2019届高考数学大二轮复习 第1部分 专题3 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习.doc

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1、1第一部分第一部分 专题三专题三 第二讲第二讲 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形A 组1若 2sin()3sin()，则 tan等于( B ) 3A B 3332C D22 333解析 由已知得 sincos3sin，即 2sincos，所以33tan，故选 B322(文)如果 sin ，那么 sin()cos等于( A )4 5 422A B2 252 25C D4 254 25解析 sin()cos 422sincoscossincos . 4 4224 5222 25(理)已知R R，sin2cos，则 tan2( C )102A B 4 33 4C D3 44 3解析 本题

2、考查三角函数同角间的基本关系将 sin2cos两边平方可得，102sin24sincos4cos2 ，5 24sincos3cos2 ， .3 24sincos3cos2 sin2cos23 2将左边分子分母同除以 cos2得， ，解得 tan3 或 tan ，34tan 1tan23 21 32tan2 .2tan 1tan23 43若三角形ABC中，sin(AB)sin(AB)sin2C，则此三角形的形状是( B )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析 sin(AB)sin(AB)sin2C，sin(AB)sinC0，sin(AB)sin(AB)，cosAsinB0

3、，sinB0，cosA0，A为直角4钝角三角形ABC的面积是 ，AB1，BC，则AC( B )1 22A5 B 5C2 D1解析 本题考查余弦定理及三角形的面积公式SABCacsinB 1sinB ，1 21 221 2sinB，B或.22 43 4当B时， 4经计算ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去B，根据余弦定理，3 4b2a2c22accosB，解得b，故选 B55设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cosA，且332b(否则，若，则有 0C”)解析 设BAD，CAD，因为BADC90，所以90C，90B，因为D为BC的中点，所以SABDSACD，所以cA

4、DsinbADsin，1 21 2所以csinbsin，所以ccosCbcosB，由正弦定理得，sinCcosCsinBcosB，即 sin2Csin2B，所以 2B2C或 2B2C，因为ABC为锐角三角形，所以BC9为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60， BC的长度大于 1 米，且AC比AB长 0.5 米，为了稳定广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为 2.3解析 由题意设BCx(x1)米，ACt(t0)米，依题设ABAC0.54(t0.5)米，在ABC中，由余弦定理得：AB2AC2BC22ACBCcos60，即(t0.5)2t2x2tx，化简并整理得：t(x1)，x2

5、0.25 x1即tx12，0.75 x1因为x1，故tx122，0.75 x13当且仅当x1时取等号，此时取最小值 2.32310(2018全国卷，17)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cosADB；(2)若DC2，求BC2解析 (1)在ABD中，由正弦定理得.BD sinAAB sinADB由题设知，5 sin452 sinADB所以 sinADB.25由题意知，ADB90，所以 cosADB.12 25235(2)由题意及(1)知，cosBDCsinADB.25在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.225所以

6、BC5.11(文)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA4bsinB，ac(a2b2c2)5(1)求 cosA的值；(2)求 sin(2BA)的值解析 (1)由asinA4bsinB及，a sinAb sinB5得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，5得 cosA.b2c2a2 2bc55acac55(2)由(1)，可得 sinA，代入asinA4bsinB中，2 55得 sinB.asinA 4b55由(1)知，A为钝角，所以 cosB.1sin2B2 55于是 sin2B2sinBcosB ，4 5cos2B12sin2B ，3 5故 sin(2BA)si

7、n2BcosAcos2BsinA () .4 5553 52 552 55(理)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，a5，c6，sinB .3 5(1)求b和 sinA的值；(2)求 sin(2A)的值 4解析 (1)在ABC中，因为ab，所以由 sinB ，得 cosB .3 54 5由已知及余弦定理，得b2a2c22accosB13，所以b.13由正弦定理，a sinAb sinB得 sinAa.sinB b3 1313所以b的值为，sinA的值为.133 1313(2)由(1)及ac，得 cosA，2 1313所以 sin2A2sinAcosA，12 136co

8、s2A12sin2A.5 13所以 sin(2A)sin2Acoscos2Asin. 4 4 47 226B 组1(2018福州三模)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，点M为ABC的重心若abc0，则C( D )MAMB33MCA B 4 2C D5 62 3解析 M为ABC的重心，则0，MAMBMC，MAMBMCabc0，MAMB33MCa()bc0.MBMCMB33MC即(ba)(ca)0，MB33MC与不共线，MBMCba0，ca0.32得abc111，33令a1，b1，c，3则 cosC ，a2b2c2 2ab113 2 1 11 2C，故选 D2 32(2018唐山

9、市一模)若 sin() ，则 cos(2)( A ) 61 32 3A B 7 97 9C D2 92 97解析 cos(2)cos(2)12sin2()(1 )2 3 3 62 9.7 93(2018威海二模)已知等腰ABC满足ABAC，BC2AB，点D为BC边上的一点3且ADBD，则 sinADB的值为( C )A B 3623C D2 2363解析 如图，设ABACa，ADBDb，由BC2AB，3得BCa，2 33在ABC中，由余弦定理得，cosABCAB2BC2AC2 2ABBCa22 3a32a22 a2 33a.33ABAC，ABC是锐角，则 sinABC，1cos2ABC63在A

10、BD中，由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcosABD，b2a2b22ab，33解得ab，2 33由正弦定理得，AD sinABDAB sinADB8，b63a sinADB解得 sinADB.2 234钝角三角形ABC的面积是 ，AB1，BC，则AC( B )1 22A5 B 5C2 D1解析 SABBCsinB 1sinB ，1 21 221 2sinB，22B或. 43 4当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1225，3 4AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；5当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1221， 4AC1，此时AB2AC2

11、BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.55设，且 tan，则( C )(0， 2)(0， 2)1sin cosA3 B3 2 2C2 D2 2 2解析 因为 tan，sin cos1sin cos去分母得 sincoscoscossin，所以 sincoscossincos，即 sin()cossin.( 2)又因为，(0， 2)(0， 2)则，0，所以 2 2 2 2 2故 2. 296已知，tantan3，则 cos()的值为 . 3331 2解析 因为 tantan3，且，所sin cossin cossin coscos 3以 coscos，cos()coscossinsin

12、，所以 sinsin 361 21 2，所以 cos()coscossinsin .36331 27已知点O是ABC的内心，BAC30，BC1，则BOC面积的最大值为.6 3 224解析 根据角平分线的性质可知，BOC105，所以在BOC中，根据余弦定理有cos105，OB2OC21 2OBOC2 64等价于OBOCOB2OC21，2 62即OBOC2OBOC1，2 62所以OBOC，而SBOC OBOCsin105 sin10524 2 61 21 2.24 2 66 3 2248已知向量m m与n n(3，sinAcosA)共线，其中A是ABC的内角(sinA，1 2)3(1)求角A的大小

13、；(2)若BC2，求ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状解析 (1)因为m mn n，所以 sinA(sinAcosA) 0.33 2所以sin2A 0，1cos2A 2323 2即sin2A cos2A1，即 sin1.321 2(2A 6)因为A(0，)，所以 2A. 6( 6，116)故 2A，A. 6 2 3(2)设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则由余弦定理，得 4b2c2bc.10而b2c22bc，bc42bc，bc4(当且仅当bc时等号成立)，所以SABCbcsinAbc4，1 234343当ABC的面积取最大值时，bc.又A，故此时ABC为等边三角形

14、39(2018天津卷，15)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.(B 6)(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和 sin(2AB)的值解析 (1)在ABC中，由正弦定理，a sinAb sinB可得bsinAasinB，又由bsinAacos，(B 6)得asinBacos，即 sinBcos，(B 6)(B 6)所以 sinBcosB sinB，可得 tanB.321 23又因为B(0，)，可得B. 3(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B， 3有b2a2c22accosB7，故b.7由bsinAacos，可得 sinA.(B 6)37因为ac，故 cosA.27因此 sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1 .4 371 7所以，sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB .4 371217323 314