关系的位置关系,并画图说明并画图说明.【思维思维引引】1.1.一方面注意一方面注意l和和l1 1

11、,l2 2都平行都平行,可推出和可推出和l1 1,l2 2平行平行,另一另一方面注意画图举反例说明有关结论不正确方面注意画图举反例说明有关结论不正确.2.2.利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断.3.3.选择恰当的平面作为衬托选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况画出可能出现的情况.【解析解析】1.1.选选A.A.假如假如l和和l1 1,l2 2都不相交都不相交.因因为为l和和l1 1,l2 2都都共面共面,所以所以l和和l1 1,l2 2都平行都平行,所以所以l1 1l2 2,l1 1和和l2 2共面共面,这样这样便不符合已知的便不符合已知

12、的l1 1和和l2 2异面异面,所以所以A A选项选项正确正确,B,B选项错误选项错误.C.C错误错误.如如图图1 1所示所示,l与与l2 2相交相交,ll1 1.D.D错误错误.如如图图2 2所示所示,l与与l1 1和和l2 2都相交都相交.2.2.中直中直线线DMDM与直与直线线CCCC1 1在同一平面内在同一平面内,它它们们不平行不平行,必必相交相交.故故结论结论正确正确.中的两条直中的两条直线线既不相交也不平既不相交也不平行行,即均即均为为异面直异面直线线,故故结论结论正确正确.中中AMAM与与BNBN是异面直是异面直线线,故故不正确不正确.故填故填.答案答案:3.3.直直线线a a与

13、与c c的位置关系有三种的位置关系有三种,如如图图所示所示.直直线线a a与与c c可能平行可能平行(如如图图所示所示),),也可能相交也可能相交(如如图图所示所示),),还还可能异面可能异面(如如图图所示所示).).【内化内化悟悟】研究范围由平面推广到空间后研究范围由平面推广到空间后,能否只根据公共点个能否只根据公共点个数判断两条直线的位置关系数判断两条直线的位置关系?提示提示:不能不能.因为两条平行直线和两条异面直线都是没因为两条平行直线和两条异面直线都是没有公共点的有公共点的,无法从公共点个数上进行区别无法从公共点个数上进行区别.【类题类题通通】1.1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍判

14、断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)(1)建立空间观念建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系面三种位置关系.特别关注异面直线特别关注异面直线.(2)(2)重视正方体等常见几何体模型的应用重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明会举例说明两条直线的位置关系两条直线的位置关系.2.2.判定两条直线是异面直线的方法判定两条直线是异面直线的方法(1)(1)证明两条直线既不平行又不相交证明两条直线既不平行又不相交.(2)(2)重要结论重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线连接平面内一点与平面外一点的直线,和和这个平面内不经过此点的直线是异面直线这

15、个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言用符号语言可表示为可表示为A A,B,B,B,B l,l,则则ABAB与与l是异面直线是异面直线(如图如图).).【发散发散拓拓】异面直线是不同在任何一个平面内的直线异面直线是不同在任何一个平面内的直线,它的反面情它的反面情况是两条直线共面况是两条直线共面.从这一角度考虑从这一角度考虑,证明异面直线还证明异面直线还有没有其他方法有没有其他方法?提示提示:可以利用反可以利用反证证法法,其基本思路是其基本思路是:先假先假设设命命题题的的结结论论不成立不成立,即肯定即肯定结论结论的反面成立的反面成立;由此假由此假设设出出发发,经过经过严严密的密的逻辑逻辑

16、推理推理,步步步步为营为营,最后得出矛盾最后得出矛盾;由正确推理由正确推理导导出的矛盾出的矛盾,说说明明“假假设结论设结论不成立不成立”是是错误错误的的,从而肯从而肯定欲定欲证证的的结论结论成立成立.【延伸延伸练练】如图如图,a,b,a,b是异面直线是异面直线,A,Ba,C,Db,E,F,A,Ba,C,Db,E,F分别是线段分别是线段ACAC和和BDBD的中点的中点,判断判断EFEF和和a,EFa,EF和和b b的位置关系的位置关系,并证明你并证明你的结论的结论.【解析解析】假假设设EFEF和和a a共面共面,设这设这个平面个平面为为,则则EF EF ,a,a.所以所以A,B,E,F,A,B,

17、E,F,所以所以BFBF,AE,AE.又因又因为为CAE,DBF,CAE,DBF,所以所以C,D.C,D.于是于是b b.从而从而a,ba,b共面于共面于,这这与与题设题设条件条件a,ba,b是异面直是异面直线线相矛盾相矛盾.所以所以EFEF和和a a共面的假共面的假设设不成立不成立,所以所以EFEF和和a a是异面直是异面直线线.同理可得同理可得EFEF和和b b也是异面直也是异面直线线.【习练习练破破】1.1.如图所示如图所示,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中的八条棱所在的直线中中的八条棱所在的直线中,异面直线共有异面直线共有_对对.【解析解析】每条每条侧侧棱与底面四棱与底面四边

18、边形中不共点的两形中不共点的两边边均均为为异面直异面直线线,故共有故共有8 8对对.答案答案:8 82.2.如图如图,在这个正方体中在这个正方体中:BMBM与与EDED平行平行;CN;CN与与BMBM是异面直线是异面直线;CNCN与与BEBE是异面直线是异面直线;DN;DN与与BMBM是异面直线是异面直线.以上四个命题中以上四个命题中,正确命题的序号是正确命题的序号是_._.【解析解析】根据正方体的特征可得根据正方体的特征可得:BMBM与与EDED是异面直是异面直线线,错误错误;CNCN与与BMBM是异面直是异面直线线,正确正确;由已知可由已知可证证四四边边形形BCNEBCNE是平行四是平行四

19、边边形形,所以所以CNCN与与BEBE是是平行直平行直线线,错误错误;DNDN与与BMBM是异面直是异面直线线,正确正确.答案答案:【加练加练固固】在正方体在正方体ACAC1 1中中,E,F,E,F分别是线段分别是线段BC,CDBC,CD1 1的中点的中点,则则直线直线A A1 1B B与直线与直线EFEF的位置关系是的位置关系是()A.A.相交相交B.B.异面异面C.C.平行平行D.D.垂直垂直【解析解析】选选A.A.如如图图,在正方体在正方体ACAC1 1中中,因因为为A A1 1BDBD1 1C,C,所以所以A A1 1B B与与D D1 1C C可以确定平面可以确定平面A A1 1BC

20、DBCD1 1,又因又因为为EFEF 平面平面A A1 1BCDBCD1 1,且两直且两直线线不平行不平行,所以直所以直线线A A1 1B B与直与直线线EFEF的位置关系是相交的位置关系是相交.类型二公理类型二公理4 4及等角定理的应用及等角定理的应用【典例典例】1.1.若若AOB=120AOB=120,直线直线aOA,aaOA,a与与OBOB为异面直为异面直线线,则则a a和和OBOB所成的角的大小为所成的角的大小为_._.2.2.如图所示如图所示,四边形四边形ABEFABEF和和ABCDABCD都是直角梯形都是直角梯形,BAD,BAD=FAB=90=FAB=90,BC,BC AD,BEA

21、D,BE FA,G,HFA,G,H分别为分别为FA,FDFA,FD的中点的中点.(1)(1)证明证明:四边形四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形.(2)(2)判断判断C,D,F,EC,D,F,E四点是否共面四点是否共面?为什么为什么?【思维思维引引】1.1.依据两条边分别对应平行的两个角的大小关系直接依据两条边分别对应平行的两个角的大小关系直接计算计算.2.(1)2.(1)证明四边形证明四边形BCHGBCHG的一组对边平行且相等的一组对边平行且相等.(2)(2)只需证明只需证明C,H,F,EC,H,F,E四点共面四点共面,即可推出即可推出C,D,F,EC,D,F,E四点四点共面共面.

22、【解析解析】1.1.因因为为aOA,aOA,根据等角定理根据等角定理,又因又因为为异面直异面直线线所成的角所成的角为锐为锐角或直角角或直角,所以所以a a与与OBOB所成的角所成的角为为60.60.答案答案:60602.(1)2.(1)由已知由已知FG=GA,FH=HD,FG=GA,FH=HD,可得可得GHGH AD.AD.又又BCBC AD,AD,所以所以GHGH BC,BC,所以四所以四边边形形BCHGBCHG为为平行四平行四边边形形.(2)(2)共面共面.理由理由:由由BEBE AF,GAF,G为为FAFA的中点知的中点知,BE,BE FG,FG,所以四所以四边边形形BEFGBEFG为为

23、平行四平行四边边形形,所以所以EFBG.EFBG.由由(1)(1)知知BGBG CH,CH,所以所以EFCH,EFCH,所以所以EFEF与与CHCH共面共面.又又DFH,DFH,所以所以C,D,F,EC,D,F,E四点共面四点共面.【内化内化悟悟】与等角定理和公理与等角定理和公理4 4类似类似,平面几何中的一些结论在平面几何中的一些结论在空间中仍然成立空间中仍然成立:如果两条平行线中的一条垂直于第三如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线条直线,那么另一条也垂直于第三条直线那么另一条也垂直于第三条直线.想一想平面想一想平面几何中的结论在空间中是否都成立呢几何中的结论在空间中是否都成立呢?成立的标

24、准是什成立的标准是什么么?提示提示:平面几何中的平面几何中的结论结论在空在空间间中不一定成立中不一定成立.平面几平面几何中的何中的结论结论在空在空间间中成立的中成立的标标准是已知条件能确定在准是已知条件能确定在同一个平面内同一个平面内,在空在空间间中就成立中就成立,否否则则不成立不成立.【类题类题通通】1.1.证明空间两条直线平行的方法证明空间两条直线平行的方法(1)(1)平面几何法平面几何法.三角形中位线、平行四边形的性质等三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)(2)定义法定义法.用定义证明两条直线平行用定义证明两条直线平行,要证明两个方面要证明两个方面:一是两条一是两条直线在同一平面内直

25、线在同一平面内;二是两条直线没有公共点二是两条直线没有公共点.(3)(3)公理公理4.4.用公理用公理4 4证明两条直线平行证明两条直线平行,只需找到直线只需找到直线b,b,使得使得ab,ab,同时同时bc,bc,由公理由公理4 4即可得到即可得到ac.ac.2.2.证明两个角相等的方法证明两个角相等的方法(1)(1)利用等角定理利用等角定理.(2)(2)利用三角形全等或相似利用三角形全等或相似.【习练习练破破】1.1.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是平面分别是平面AAAA1 1D D1 1D,D,平平面面CCCC1

26、1D D1 1D D的中心的中心,G,H,G,H分别是棱分别是棱AB,BCAB,BC的中点的中点,则直线则直线EFEF与与直线直线GHGH的位置关系是的位置关系是()A.A.相交相交B.B.异面异面C.C.平行平行D.D.垂直垂直【解析解析】选选C.C.如如图图,连连接接ADAD1 1,CD,CD1 1,AC,AC,则则E,FE,F分分别为别为ADAD1 1,CD,CD1 1的中点的中点.由三角形的中位由三角形的中位线线定理定理,知知EFAC,GHAC,EFAC,GHAC,所以所以EFGH.EFGH.2.2.如如图图,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1

27、1中中,E,F,G,E,F,G分分别别是棱是棱CCCC1 1,BBBB1 1,DD,DD1 1中点中点.求求证证:BGC=FD:BGC=FD1 1E.E.【证证明明】因因为为E,F,GE,F,G分分别别是正方体的棱是正方体的棱CCCC1 1,BB,BB1 1,DD,DD1 1的中的中点点,所以所以CECE平行且等于平行且等于GDGD1 1,BF,BF平行且等于平行且等于GDGD1 1.所以四所以四边边形形CEDCED1 1G G与四与四边边形形BFDBFD1 1G G均均为为平行四平行四边边形形.所以所以GCDGCD1 1E,GBDE,GBD1 1F.F.因因为为BGCBGC与与FDFD1 1

28、E E的方向相同的方向相同,所以所以BGC=FDBGC=FD1 1E.E.【加练加练固固】如图如图,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,E,F,E1 1,F,F1 1分别是棱分别是棱AB,AD,BAB,AD,B1 1C C1 1,C,C1 1D D1 1的中点的中点.求证求证:(1)EF(1)EF E E1 1F F1 1.(2)EA.(2)EA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1.【证证明明】(1)(1)如如图图,连连接接BD,BBD,B1 1D D1 1,在在ABDABD中中,因因为为E,FE,F分分别为别为AB,ADAB,

29、AD的中点的中点,所以所以EFEF BD.BD.同理同理,E,E1 1F F1 1 B B1 1D D1 1.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,BB,BB1 1 DDDD1 1,所以四所以四边边形形BBBB1 1D D1 1D D为为平行四平行四边边形形,所以所以BDBD B B1 1D D1 1.又又EFEF BD,EBD,E1 1F F1 1 B B1 1D D1 1,所以所以EFEF E E1 1F F1 1.(2)(2)取取A A1 1B B1 1的中点的中点M,M,连连接接F F1 1M,BM,M,BM,则则MFMF1 1 B B

30、1 1C C1 1.又又B B1 1C C1 1 BC,BC,所以所以MFMF1 1 BC,BC,所以四所以四边边形形BMFBMF1 1C C为为平行四平行四边边形形,所以所以BMCFBMCF1 1.因因为为A A1 1M=AM=A1 1B B1 1,BE=AB,BE=AB,且且A A1 1B B1 1 AB,AB,所以所以A A1 1M M BE,BE,所以四所以四边边形形BMABMA1 1E E为为平行四平行四边边形形,所以所以BMABMA1 1E,E,所以所以CFCF1 1AA1 1E.E.同理可同理可证证A A1 1FCEFCE1 1.因因为为EAEA1 1F F与与E E1 1CFC

31、F1 1的两的两边边分分别对应别对应平行平行,且方向都相且方向都相反反,所以所以EAEA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1.类型三异面直线所成的角类型三异面直线所成的角【典例典例】已知三棱锥已知三棱锥A-BCDA-BCD中中,AB=CD,AB=CD,且直线且直线ABAB与与CDCD成成6060角角,点点M,NM,N分别是分别是BC,ADBC,AD的中点的中点,求直线求直线ABAB和和MNMN所成所成的角的角.【思维思维引引】选择恰当的点分别作选择恰当的点分别作ABAB和和CDCD的平行线的平行线,同时找到直线同时找到直线ABAB与与CDCD所成的角、直线所成的角、直线ABAB和和MNMN所

32、成的角所成的角.【解析解析】如如图图,取取ACAC的中点的中点P,P,连连接接PM,PN,PM,PN,因因为为点点M,NM,N分分别别是是BC,ADBC,AD的中点的中点,所以所以PMAB,PMAB,且且PM=AB;PNCD,PM=AB;PNCD,且且PN=CD,PN=CD,所以所以MPN(MPN(或其或其补补角角)为为ABAB与与CDCD所成的角所成的角.所以所以PMN(PMN(或其或其补补角角)为为ABAB与与MNMN所成的角所成的角.因因为为直直线线ABAB与与CDCD成成6060角角,所以所以MPN=60MPN=60或或MPN=120.MPN=120.又因又因为为AB=CD,AB=CD

33、,所以所以PM=PN,PM=PN,若若MPN=60,MPN=60,则则PMNPMN是等是等边边三角形三角形,所以所以PMN=60,PMN=60,即即ABAB与与MNMN所成的角所成的角为为60.60.若若MPN=120,MPN=120,则则易知易知PMNPMN是等腰三角形是等腰三角形.所以所以PMN=30,PMN=30,即即ABAB与与MNMN所成的角所成的角为为30.30.综综上可知上可知:AB:AB与与MNMN所成角所成角为为6060或或30.30.【素养素养探探】在与异面直线所成的角有关的问题中在与异面直线所成的角有关的问题中,经常利用核心经常利用核心素养中的数学运算和逻辑推理素养中的数

34、学运算和逻辑推理,通过直线与直线平行和通过直线与直线平行和异面直线所成角的定义作出所求角异面直线所成角的定义作出所求角,并在三角形中求出并在三角形中求出角的大小角的大小.将本例的条件改为将本例的条件改为“E,FE,F分别为分别为AC,BDAC,BD的中点的中点,若若CD=2AB,EFABCD=2AB,EFAB”,求求EFEF与与CDCD所成的角所成的角.【解析解析】取取ADAD的中点的中点H,H,连连接接FH,EH.FH,EH.则则在在EFHEFH中中,EFH=90,HE=2HF,EFH=90,HE=2HF,从而从而FEH=30.FEH=30.【类题类题通通】1.1.求两异面直线所成的角的一般

35、步骤求两异面直线所成的角的一般步骤:(1)(1)作作:根据所成角的定义根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成用平移法作出异面直线所成的角的角.(2)(2)证证:证明作出的角就是要求的角证明作出的角就是要求的角.(3)(3)计算计算:求角的值求角的值,常利用解直角三角形常利用解直角三角形.可用可用“一作二证三计算一作二证三计算”来概括来概括.2.2.需要关注的问题需要关注的问题因为异面直线所成角因为异面直线所成角的范围是的范围是0 09090,所以平所以平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别这种情况要注意识别这种情况.【习练

36、习练破破】在四棱锥在四棱锥A-BCDEA-BCDE中中,底面四边形底面四边形BCDEBCDE为梯形为梯形,BCDE.,BCDE.设设CD,BE,AE,ADCD,BE,AE,AD的中点分别为的中点分别为M,N,P,Q.M,N,P,Q.(1)(1)求证求证:M,N,P,Q:M,N,P,Q四点共面四点共面.(2)(2)若若ACDE,ACDE,且且AC=BC,AC=BC,求异面直线求异面直线DEDE与与PNPN所成角的所成角的大小大小.【解析解析】(1)(1)因因为为CD,BE,AE,ADCD,BE,AE,AD的中点分的中点分别为别为M,N,P,Q,M,N,P,Q,所以所以PQPQ为为ADEADE的中

37、位的中位线线,MN,MN为为梯形梯形BCDEBCDE的中位的中位线线,所以所以PQDE,MNDE,PQDE,MNDE,所以所以PQMN,PQMN,所以所以M,N,P,QM,N,P,Q四点共面四点共面.(2)(2)因因为为PNPN为为ABEABE的中位的中位线线,所以所以PNAB.PNAB.又又BCDE,BCDE,所以所以ABCABC即异面直即异面直线线DEDE与与PNPN所成的角所成的角.又又ACDE,ACDE,所以所以ACBC,ACBC,在在RtACBRtACB中中,tanABC=,tanABC=所以所以ABC=60.ABC=60.所以异面直所以异面直线线DEDE与与PNPN所成的角所成的角

38、为为60.60.【加练加练固固】如图所示如图所示,空间四边形空间四边形ABCDABCD中中,两条对边两条对边AB=CD=3,E,FAB=CD=3,E,F分分别是另外两条对边别是另外两条对边AD,BCAD,BC上的点上的点,且且 求求ABAB和和CDCD所成的角的大小所成的角的大小.【解析解析】如如图图,过过E E作作EOAB,EOAB,交交BDBD于点于点O,O,连连接接OF,OF,所以所以 所以所以 ,所以所以OFCD.OFCD.所以所以EOF(EOF(或其或其补补角角)是是ABAB和和CDCD所成的角所成的角.在在EOFEOF中中,OE=AB=2,OE=AB=2,OF=CD=1,OF=CD=1,又又EF=,EF=,所以所以EFEF2 2=OE=OE2 2+OF+OF2 2,所以所以EOF=90.EOF=90.即异面直即异面直线线ABAB和和CDCD所成的角所成的角为为90.90.