43.勾股定理全章复习与巩固（基础）知识讲解.docx

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1、勾股定理全章复习与巩固（基础）撰稿：康红梅责编：吴婷婷【学习目标】. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；1 .理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1 .勾股定理：直角三角形两直角边小的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2）2 .勾股定理的应用.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要 应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为6的线段.要点二、勾股定理

2、的逆定理.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆 命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.1 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长久 氏C,满足。2+/=02,那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C；（2）验证与2+/是否具有相等关系，若片+/二，则4ABC是以NC为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.2 .勾股数满足不定方程V + y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）, 显然，以X、

3、八Z为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果（以 江c）是勾股数，当t为正整数时，以、初、4为三角形的三边长，此三 角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1 .较小的直角边为连续奇数；2 .较长的直角边与对应斜边相差1.3 .假设三个数分别为久 权c,且ah90。时，BC = BD-CD = 9-5 = 4./，ZXABC 的周长为：AB+BC+CA=15+4 + 13 = 32./当 NACB S3之间有什么关系？(不必证明)(2)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三

4、角形，其面积分别用 岳、邑、S3表示，请你确定年、邑、&之间的关系并加以证明.【答案与解析】 解：设RtABC的三边BC、CA、AB的长分别为以b、C,则片+二片.(1) = S2+ S3 ；(2) S=S2+S3.证明如下:显然，s= - c2, S2= a2, S3=b2,4 一 434所以 S2+S3=Y(a2+b2)= 1c2=S1.【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等.5、如果AABC的三边分别为a、b、c,且满足/+/+。2+50 = 6+ 8b +10c ,判 断 ABC的形状.【答案与解析】解：由/+/+。2+50 = 6。+ 8/7

5、+ 10。，得：片6q + 9 + Z?28b + 16 + c210c + 25 = 0(Q 3)2+S 4)2+(C 5)2=0(a - 3)2 0,(Z? - 4)2 0,(c - 5)2 0。= 3, /? = 4, c = 5. 32+42=52,a? + / = C2 .由勾股定理的逆定理得：AABC是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要 用到.类型三、勾股定理的实际应用C6、如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对 的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到

6、B处的最短路线长为多少？【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面 是正方形，故它爬行的路径有两种情况.【答案与解析】解：如图所示.因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB的长度.在图中，由勾股定理，得4笈=32 +112 =130.在图中，由勾股定理，得人笈=6?+82 =100.因为130100,所以图中的AB的长度最短，为10cm,即蚂蚁需要爬行的最短路线 长为10 cm .【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面 图形上的直线，再运用勾股定理求解.举一反三：.【高清课堂勾股定理全章复习例10】【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底 面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 .（兀取3）【答案】25； 提示：蚂蚁爬的最短路线长520X525.