教育专题：垂径定理2.ppt

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1、垂径定理垂径定理（1）2009.10.26大连第十八中学大连第十八中学知识回顾知识回顾：1.如图所示，如图所示，AB是是 O的直径，的直径，AC是弦，是弦，OABC（1）若）若B=40 ，则，则AOC=_（2）若）若AOC=70 ，则，则B=_2.如图所示：在如图所示：在ABC中，中，C=90 ，CAB（1）AB=10，BC=6，则，则AC=_（2）AC=6，BC=2，则，则AB=_80 35 8问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧弧所对的弦的长所对的弦的长)为为37.437.4m m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离

2、)为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：你能得到什么结你能得到什么结论？论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦

3、的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图

4、形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作

5、直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，

6、它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为

7、什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称

8、性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对

9、称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足

10、为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？

11、（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？A BDCOE

12、24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？A BDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径

13、所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，A

14、B是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？（A）BDCOEA24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。（A）BDCOEA2.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。对的

15、两条弧。符号语言：符号语言：CD经过圆心经过圆心O，CDAB于于E，AE=BE，AD=BD，AC=BCOABDCOEABCODABCODABC应用垂径定理的几个基本图应用垂径定理的几个基本图请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。O探究探究：ABDCE如图，若直径如图，若直径CD平分弦平分弦AB交交AB于于E时，时，你认为都有哪些结论成立？你认为都有哪些结论成立？ABDCOEABOECDAB是弦，但不能是直径时，才有垂直是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分，平分AB所所对的两条弧。对的两条弧。24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称

16、性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。（A）BDCOEA2.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。3.垂径定理的推论：垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。4.垂径定理应用举例：垂径定理应用举例：例例1.如图所示，已知如图所示，已知AB是是 O的弦，的弦，OCAB于于C，且，且AB=8，OC=3，求，求 O的半径。的半径。OACB 连接连接O

17、A，在，在RtACO中中OA=5 所以所以 O的半径为的半径为5.练习：练习：1.如图如图 O的半径为的半径为8，OC 弦弦AB于于C，且，且OC=6，求弦长求弦长AB。2.如图如图 O的半径为的半径为6，弦，弦AB=8，求圆心，求圆心O到到AB的距离。的距离。解：解：OCAB于于C AC=BC=AB=4问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它的主桥它的主桥是圆弧形是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.437.4m m,拱高拱高(弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距离离)为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？的半径吗？赵州桥

18、主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ABODC解：用解：用AB表示主拱桥，设表示主拱桥，设AB所在圆的所在圆的圆心为圆心为O，过点，过点O作作AB的垂线交的垂线交AB于于C。由垂径定理可知，由垂径定理可知，D是是AB的中点，的中点，C是是AB的中点，的中点，CD就是拱高。就是拱高。AB=37.4，CD=7.2，AD=18.7，设，设OA=OC=ROD=OC-CD=R-7.2.在在RtAOD中，中，OA2=AD2+OD2即即 R2=18.72+(R-7.2)2 解得解得 R27.9因此，赵州桥的主桥拱的半径约为因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。米。课堂小结课堂小结 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：（A）BDCOEA2.垂径定理：垂径定理：3.垂径定理的推论：垂径定理的推论：4.垂径定理应用举例：垂径定理应用举例：在弦长，半径，圆心到弦的距离，在弦长，半径，圆心到弦的距离，拱高四个量中，知俩求俩。拱高四个量中，知俩求俩。作业布置：导航相应练习作业布置：导航相应练习