指数函数与对数函数的交点个数问题讲义-高三数学一轮复习.docx

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1、指数函数与对数函数交点个数问题论题：指数函数与对数函数 交点个数问题分及两种情况进行讨论（一）：当时，过原点作的切线，设切点为 又 从而当，即，亦即时，P在上，这样就有，是与的公共点.当,即，亦即时，与相离, 与没有公共点.当,即，亦即时，与有两个公共点,同理可知,均是与的公共点.引理：当时，与不可能有不在上的公共点.证明：用反证法.假设与有公共点,当时,由得单增,又由此式结合可知,与矛盾.同理当时亦矛盾.从而假设不真.所以,引理得证.由上可知：当时, 与有两个公共点,当时, 与有唯一公共点,当时, 与没有公共点.（二）：当时,作函数,易知,不妨设,则,过原点作的切线,则切线的斜率当,即时,恒

2、成立.从而单增,有唯一的零点.当,即时,不妨设与交于两点, ()则当时, 当时, ,当时, 的单增区间为,单减区间为在处取得极大值,且,在处取得极小值,且,再由零点存在定理可知, 有三个零点,分别在区间,之内.对上述及的结论,可证明如下：设 （）与的交点为 即当时，的函数值小于的函数值，数形结合可知 （）与的交点为从而于是又，又，又当时, 当时, ,当时, 又在区间单减及可知且由上可知：当即时，与有唯一公共点,且此公共点在上，当即时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线上.综合上述,我们可以得到如下结论：当时, 与有两个公共点,且两个公共点均在直线上.当时, 与有唯一公共点, 且该公共点在直线上.当时, 与没有公共点.当时，与有唯一公共点,且此公共点在上，当时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线上.4学科网（北京）股份有限公司