2019届高三数学第一次（期末考试）教学质量检测试题 文（含解析）.doc

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1、- 1 -20192019 年第一次教学质量检测年第一次教学质量检测高三文科数学试题高三文科数学试题一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1.是虚数单位，复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则有：，则该复数在复平面内对应的点位于第三象限.本题选择C选项.2. 若全集，集合，则为( )A. B. C. D.

2、【答案】B【解析】求解二次不等式可得：或，则，结合交集的定义有：.本题选择B选项.3. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的平均数为：，结合题意可知：甲组的平均数为 33，即，则甲组数据的平均数为：.- 2 -本题选择B选项.4. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为( )A. 0 B. 2 C. 0 或 1 D. 0 或 2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选 D.5. 设，其中变量满足，若的最大值为 6，则的最小值为( )A. B. C.

3、 1 D. 2【答案】A【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域,由,得,平移直线,由图象可知当直线经过点 时,直线的截距最大,此时最大为 .即,经过点 时, 直线的截距最小,此时最小.由,得,即,因为直线过 ,.由,解得,即.此时最小值为,故选 A.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.6. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是( )- 3 -A. 与是异面直线B. 平面C. 平面D. 与为异面直线，且【答案】D【解析】与均在平面内，两直线不是异面直线，说法A错误；底面三角形是正三角形，则ABC是正三角形，CAB=60，据此可知平面不成立，说法B误

4、；，而 平面不成立，据此可知平面不成立，说法C错误；ABC是正三角形，则AEBC，又AECC1，据此可得平面，则与为异面直线，且，说法D正确；本题选择D选项.7. 九章算术是中国古代的数学专著，是“算经十书”中最重要的一种。在其第七章中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是植物蒲发芽的第一天长高三尺，植物莞发芽的第一天长高一尺。蒲从第二天开始每天生长速度是前一天的一半，莞从第二天开始每天生长速度为前一天的两倍。问这两种植物在何时高度相同？在此问题中，蒲和莞高度相同的时刻在( )A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天

5、【答案】B【解析】由题意可得：- 4 -蒲发芽的第一天长高 3 尺，第二天长高尺，第三天长高尺；莞发芽的第一天长高 1 尺，第二天长高尺，第三天长高尺；综上可得：蒲和莞高度相同的时刻在第三天.本题选择B选项.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )A. 115 B. 116 C. 357 D. 358【答案】D【解析】结合题意，程序运行如下：首先初始化，第一次循环，此时不满足，执行；第二次循环，此时不满足，执行；第三次循环，此时不满足，执行；第四次循环，此时不满足，执行；第五次循环，此时满足，跳出循环，输出.本题选择D选项.点睛：点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计

6、算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节9. 函数的图象大致是( )A. B. - 5 -C. D. 【答案】A【解析】函数有意义，则：，由函数的解析式可得：，则选项BD错误；且，则选项C错误；本题选择A选项.10. 已知函数，则( )A. 44 B. 45 C. 1009 D. 2019【答案】A【解析】原问题等价于求解：中有理数的个数，结合可得：有理数的个数为个，即：.本题选择A选项.11. 在中，若，则周长的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，则：，即：.据此

7、可得ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，则：- 6 -，据此有：，ABC的周长：，三角形满足两边之和大于第三边，则：，综上可得：周长的取值范围是.本题选择C选项.12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点 是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，令，由题意可得：，据此可得：，则：，则：，由可得：，结合二次函数的性质可得：，则：，即的取值范围是.本题选择D选项.点睛：点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于

8、a，b，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)- 7 -二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，且，则_.【答案】【解析】由向量平行的充要条件有：，则：，则：.14. 将函数的图象向左平移 个单位长度后得到函数，则的单调递减区间为_.【答案】【解析】函数的解析式：，则：，据此可得，函数的单调递减区间满足：，计算可得，函数的单调递减区间为.15. 数列的前 项和为，若，则数列的前 项和为_.【答案】【解析】当时，由题意可

9、得：，两式作差可得：据此可得，数列是首项为 ，公比为 的等比数列，则，错位相减可得其前n项和，分组求和可得数列的前 项和为.点睛：点睛：数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和16. 已知四棱椎中，底面是边长为 2 的菱形，且，则四棱锥- 8 -体积的最大值为_.【答案】【解析】四棱锥的体积最大，则使得底面积和高均取得最大值即可，底面积最大时，ABCD为正方形，此时底面积，高有最大值，首先要保证平面平面，由可知，点 在平面内的轨迹是以中点为圆心，

10、长度为直径的圆，则高的最大值为：，综上可得：体积的最大值为：.三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 在中，内角所对的边是，.(1)求的值；(2)求边上的高.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由，结合同角三角函数基本关系可得可得.(2)由(1)知，结合数量积的定义可得，又，故，由余弦定理可得，利用面积相等可得边上的高为.试题解析：(1)在中，由，可得.(2)由(1)知，由，又，解得：，由，可得，设边上的高为 ，则，- 9 -所以边上的高为

11、.18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形， 是上的动点.(1)求证：平面平面；(2)求四棱锥的侧面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意可知四边形是菱形，由线面垂直的性质可得，故平面，结合面面垂直的判断定理可得平面 平面.(2)过 作交于 ，连接，由几何关系可得，且有，而，结合图形的对称性可得四棱锥的侧面积为.试题解析：(1)在平行四边形中，四边形是菱形，平面，平面，又，平面，平面，平面 平面.- 10 -(2)平面，过 作交于 ，连接，平面，又，四棱锥的侧面积为.19. 某中学为了解高一学生的视力健康状况，在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视力表，

12、按照中国学生体质健康监测工作手册的方法对 1039 名学生进行了视力检测，判断标准为：双眼裸眼视力为视力正常，为视力低下，其中为轻度，为中度，为重度.统计检测结果后得到如图所示的柱状图.(1)求该校高一年级轻度近视患病率；(2)根据保护视力的需要，需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊，并开展相应的矫治，则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人？(3)若某班级 6 名学生中有 2 人为视力正常，则从这 6 名学生中任选 2 人，恰有 1 人视力正- 11 -常的概率是多少？【答案】(1)；(2)135 人；(3).【解析】试题分析：(1)由柱状图计算可得该校高一

13、年级学生轻度近视患病率为.(2)由已知计算可得：该校高一年级需通知的家长人数约为人.(3)记 6 名学生中视力正常的学生为，视力低下的学生为，列出所有可能的基本事件，结合古典概型计算公式可得恰有 1 人视力正常的概率是.试题解析：(1)由柱状图可得：，即该校高一年级学生轻度近视患病率为.(2)由已知可得：(人)即该校高一年级需通知的家长人数约为 135 人.(3)记 6 名学生中视力正常的学生为，视力低下的学生为，则从中任选 2 人所有可能为：，.即从这 6 名学生中任选 2 人恰有 1 人为视力正常的概率为.20. 已知抛物线的焦点到直线的距离为.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点 是抛物

14、线上的动点，若以点 为圆心的圆在 轴上截得的弦长均为 4，求证：圆 恒过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得抛物线的焦点坐标为，利用点到直线距离公式得到关于实数p的方程，解- 12 -方程可得抛物线的标准方程是.(2)设圆心 的坐标为，半径为，由题意结合勾股定理有，则圆 的标准方程整理变形可得，该方程对于任意的均成立，则据此可得圆 过一定点为.试题解析：(1)由题意，焦点坐标为，由点到直线的距离公式，得，所以抛物线的标准方程是.(2)设圆心 的坐标为，半径为，圆 在 轴上截得的弦长为 ，所以，圆 的标准方程：，化简得：，对于任意的，方程均成立，故有：解得：

15、，所以，圆 过一定点为.点睛：点睛：求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点21. 已知函数，.(1)讨论函数的单调性；- 13 -(2)已知，若函数恒成立，试确定的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式有，结合二次函数的性质分类讨论：当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)可知，满足题意时需，即，结合题意构造函数在，结合函数的性质可得的取值范围是.试题解析：(1)由，得：，当时，在上恒成立，函数在上单调递增；当时，令

16、，则，得，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即需，即，又由得，代入上面的不等式得，由函数在上单调递增，所以，- 14 -所以的取值范围是.点睛：点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生

17、活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，其中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是， 为曲线与的交点.(1)当时，求点 的极径；(2)点 在线段上，且满足，求点 的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1) 先求得曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，从而可得点 的极径；(2) 点，由题意可得，进而可得，两边同乘以 ，利用 即可得点的轨迹的直角坐标方程.试题解析：(1)由题意可知，曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，故点 的极径为.(2)在极坐标系中，设点，由题意可得，进而可得，从而点 的轨迹的直角坐标方程为.23. 已知函数，其中.(1)当时，求不等式的解集；(2)设函数，当时，求的取值范围.- 15 -【答案】(1)；(2).(3).试题解析：(1)当时，解不等式，时；时，；不等式总成立，所以得，所以，的解集为.(2)当时，所以当时，等价于恒成立，所以；当时，等价于恒成立，所以；当时，等价于，此时恒成立，所以；综上可得，.