数学归纳法证明不等式课件.ppt

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1、 在数学研究中，人们会遇到这样的情在数学研究中，人们会遇到这样的情况，对于任意况，对于任意正整数正整数n或不小于某个数或不小于某个数n0的的任意任意正整数正整数n，都有某种关系成立。都有某种关系成立。对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法-数学归纳法数学归纳法与正整数有关与正整数有关的命题的命题例如：例如：14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2(nN+)n21+nx(x-1,nN+).n=5,a5=25问题情境一问题情境一问题问题 1:大球中有大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？个小球，如何验证它们都是绿色的？完全

2、归纳完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法 模模 拟拟 演演 示示问题问题3:已知：13=2 135=3 1357=4 1+3579=5可猜想：1+35（1）n（2n1）问题问题2：若：若an=(n2-5n+5)2，则则an=1。对吗？。对吗？1 1 1 1 当当n=1,a1=;n=2,a2=;n=3,a3=;n=4,a4=;（1）n n问题情境二：数学家费马运用不完全归问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例纳法得出费马猜想的事例猜想：都是质数法国的数学家费马（法国的数学家费马（PierredeFermat）(1601年年1665年年)。十七世纪最卓越的数学家之一，十七世纪最卓越

3、的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，为了表彰他的数学造诣，世人冠以世人冠以“业余王子业余王子”之美称，之美称，归纳法：由一系列有限的归纳法：由一系列有限的特殊事例特殊事例得出得出一般结论一般结论的推理方法。的推理方法。（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1 1）完全归纳法：考察）完全归纳法：考察全体全体对象，得到一般结论的推理方法。对象，得

4、到一般结论的推理方法。（2 2）不完全归纳法）不完全归纳法,考察考察部分部分对象对象,得到一般结论的推理方法。得到一般结论的推理方法。归纳法分为归纳法分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳法。不完全归纳法。归纳法归纳法如何解决不完全归纳法如何解决不完全归纳法存在的问题呢？存在的问题呢？必须寻找一种用必须寻找一种用有限有限个步骤，就个步骤，就能处理完能处理完无限无限多个对象的方法。多个对象的方法。问题情境三问题情境三 多米诺骨牌多米诺骨牌操作实验操作实验数学归纳法数学归纳法我们常采用我们常采用数学归纳法数学归纳法来证明：由不完全归纳法来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的

5、正确性得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性.（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立 （2 2）假设当）假设当n=n=k(kk(k N N ,k n,k n0 0)时命题成立时命题成立 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立。时命题也成立。这种证明方法叫做这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法k=2,k+1=2+1=3k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4k=3,k+1=3+1=4k=10,k+1=10+1=11k=10,k+1=10+1=11下面我们来证明前面问题下面我们来证明前面问题3中猜想

6、的正确性中猜想的正确性证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时,左边左边=1,1,右边右边=1,1,左边左边=右边右边,当当n=1n=1时，式时，式（*）成立成立 (2)(2)假设当假设当n=kn=k时，式时，式（*）成立，成立，即即 1+35（1）k（2k1）（1）k k在这个假设下再考虑当在这个假设下再考虑当n=k+1n=k+1时，式时，式（*）的左右两边的左右两边 是否成立是否成立.例例1、用数学归纳法证明：当、用数学归纳法证明：当nN+时，时，1+35（1）n（2n1）（1）n n （*）当当n=k+1时时等式左边等式左边1+35（1）k（2k1）（1）k1 2(k+1)1（1）k

7、1 2(k+1)1（1）k1(k+1)右边所以当n=k+1时等式（*）成立。由（1）（2）可知，1+35（1）n（2n1）（1）n n 利用利用假设假设凑结论凑结论从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化（1）k k（1）k1 k2(k+1)1下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：（1）验证：）验证：n=n0（n0N+）时命题成立。时命题成立。（2）证明：假设）证明：假设n=k（kn0）时命题成立，）时命题成立，则则n=k+1时命题也成立。时命题也成立。对所有的对所有的n（n0N+，nn0）命题成立）命题成立奠基奠基假设与假设与递推递推

8、数学归纳法数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论主要有两个步骤、一个结论:第一步：验证当第一步：验证当n n取第一个值取第一个值n n0 0（如如 n n0 0=1=1或或2 2等）时结论正确等）时结论正确第二步：第二步：假设假设n=k(n=k(kNkN ，且且k nk n0 0)时结论正确，时结论正确，证明证明n=k+1n=k+1时结论也正确时结论也正确结论：结论：由（由（1 1）、（）、（2 2）得出结论正确）得出结论正确找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整数学归纳法主要步骤数学归纳法主要步骤:

9、例例2用数学归纳法证明用数学归纳法证明14411）此时此时n0=_左左_右右=_2）假设）假设n=k时命题成立，即时命题成立，即当当n=k时，等式左边共有时，等式左边共有_项，项，第第(k1)项是项是_。k(K1)3(k1)11(11)2=414+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2 3）当）当n=k+1时，命题的形式是时，命题的形式是4）此时，左边增加的项是）此时，左边增加的项是5)从左到右如何变形？从左到右如何变形？14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k+1)+12(k+1)3(k+1)+1

10、证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边144，右边，右边1224，等式成立。，等式成立。（2）假设）假设n=k时时命题成立，即命题成立，即14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立都成立 当当n=k+1时时左边左边=14+27+310+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)k(k+1)+3(k+1)+1=(k+1)k2+4k+4=(k+1)(k+1)+12右边右边练习巩固练习巩

11、固 1 1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：在验证在验证n=1n=1成立时，左边计算所得的结果是成立时，左边计算所得的结果是22.某个命题与正整数某个命题与正整数n有关，如果当有关，如果当时命题成时命题成立，那么可推得当立，那么可推得当n=k+1时命题也成立时命题也成立.现已知当现已知当n=5时时该命题不成立，那么可推得该命题不成立，那么可推得（）A当当n=6时该命题不成立时该命题不成立B当当n=6时该命题成立时该命题成立C当当n=4时该命题不成立时该命题不成立D当当n=4时该命题成立时该命题成立C3.如下用数学归纳法证明对吗？如下用数学归纳法证明对吗？证明：证明：当当n=1时，左边时，左

12、边右边右边等式成立。等式成立。假设假设n=k时等式成立，有时等式成立，有那么，当那么，当n=k+1时，有时，有即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据可知，对可知，对nN，等式成立，等式成立。注意注意:用上假设递推才真第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明既然不对，如何改正？既然不对，如何改正？三注意：三注意：1、有时、有时n n0 0不一定等于不一定等于12、项数不一定只增加一项。、项数不一定只增加一项。3、一定要用上假设、一定要用上假设分析分析4.用数学归纳法证明用数学归纳法证明 121223233434n(nn(n1)1)练

13、习巩固练习巩固 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化利用利用假设假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边=2.命题成立命题成立 n=k+1时命题正确。时命题正确。由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。l明确初始值明确初始值n0，验证真假。（必不可少），验证真假。（必不可少）l“假设假设n=k时命题正确时命题正确”，写出命题形式。，写出命题形式。l证明证明“n=k+1时时”命题成立。命题成立。分析分析“n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并

14、找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。加的项。注意用上假设，注意用上假设，l要作结论要作结论用数学归纳法证明恒等式注意事项：用数学归纳法证明恒等式注意事项：数学归纳法数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论主要有两个步骤、一个结论:（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0（如如 n n0 0=1=1或或2 2等）时结论正确等）时结论正确（2 2）假设）假设n=k(n=k(kNkN ，且且k nk n0 0)时结论正确，时结论正确，证明证明n=k+

15、1n=k+1时结论也正确时结论也正确 由（由（1 1）、（）、（2 2）得出结论正确）得出结论正确（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于与正整数有关与正整数有关的问题。的问题。（2）两个步骤，一个结论缺一不可两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。，否则结论不能成立。（3）在证明递推步骤时，必须）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设使用归纳假设。递推基础不可少递推基础不可少归纳假设要用到归纳假设要用到结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉归纳法归纳法完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法数学归纳法数学归纳法穷举法穷举法可能错误如何避免？

16、数学归纳法是一种完全归纳法数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限有限”的的手段，来解决手段，来解决“无限无限”的问题。它克服了完全归纳法的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷到一般、由有限到无穷。数学归纳法的核心数学归纳法的核心思想思想（1）思考题：）思考题：问题 1中大球中有很多个小球，如何证明它们都是绿色的

17、？模模 拟拟 演演 示示（2）课本作业）课本作业P50.习题4.1 1，2（3 3）补充作业）补充作业:用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，那么an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。（4）预习课本）预习课本P49例例1和例和例2哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想l德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和.他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.l1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现:问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”l这就是著名的哥德巴赫猜想这就是著名的哥德巴赫猜想.