2016年高考山东理科数学试题及答案(解析版).docx

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1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2016年山东，理1，5分】若复数满足，其中为虚数为单位，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】设，则，所以，故选B【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力（2）【2016年山东，理2，5分】已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由题意，所以，故选C【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题（3）【2016年山东，理3，

2、5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140【答案】D【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为， 所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是人，故选D 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目（4）【2016年山东，理4，5分】若变量，满足，则的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】由是点到原点距离

3、的平方，故只需求出三直线的交点，所以是最优解，的最大值是10，故选C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题（5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由三视图可知，半球的体积为，四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为， 故选C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状 是解答的关键（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线分别在两个不同的平面，内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”

4、的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线和直线相交，可知平面有公共点，所以平面和平面相交又如果平面和平面相交，直线和直线不一定相交，故选A【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题（7）【2016年山东，理7，5分】函数的最小正周期是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由，所以，最小正周期是，故选B 【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量满足 ，若则实数的值为（ ）（A）4 （B）

5、 （C） （D）【答案】B【解析】因为，由，有，即，故选B【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题（9）【2016年山东，理9，5分】已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，则（ ）（A） （B） （C）0 （D）2【答案】D【解析】由，知当时，的周期为1，所以又当时，所以于是，故选D【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题（10）【2016年山东，理10，5分】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质下列函数具有性质的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A【

6、解析】因为函数，的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质，故选A【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出的值为 【答案】3【解析】时，执行循环体后，不成立；时，执行循环体后，不成立；时，执行循环体后，成立；所以，故填 3. 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答（12）【

7、2016年山东，理12，5分】若的展开式中的系数是，则实数 【答案】【解析】由，得，所以应填【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率为 【答案】2【解析】由题意，所以，于是点在双曲线上，代入方程，得， 在由得的离心率为【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题（14）【2016年山东，理14，5分】在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为 【答案】【解析】首先的取值空间的长度为2，

8、由直线与圆相交，得事件发生时的取值空间为，其长度为，所以所求概率为【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是 【答案】【解析】因为的对称轴为，所以时单调递增，只要大于的最小值时，关于的方程在时有一根；又在，时，存在实数，使方程在时有两个根，只需；故只需即可，解之，注意，得，故填【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到是难点，属于中档题 三、解答题：本大题共6题，共75分（1

9、6）【2016年山东，理16，12分】在中，角的对边分别为，已知（1）证明：；（2）求的最小值解：（1）由得，由正弦定理，得 （2）由所以的最小值为【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式的应用，不等式的性质（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线（1）已知分别为的中点，求证：平面；（2）已知，求二面角的余弦值解：（1）连结，取的中点，连结，因为，在上底面内，不在上底面内，所以上底面，所以平面；又因为，平面，平面，所以平面；所以平面平面， 由平面，所以平面（2

10、）连结，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，于是有，可得平面中的向量，于是得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，设二面角为，则二面角的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用（18）【2016年山东，理18，12分】已知数列的前项和，是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和解：（1）因为数列的前项和，所以，当时，又对也成立，所以又因为是等差数列，设公差为，则当时，；当时，解得，所以数列的通项公式为（2）由，于是，两边同乘以，得，两式相减，得【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列

11、的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题（19）【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和的分布列和数学期望解：（1）“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”设“至少猜对3个成语”为事件；“恰好

12、猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件，则；所以（2）“星队”两轮得分之和的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是；的分布列为：012346的数学期望【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题（20）【2016年山东，理20，13分】已知（1）讨论的单调性；（2）当时，证明对于任意的成立解：（1）求导数，当时，单调递增，单调递减当时，当时，或，单调递增，、单调递减； 当时， ，单调递增，当时，或，单调递增，单调递减（2）当时，于是，令，于是，的最小值为；又，设，因为，所以必有，使得，且时，单调递增；时，单调递减；又，所以的最小值为所以即对于任意的成立【点评】本题考查利用

13、导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题（21）【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点 （1）求椭圆的方程；（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点（i）求证：点在定直线上；（ii）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标解：（1）由离心率是，有，又抛物线的焦点坐标为，所以，于是，所以椭圆的方程为（2）（i）设点坐标为，由得，所以在点处的切线的斜率为，因此切线的方程为，设，将代入，得于是，又，于是直线的方程为联立方程与，得的坐标为所以点在定直线上（ii）在切线的方程为中，令，得，即点的坐标为，又，所以；再由，得于是有 令，得，当时，即时，取得最大值此时，所以点的坐标为所以的最大值为，取得最大值时点的坐标为【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题7