2014年六年级数学思维训练：不定方程.doc

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1、第 1 页（共 26 页）2014 年六年级数学思维训练：不定方程年六年级数学思维训练：不定方程一、兴趣篇一、兴趣篇1有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装 8 千克油，小油桶能装 5 千克油，44 千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个？2有 150 个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装 12 个，小盒装 7 个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了 15 天，它们并不是，每天早晚都见面，在这 15 天内它们共叫 6

2、1 声问：波斯猫至少叫了多少声？4庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共 700 多人，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，19 个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个和尚每天吃 4 个馒头 请问：庙里有多少个和尚？5某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 的职工各带一个孩子参加 男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216棵树那么其中有多少名男职工？6新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的 100 本教科书已知老师和学生共 14人，每个老师能搬 12 本，每个男生能搬 8 本，每个女生能搬 5 本，恰好一次搬完，问

3、：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20 分、40 分和 50 分，其中面值 20 分的邮票售价 5 元，面值 40 分的邮票售价 8 元，面值 50 分的邮票售价 9 元小明花了 156 元买回了总面值为 8.3 元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8小明在邮局寄了 3 种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是封9有纸币 60 张，其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有若干张请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是 100 元？10快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个

4、7 元，鸡肉汉堡每个 9 元，牛肉汉堡每个 14 元，小明去快餐店买汉堡他付款 100 元，找回 8 元请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？二、拓展篇二、拓展篇11甲级铅笔 7 角一支，乙级铅笔 3 角一支，张明用 5 元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？12采购员去超市买鸡蛋每个大盒里有 23 个鸡蛋，每个小盒里有 16 个鸡蛋（盒子不能拆开）采购员要恰好买 500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？13在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有 9000 人，每个航空兵师有 8000 人在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有 27.1 万人如果这两个集团军都是由

5、步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？14甲、乙两个小队的同学去植树甲小队有一人植树 12 棵，其余每人都植树 13 棵；乙小队有一人植树 8 棵，其余每人都植树 10 棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵问：甲、乙两小队共有多少人？第 2 页（共 26 页）15 将一根长为 380 厘米的合金铝管截成若干根长为 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？16某次数学比赛，用两种不同的方式判分一种是答对 1 题给 5 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种是先给 40 分，答对 1 题给

6、3 分，不答不给分，答错扣 1 分，某考生两种判分方法均得 71 分，请问：这次比赛共考了多少道题？17我国古代数学家张丘建在算经 一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值 5 文钱，每只母鸡价值 3 文钱，每 3 只小鸡价值 1 文钱要想用 100 文钱恰好买 100 只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？18小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买钢笔 4 支一盒，每盒 5 元；圆珠笔 6 支一盒，每盒 6 元；铅笔 10 支一盒，每盒 7 元小李总共花了 97 元，买了 90

7、 支笔请问：三种笔分别买了多少盒？19在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应 17 分、11 分和 4 分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数试问：如果比赛规定恰好投中 100 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中 120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？20阿奇到商店买糖，巧克力糖 13 元一包，奶糖 17 元一包，水果糖 7.8 元一包，酥糖 10.4元一包，最后他共花了 360 元，且每种糖都买了请问：阿奇共买了多少包奶糖？21小悦、冬冬去超市买水果小悦买了 2 千克桔子、3 千克苹果和 4

8、千克梨，共花了 28.5元，冬冬买了 3 千克桔子、5 千克苹果和 7 千克梨，共花了 47.7 元结账的时候碰到老师，老师买了 6 千克桔子和 3 千克苹果，那么老师应该花了多少钱？22红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小明买红笔、蓝笔各一支，共用了 23 元小强打算用 109 元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把 109 元恰好用完求红笔的单价三、超越篇三、超越篇23求不定方程 35x+64y=1625 的所有自然数解24一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共 1355 斤其中苹果每筐 60 斤，每斤定价 1.5 元；梨每筐 55 斤，每斤定

9、价 1.5 元；桃子每筐 45 斤，每斤定价 1.8 元批发市场是以定价的 70%购人这些水果的，如果全部售完，将获得 638.1 元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐？25雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的 2 倍这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐 1 人，三人桌每桌都只坐 2 人，四人桌每桌都只坐 3 人，且恰好平均每 11 人占用 17 个座位请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？26采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价 590 元的 A 种商品和若干个单价 670元的 B 种商品，其中 B 种商品多于 A 种

10、商品，最后找回了几张 100 元钞票和不到 10 张 10元钞票如果把 A、B 两种商品的数量调换，找回的 100 元和 10 元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？第 3 页（共 26 页）27有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共需 195 元；若购买甲 2 件、乙 l 件、丙 4 件、丁 2 件共需 183 元；若购买甲 2 件、乙 6 件、丙 6 件、丁 5件共需 375 元现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？28国庆节，公司发给唐师傅一张 1000 元的礼券，但只允许购买 A、B、C、D、E 五种商品，并且必须正好把礼券用

11、完已知这五种商品每盒的价格和重量如下表商品ABCDE单价（元）70110190290310重量（千克）1.521103如果唐师傅最多只能带走 20 千克商品，且一定要购买 D 商品，共有多少种不同的买法？29现有一架天平和很多个 13 克和 17 克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）30现有 1.7 升和 4 升的两个空桶和一个大桶里的 100 升汽油，用这两个空桶要倒出 l 升汽油，至少需要倒多少次？第 4 页（共 26 页）2014 年六年级数学思维训练：不定方程年六年级数学思维训练：不定方程参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、兴趣篇一、兴趣

12、篇1有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装 8 千克油，小油桶能装 5 千克油，44 千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个？【分析】设大桶有 x 个，小桶有 y 个，根据题意列出方程：8x+5y=44，根据不定方程的求解方法，解出未知数的值即可【解答】解：设大桶有 x 个，小桶有 y 个，根据题意得：8x+5y=44，变形为：y=，y 为自然数，则 448x5，即 y4.875，经试算，当 y=4，x=3 时符合题意答：大油桶有 3 个，小油桶有 4 个2有 150 个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装 12 个，小盒装 7 个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？【分析】设大盒

13、 x 个，小盒 y 个，则 12x+7y=150，由此求出这个方程的整数解即可解答问题【解答】解：设大盒 x 个，小盒 y 个，根据题意可得方程：12x+7y=150，方程可以变形为：x=，因为 x、y 都是整数，所以 1507y 必须是 12 的倍数，所以，当 x=9，y=6，或 y=18，x=2 是这个方程的整数解，答：大盒 9 个，小盒 6 个或者大盒 2 个，小盒 18 个才能恰好把这些球装完3小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了 15 天，它们并不是，每天早

14、晚都见面，在这 15 天内它们共叫 61 声问：波斯猫至少叫了多少声？【分析】设一共有 x 个早上，y 个晚上，则由题意可得：（1+2）x+（2+3）y=61，然后整理，进行分析、进而得出结论【解答】解：设一共有 x 个早上，y 个晚上，则：（1+2）x+（2+3）y=61 3x+5y=615y 的个位数只能是 0、5，所以 3x 的个位数只能是 1、6根据题意可得：y=5，x=12，那么波斯猫叫：35+112=27（声）；y=8，x=7，那么波斯猫叫：38+17=31（声）；因为 2731，所以波斯猫至少叫 27 声；答：波斯猫至少叫 27 声第 5 页（共 26 页）4 庙里有若干个大和尚

15、和若干个小和尚共 700 多人，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，19个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个和尚每天吃 4 个馒头 请问：庙里有多少个和尚？【分析】7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，平均每个大和尚吃个馒头；比 4 个多4=个；19 个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个小和尚吃个馒头；比 4 个少 4=个；大和尚的人数=小和尚的人数，由此求出大和尚的人数与小和尚的人数比，再根据共有 700 多这一范围，求出总人数【解答】解：4174，=4，=（个）；46019，=4，=（个）；大和尚的人数=小和尚的人数，那么：大和尚人数：小和尚的人数=：=（167）：（1319）

16、=112：247；如果按照大和尚人数是 112，小和尚人数是 247，那么总人数就是 112+247=359（个）；359700，所以总人数不是 359 人，应是：3592=718（个）；答：庙里有 718 个和尚5某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 的职工各带一个孩子参加 男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216棵树那么其中有多少名男职工？【分析】此题用算术法很难解答，可以设出未知数；设有男职工 x 人，女职工 y 人，则孩子有人，根据共种了 216 棵树列方程解答即可【解答】解：设有男职工 x 人，女职工 y 人，

17、则孩子有人，根据题意可得方程：13x+10y+6=216，方程可以整理为：15x+12y=216，即 5x+4y=72，所以 5x=4（y+18），由上式可以看出 5x 是 4 的倍数，5 与 4 的最大公约数是 1，则 x 是 4 的倍数第 6 页（共 26 页）当 x=4 时，y=13，不是整数，应舍去；当 x=8 时，y=8，不是整数，应舍去；当 x=12 时，y=3，=5，即男职工 12 人，女职工 3 人，小孩 5 人当 x12 时，y 无解可见，男职工有 12 人答：男职工有 12 人6新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的 100 本教科书已知老师和学生共 14人，每个老师

18、能搬 12 本，每个男生能搬 8 本，每个女生能搬 5 本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？【分析】设老师 x 人，男生 y 人，表示出女生人数：（14xy）人，根据题意列出不定方程，再根据 x、y 应为自然数，且 x+y14，据此解答即可【解答】解：设老师 x 人，男生 y 人，则女生（14xy）人，根据题意得：12x+8y+5（14xy）=100 化简得：7x+3y=30本题中 x、y 应为自然数，且 x+y14；经试算：x=3，y=3 时符合题意，1433=8，即女生有 8 人答：搬书的老师有 3 人、男生有 3 人、女生有 8 人7新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不

19、同的面值：20 分、40 分和 50 分，其中面值 20 分的邮票售价 5 元，面值 40 分的邮票售价 8 元，面值 50 分的邮票售价 9 元小明花了 156 元买回了总面值为 8.3 元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？【分析】设 20 分、40 分和 50 分得邮票分别买了 x、y、z 张，根据题意列出方程，根据 x、y、z 的实际意义，求出 x、y、z 的值即可【解答】解：设 20 分、40 分和 50 分得邮票分别买了 x、y、z 张，根据题意得：、消去 y 得：xz=10；得 x=z10，又 x 为自然数，则 z100，即 z10；、消去 x 得：8y+14z=206；得

20、：z=，又 z 为自然数，则 2068y14，即 y3；经试算：当 x=3，y=3，z=13 时符合题意答：20 分、40 分和 50 分得邮票分别买了 3 张、3 张、13 张8小明在邮局寄了 3 种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是9封【分析】设平信 x 封，航空信 y 封，挂号信 z 封，一元二角二分钱=122 分，价格分别为 8分，10 分，20 分，所以能够保证总数尾数为 2 分的只能是 8 分，因为 84=32，89=72；另价格最高的越多，寄信就越少，所以寄 4 封 8 分信件时，20 分最多 4 封，

21、所以是：4 封 8 分、4 封 20 分、1 封 10 分，共 9 封第 7 页（共 26 页）【解答】解：设平信 x 封，航空信 y 封，挂号信 z 封，一元二角二分钱=122 分，根据题意可得方程：8x+10y+20z=122，因为能够保证总数尾数为 2 分的只能是 8 分，因为 84=32，89=72；另价格最高的越多，寄信就越少，所以当 x=4 时，10y+20z=90，所以 z 最大为 4，则 y=1，4+4+1=9（封），答：三种信的总和最少是 9 封故答案为：99有纸币 60 张，其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有若干张请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是 100 元？

22、【分析】设其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有 a、b、c、d 张，假设总面值能恰好是 100 元，列出方程根据 a、b、c、d 的实际意义，看是否能解出 a、b、c、d 的值，据此判断即可【解答】解：设其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有 a、b、c、d 张，且 a、b、c、d 均为整数假设总面值能恰好是 100 元=10000 分，则必须满足：a+10b+100c+1000d=10000（1）且 a+b+c+d=60 （2）（1）（2）得：9b+99c+999d=9940；即（b+11c+111d）=，显然等式左边为整数，而右边是小数而非整数，等式不成立可见前面假设不成立，

23、所以这些纸币的总面值是不能够恰好是 100 元10快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个 7 元，鸡肉汉堡每个 9 元，牛肉汉堡每个 14 元，小明去快餐店买汉堡他付款 100 元，找回 8 元请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？【分析】先求出花了的钱数，再设买鱼肉汉堡 x 个，鸡肉汉堡 y 个，牛肉汉堡 z 个，再根据单价数量=总价，分别求出买三种汉堡的钱数，再根据三种汉堡的总钱数，列出不定方程解答【解答】解：设买鱼肉汉堡 x 个，鸡肉汉堡 y 个，牛肉汉堡 z 个7x+9y+14z=10087x+9y+14z=92所以 9y=92（7x+14z）所以 y=92（7x+14z）9因为 y 为整数，所以 9

24、2（7x+14z）必须为 9 的倍数，又 92（7x+14z）=90（7x+14z）2则 7x+14z2 的值必须是 9 的倍数，且小于 92所以可以设 7x+14z2=9k则 7x+14z=9k+2 （0k10）9k+2 这些数可以表示如下：2；11；20；29；38；47；56；65；74；83；92又 7x+14z=7（2x+z）即 7x+14z 是 7 的倍数，在上面的数中只有 56 符合条件第 8 页（共 26 页）所以 7x+14z=56所以 y=（9256）9=369=4（个）答：小明买了 4 个鸡肉汉堡二、拓展篇二、拓展篇11甲级铅笔 7 角一支，乙级铅笔 3 角一支，张明用

25、5 元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？【分析】根据题干，设买甲级铅笔 x 支，乙级铅笔 y 只，则根据等量关系甲级铅笔价格数量+乙级铅笔价格数量=50 角（5 元），据此可得方程：7x+3y=50，求出 x、y 的正整数解，再相加即可【解答】解：5 元=50 角，设买甲级铅笔 x 支，乙级铅笔 y 只，根据题意可得方程：7x+3y=50当 x=1 时，y 没有整数解当 x=2 时，y=12，2+12=14（支）当 x=3 时，y 没有整数解；当 x=4 时，y 没有整数解；当 x=5 时，y=5，5+5=10（支）当 x=6 时，y 没有整数解；当 x=7 时，y 没有

26、整数解；答：张明共买 14 支或 10 支铅笔12采购员去超市买鸡蛋每个大盒里有 23 个鸡蛋，每个小盒里有 16 个鸡蛋（盒子不能拆开）采购员要恰好买 500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？【分析】设买大盒的鸡蛋 x 盒，小盒的鸡蛋 y 盒，则 23x+16y=500，再根据 x 和 y 必须都是整数，解出不定方程即可【解答】解：设买大盒的鸡蛋 x 盒，小盒的鸡蛋 y 盒，则23x+16y=500所以 y=即 x，y 必须是偶数，所以 x=12，y=14；12+14=26（盒）答：他一共要买 26 盒13在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有 9000 人，每个航空兵师有 8000 人在一场战

27、役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有 27.1 万人如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？【分析】设军参与战斗的有 x 个步兵师，y 个航空兵师，再根据“从两个集团军抽调部分师参与战斗，一共有 27.1 万人”列出方程解答【解答】解：设军参与战斗的有 x 个步兵师，y 个航空兵师，9000 x+8000y=2710009x+8y=271因为 8y 是偶数，所以 9x 必须是奇数第 9 页（共 26 页）所以 x 必须是奇数，而 x=所以 x=23，此时 y=8；答：苏军参与战斗的有 23 个步兵师，9 个航空兵师14甲、乙

28、两个小队的同学去植树甲小队有一人植树 12 棵，其余每人都植树 13 棵；乙小队有一人植树 8 棵，其余每人都植树 10 棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵问：甲、乙两小队共有多少人？【分析】根据乙小队有一人植树 8 棵，其余每人都植树 10 棵，得出：10 的倍数加 8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是 8，再根据甲小队有一人植树 12 棵，其余每人都植树 13 棵，得出 13 的倍数末尾 3 的倍数加上 12 的末尾 2 必须是 8，所以 3 的倍数必须是 6，也就是只有 2，12，22，32，42，和 13 相乘末尾是 6，2213+12=298，3213+12=

29、428，4213+12=558，因为数棵数是四百多棵，所以树有 428 棵，从而可以解决问题【解答】解：因为 10 的倍数加 8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是 8，13 的倍数末尾 3 的倍数加上 12 的末尾 2 必须是 8，所以 3 的倍数必须是 6，也就是只有 2，12，22，32，42，和 13 相乘末尾是 6，2213+12=2983213+12=4284213+12=558因为数棵数是四百多棵，所以树有 428 棵，总人数有：（42812）13+1+（4288）10+1=33+42+1=76（人）答：甲乙两小队一共有 76 人15 将一根长为 380 厘米的合金铝管截成若干根长

30、为 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？【分析】此题可以用列表法进行计算并比较，从一种的第一根开始截起，另一种会得到相应的多少根，剩余多少厘米，如此类推，直到不能同时截取为止，从而得解【解答】解：如下表所示，36 厘米 1 根2 根3 根4 根5 根6 根7 根8 根9 根24 厘米 14 根12 根11 根9 根8 根6 根5 根3 根2 根剩余 cm 8208208208208所以长度为 36 厘米的铁丝最少截 1 根，最多截 9 根，长度为 24 厘米的铁丝最少截 1 根，最多截 14 根，剩余部分最少是 8 厘米；答：剩余部分的管

31、子最少是 8 厘米16某次数学比赛，用两种不同的方式判分一种是答对 1 题给 5 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种是先给 40 分，答对 1 题给 3 分，不答不给分，答错扣 1 分，某考生两种判分方法均得 71 分，请问：这次比赛共考了多少道题？第 10 页（共 26 页）【分析】此题可以设出未知数，列出方程进行推理可设答对 a 题，未答 b 题，答错 c 题，可得：5a+2b=71，40+3ac=71，由推出 a 的取值范围，并确定处 a 的值，从而推出 b、c 的值，解决问题【解答】解：设答对 a 题，未答 b 题，答错 c 题，可得：5a+2b=71，40+3ac=71，由知，a

32、 是奇数，且 a14；由知 a12，所以 a=13，由此求得 b=3，c=8，故共有：13+3+8=24（题）答：这次比赛共考了 24 道17我国古代数学家张丘建在算经 一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值 5 文钱，每只母鸡价值 3 文钱，每 3 只小鸡价值 1 文钱要想用 100 文钱恰好买 100 只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？【分析】设公鸡有 x 只，母鸡有 y 只，小鸡有 z 只，根据条件建立三元一次不定方程组，求出其解就可以了【解答】解：设公鸡有 x 只，母鸡有 y 只，小鸡有

33、z 只，根据题意，得，整理得：7x+4y=100 x=；因为 x0，y0，且都是自然数，所以0，所以 y25，1004y 是 7 的倍数，且三种鸡都有买，所以 1004y=7，14，21，所以共有 3 种情况：公鸡 4 只，母鸡 18 只，小鸡 78 只；公鸡 8 只，母鸡 11 只，小鸡 81 只；公鸡 12只，母鸡 4 只，小鸡 84 只18小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买钢笔 4 支一盒，每盒 5 元；圆珠笔 6 支一盒，每盒 6 元；铅笔 10 支一盒，每盒 7 元小李总共花了 97 元，买了 90 支笔请问：三种笔分别买了多少盒？【分析】分别设出钢笔买了

34、 x 盒，圆珠笔 y 盒，铅笔 z 盒，再根据总共花了 97 元，买了 90支笔，列出方程解答【解答】解：设钢笔买了 x 盒，圆珠笔 y 盒，铅笔 z 盒所以：5X+6Y+7Z=97所以：4X+6Y+10Z=90因为 XYZ 取整数第 11 页（共 26 页）则 x=3，y=18，z=0 或x=12，y=3，z=2 时成立若三种笔都要买的话，就只能是 x=12，y=3，z=2；答：钢笔买了 12 盒，圆珠笔 3 盒，钢笔 2 盒19在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应 17 分、11 分和 4 分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的

35、分数试问：如果比赛规定恰好投中 100 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中 120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？【分析】要想获奖至少需要投中的次数必须尽量投中 17 分和 11 分，然后利用整数的裂项与拆分，把 100 和 120 分两种情况讨论解答即可【解答】解：（1）10017=515，所以，100=517+11+4，可得：投中 17 分的 5 次，投中 11 分的 1 次，投中 4 分的 1 次；要想获奖至少需要投中：5+1+1=7（次）；所以，100=417+112+42+2 没有能组成 2 分的区域，所以，100=317+113+44，可得：投中

36、 17 分的 3 次，投中 11 分的 3 次，投中 4 分的 4 次，要想获奖至少需要投中：3+4+3=10（次）；继续拆分：100=172+116，可得：投中 17 分的 2 次，投中 11 分的 6 次，要想获奖至少需要投中：6+2=8（次）；综合上述，至少需要 7 次答：要想获奖至少需要投中 7 个飞镖（2）12017=71，所以，120=717+1，没有 1 分的区域，所以，120=617+17+1=617+18，没有能组成 18 分的区域，所以，120=517+172+1=517+35=517+46+11，可得：投中 17 分的 5 次，投中 11 分的 1 次，投中 4 分的 6

37、 次，要想获奖至少需要投中：5+1+6=12（次）；继续拆分：120=174+114+42，可得：投中 17 分的 4 次，投中 11 分的 4 次，投中 4 分的 2 次，要想获奖至少需要投中：4+4+2=10（次）；12011=1010，所以，120=1011+10，没有能组成 10 分的区域，120=1011+10=911+11+10=911+21=911+17+4；可得：投中 11 分的 9 次，投中 17 分的 1 次，投中 4 分的 1 次，第 12 页（共 26 页）要想获奖至少需要投中：9+1+1=11（次）；答：要想获奖至少需要投中 10 个飞镖20阿奇到商店买糖，巧克力糖

38、13 元一包，奶糖 17 元一包，水果糖 7.8 元一包，酥糖 10.4元一包，最后他共花了 360 元，且每种糖都买了请问：阿奇共买了多少包奶糖？【分析】设购买巧克力糖 a 包，奶糖 b 包，水果糖 c 包，酥糖 d 包，则 13a+17b+7.8c+10.4d=360，其中 a、b、c、d 均为自然数，且 c、d 为 5 的倍数；设 c=5m，d=5n，则13a+17b+39m+52n=360，即 13（a+b+3m+4n）+4b=360，然后根据等式，分析求出各种糖的数量即可【解答】解：设购买巧克力糖 a 包，奶糖 b 包，水果糖 c 包，酥糖 d 包，则 13a+17b+7.8c+10

39、.4d=360，其中 a、b、c、d 均为自然数，且 c、d 为 5 的倍数；设 c=5m，d=5n，则 13a+17b+39m+52n=360，即 13（a+b+3m+4n）+4b=360，所以 a+b+3m+4n=24，4b=48，解得 a=1，b=12，m=1，n=2，即 a=1，b=12，c=5，d=10，所以巧克力糖 1 包，奶糖 12 包，水果糖 5 包，酥糖 10 包答：阿奇共买了 12 包奶糖21小悦、冬冬去超市买水果小悦买了 2 千克桔子、3 千克苹果和 4 千克梨，共花了 28.5元，冬冬买了 3 千克桔子、5 千克苹果和 7 千克梨，共花了 47.7 元结账的时候碰到老师

40、，老师买了 6 千克桔子和 3 千克苹果，那么老师应该花了多少钱？【分析】根据小悦买了 2 千克桔子、3 千克苹果和 4 千克梨，共花了 28.5 元，可得小悦买 27千克桔子、37 千克苹果和 47 千克梨，共花了 28.57 元；然后根据冬冬买了 3 千克桔子、5 千克苹果和 7 千克梨，共花了 47.7 元，可得冬买 34 千克桔子、54 千克苹果和 74 千克梨，一共花了 47.74 元；可得买 2 千克桔子和 1 千克苹果需要花的钱数，进而求出老师买了 6 千克桔子和 3 千克苹果，花了多少钱即可【解答】解：根据分析，可得小悦买 14 千克桔子、21 千克苹果和 28 千克梨，共花了

41、 28.57 元，冬冬买 12 千克桔子、20 千克苹果和 28 千克梨，共花了 47.74 元，买 2 千克桔子和 1 千克苹果需要的钱数：28.5747.74=199.5190.8=8.7（元）老师应该花的钱数：8.7（62）=26.1（元）答：老师应该花了 26.1 元第 13 页（共 26 页）22红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小明买红笔、蓝笔各一支，共用了 23 元小强打算用 109 元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把 109 元恰好用完求红笔的单价【分析】因为两种笔的单价都是整数元，而23=1+22=2+21=3+20=4+19=5+1

42、8=6+17=7+16=8+15=9+14=10+13=11+12，一共 11 种组合，其中 1 是 109 的因数，只买一种笔就可以把钱花完，不符合题意；244+21=323+202=413+193=511+183=64+175=711+162=88+153=99+142=107+133，故含有 2、3、4、5、6、7、8、9、10 的也不符合题意；只有 11、12 的组合不可能等于 109，因为红笔比蓝笔贵，故红笔的单价是 12 元【解答】解：因为两种笔的单价都是整数元，而 23=1+22=2+21=3+20=4+19=5+18=6+17=7+16=8+15=9+14=10+13=11+1

43、2，一共 11 种组合，其中 1 是 109 的因数，只买一种笔就可以把钱花完，不符合题意；因为244+21=323+202=413+193=511+183=64+175=711+162=88+153=99+142=107+133，故含有 2、3、4、5、6、7、8、9、10 的也不符合题意；只有 11、12 的组合不可能等于 109，因为红笔比蓝笔贵，故红笔的单价是 12 元答：红笔的单价是 12 元三、超越篇三、超越篇23求不定方程 35x+64y=1625 的所有自然数解【分析】求不定方程的所有自然数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有正整数值，

44、再求出另一个未知数的值即可【解答】解：不定方程 35x+64y=1625 变形为：x=；求不定方程的所有自然数解，即 x、y 都是自然数，则 162564y35，得 y24.8；162564y 个位数必须是 0 或 5 才有可能被 35 整除，所以 64y 的个位数必须是 0 或 5，即 y的个位数必须是 0 或 5；所以 y 有可能是 20，15，10，5经验证，y 只有等于 15 时方程才成立，此时 x=19答：不定方程 35x+64y=1625 的自然数解为：24一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共 1355 斤其中苹果每筐 60 斤，每斤定价 1.5 元；梨每筐 55 斤，每

45、斤定价 1.5 元；桃子每筐 45 斤，每斤定价 1.8 元批发市场是以定价的 70%购人这些水果的，如果全部售完，将获得 638.1 元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐？【分析】设苹果 X 筐，梨 y 筐，桃子 z 筐，则 60 x+55y+45z=1355，（10.7）x（1.560 x+1.555y+1.845z）=638.1，解方程组即可【解答】解：设苹果 X 筐，梨 y 筐，桃子 z 筐60 x+55y+45z=1355 （1）（170%）（1.560 x+1.555y+1.845z）=638.1 （2）第 14 页（共 26 页）（2）整理得：90 x+82.5y+81z

46、=2127 （3）（3）4（1）6 得：54z=378 z=7代入（1）得：60 x+55y=1040因为 x、y 是正整数，可求得 x=10，y=8；所以，批发市场运进苹果 10 筐，梨 8 筐，桃子 7 筐；答：批发市场运进苹果 10 筐，梨 8 筐，桃子 7 筐25雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的 2 倍这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐 1 人，三人桌每桌都只坐 2 人，四人桌每桌都只坐 3 人，且恰好平均每 11 人占用 17 个座位请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？【分析】设两人桌有 2x 张，三人桌有 y 张，

47、四人桌有 x 张，求出总人数：2x+2y+3x+1，以及总座位：4x+3y+4x，根据人数和座位的关系，列出方程，可得 y+17=3x；然后根据因为雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，所以 502x+y+x60，联立 y+17=3x，求出图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张即可【解答】解：设两人桌有 2x 张，三人桌有 y 张，四人桌有 x 张，总人数：2x+2y+3x+1，总座位：4x+3y+4x，（2x+2y+3x+1）（4x+3y+4x）=1117，（5x+2y+1）（8x+3y）=1117，85x+34y+17=88x+33y，y+17=3x，因为雨轩图书馆内有两人桌、

48、三人桌和四人桌共五十多张，所以 502x+y+x60，即 503x+y60，50y+17+y60，332y43，16.5y21.5，16y22，若 y=17，则 x=；若 y=18，则 x=；若 y=19，则 x=12；若 y=20，则 x=；若 y=21，则 x=；因为 x 取整数成立，所以 x=12，y=19即两人桌 24 张、三人桌 19 张、四人桌 12 张答：图书馆两人桌 24 张、三人桌 19 张、四人桌 12 张26采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价 590 元的 A 种商品和若干个单价 670元的 B 种商品，其中 B 种商品多于 A 种商品，最后找回了几张 100 元

49、钞票和不到 10 张 10元钞票如果把 A、B 两种商品的数量调换，找回的 100 元和 10 元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？第 15 页（共 26 页）【分析】设买 A 种物品 a 个，B 种物品 b 个，找回 100 元的 m 张，10 元的 n 张，根据已知条件列出等式，再根据等式讨论它们的取值情况【解答】解：设买 A 种物品 a 个，B 种物品 b 个，找回 100 元的 m 张，10 元的 n 张，则有：590a+670b=10000100m10n670a+590b=1000010m100n第一个算式为，第二个算式为，其中 ba，n10得 8（ba）=9（nm

50、）由 ba，n10 知 mn10，因此，nm=8，从而 ba=9由此推知 n=9，m=1，b=a+9代入式，解得 a=3B=12答：购 A 物 3 个，B 物 12 个27有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共需 195 元；若购买甲 2 件、乙 l 件、丙 4 件、丁 2 件共需 183 元；若购买甲 2 件、乙 6 件、丙 6 件、丁 5件共需 375 元现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？【分析】设购买甲、乙、丙、丁各一件分别需要 a，b，c，d 元，列出方程组，运用消元法，再运用代入法求解【解答】解：设购买甲、乙、丙、丁各一件分别需要 a，