电路原理课件-拉普拉斯变换.ppt

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1、频域分析法频域分析法时域分析法时域分析法复频域分析法复频域分析法线性动态电路线性动态电路的求解方法的求解方法第九章第九章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 建建立立电电路路的的输输入入-输输出出方方程程，求求解解满满足足给定初始条件的解。给定初始条件的解。将将时时域域变变到到频频域域（将将时时域域里里的的微微分分方方程程化为化为相量代数方程相量代数方程）进行分析，再返回时域。进行分析，再返回时域。将将时时域域变变到到复复频频域域（将将时时域域里里的的微微分分方方程程化化为为复复频频域域函函数数的的代代数数方方程程）进进行行分分析，再返回时域。析，再返回时域。本章知识要点本章知识要点拉普拉斯变换的基本性

2、质拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本概念拉普拉斯变换的基本概念拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换拉普拉斯拉普拉斯变换变换反变换公式反变换公式拉普拉斯变换表拉普拉斯变换表部分分式展开部分分式展开 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数间函数f(t)与复变函数与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频把时间域的高阶微分方程变换为复频域的域的代数方程代数方程以便求解。以便求解。熟悉的变换熟悉的变换9 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、拉普拉斯变

3、换简介一、拉普拉斯变换简介相量法相量法把时域的正弦运算变换为复数运算把时域的正弦运算变换为复数运算对应对应拉氏变换：拉氏变换：时域函数时域函数f(t t)()(原函数原函数)复频域函数复频域函数F(s(s)()(象函数象函数)因果函数因果函数(causal function)f(t)仅存在于仅存在于t 0的时间区间的时间区间如果如果f(t)存在于整个时间区间，则用存在于整个时间区间，则用f(t)(t)表示因果函数。表示因果函数。s=+j ,称为复频率称为复频率(complex frequency)F(s)称为称为(t)的的象函数象函数、(t)称为称为F(s)的的原函数原函数。从从(t)到到F(

4、s)变换称为变换称为拉普拉斯正变换拉普拉斯正变换(Laplace transform)二、拉普拉斯变换的定义二、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯正变换拉普拉斯正变换=f(t)用符号用符号 表示对方括号里的表示对方括号里的时域函数时域函数作拉氏变换。作拉氏变换。象象函数函数原函数原函数象函数象函数F(s)存在的条件存在的条件:积分的结果不再是积分的结果不再是 t 的函数，而是的函数，而是s的函的函 数。数。拉氏变换是把拉氏变换是把一个时间域的函数一个时间域的函数f(t)变换到变换到 s 域内的复变函数域内的复变函数F(s)。变量变量 s 称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分析称为电称为复频率。应用拉氏

5、变换法进行电路分析称为电路的一种路的一种复频域分析方法，又称运算法。复频域分析方法，又称运算法。拉氏变换的积分从拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及开始，可以计及t=0时时f(t)包含的冲激包含的冲激的情况，从而给计算存在的情况，从而给计算存在冲激函数冲激函数电压和电流的电路带来方电压和电流的电路带来方便。便。=f(t)如果如果F(s)已知，要求出与它对应的原函数已知，要求出与它对应的原函数(t)，由由F(s)到到(t)的变换称为的变换称为拉氏反变换拉氏反变换，它定义为，它定义为拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换=1F(s)式中式中c为正的有限常数。用符号为正的有限常数。用符号 1 表示对方表示对

6、方括号里的括号里的复变函数复变函数作拉氏反变换。作拉氏反变换。(inverse Laplace transform)例例1 求单位阶函数求单位阶函数 (t)的拉普拉斯象函数。的拉普拉斯象函数。解解:收敛域为收敛域为s平面的右半平面平面的右半平面二、典型函数的拉普拉斯变换二、典型函数的拉普拉斯变换例例2 求单位冲激函数求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。的拉普拉斯象函数。解解:收敛域包括整个收敛域包括整个s平面。平面。例例3 求单边指数函数求单边指数函数eat(t)（a为复常数）的拉普拉斯为复常数）的拉普拉斯象函数。象函数。解：解：Re s=Re a 9 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变

7、换的基本性质1.线线 性性 组组 合合 定定 理理(Linear combination theorem)例例1 求求cos t(t)及及sin t(t)的拉普拉斯象函数。的拉普拉斯象函数。解：解：同理可得同理可得 af1(t)bf2(t)=a f1(t)b f2(t)2.微分定理微分定理(differentiation theorem)*证明：证明：由于由于由分部积分法由分部积分法 f(t)微分定理可以推广至求原函数的二阶及二阶以上导数的微分定理可以推广至求原函数的二阶及二阶以上导数的拉普拉斯变换，即拉普拉斯变换，即解：解：例例2 已知已知 ，求，求 、例例3 某动态电路的输入某动态电路的输

8、入 输出方程为输出方程为 响应及其一阶导数的原始值分别为响应及其一阶导数的原始值分别为r(0)及及r (0)，激励函数激励函数的原始值的原始值e(0)=0。求响应的象函数。求响应的象函数。解：解：令激励和响应的象函数分别为令激励和响应的象函数分别为 代入代入e(0)=0后整理得后整理得 3.积分定理积分定理(integration theorem)证明：证明：例例4 求求的原函数。的原函数。解：解：同理同理4.时域位移定理时域位移定理(time-shift theorem)证明：证明：例例51Ttf(t)TTf(t)例例6求矩形脉冲的象函数求矩形脉冲的象函数解解根据延迟性质根据延迟性质求三角波

9、的象函数求三角波的象函数解解解：解：例例7 求求u(t)的拉普拉斯象函数的拉普拉斯象函数U(s)。5.初值定理与终值定理初值定理与终值定理（1）初值定理）初值定理(initial-value theorem)证明：证明：（2）终值定理）终值定理(final-value theorem)证明：证明：利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值的初值和终值。和终值。例例8 设设 验证初值定理和终值定理。验证初值定理和终值定理。解：解：又有又有 由初值定理可得由初值定理可得由终值

10、定理可得由终值定理可得例例9 采用拉氏变换求电容器对电阻放电时的电容电压采用拉氏变换求电容器对电阻放电时的电容电压uC(t)t 0+验证初值定理和终值定理验证初值定理和终值定理6.时域卷积定理时域卷积定理(time domain convolution theorem)证明证明：例例10 已知：已知：求求 解：解：例例11 设一个设一个RL串联电路中的激励电压为串联电路中的激励电压为 电流的冲激响应为电流的冲激响应为 ，而电路，而电路。求此电路电流的零状态响应。求此电路电流的零状态响应。解解1：直接在时域内求解，则有：直接在时域内求解，则有解解2：利用时域卷积定理，在复频域内求解：利用时域卷积

11、定理，在复频域内求解拉普拉斯反变换简表拉普拉斯反变换简表象函数象函数原函数原函数1ss29 3 进行拉普拉斯反变换的部分分式展开法进行拉普拉斯反变换的部分分式展开法 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式(2)对简单形式的对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数可以查拉氏变换表得原函数(3)把把F(S)分解为简单项的组合分解为简单项的组合部分分式部分分式展开法展开法部分分式展开法部分分式展开法(p

12、artial fraction expansion method)F(s)为有理真分式为有理真分式(即即 mn)，否则，否则电路理论中常见的响应函数的象函数往往是电路理论中常见的响应函数的象函数往往是有理函数有理函数象函数的一般形式：象函数的一般形式：(1)只具有单极点的有理函数的反变换只具有单极点的有理函数的反变换解：解：例例1.已知象函数为已知象函数为，求相应的原函数，求相应的原函数f(t)。例例2已知某象函数为已知某象函数为 求相应的原函数求相应的原函数f(t)。解法一：解法一：先求分母二次式为零的根先求分母二次式为零的根解得解得象函数象函数F(s)的部分分式展开式为的部分分式展开式为

13、一对共轭复根一对共轭复根各部分分式的系数分别为各部分分式的系数分别为 共轭复根的系数为共轭复数共轭复根的系数为共轭复数欧拉公式欧拉公式解法二：解法二：若能判断分母中二次式等于零的根为共轭复根时，可展开若能判断分母中二次式等于零的根为共轭复根时，可展开为为a=0.5 b=0.5 c=0.5通分后比较两端分子多项式系数可求得通分后比较两端分子多项式系数可求得 则则查表查表9-2-1 P318(2)具有多重极点的有理函数的反变换具有多重极点的有理函数的反变换 例例3解解解：解：例例4 已知某象函数已知某象函数 求相应的原函数求相应的原函数f(t)。例例5 已知：已知：求求 解：解：求求F(s)分母多项式等于零的根，将分母多项式等于零的根，将F(s)分解成部分解成部分分式之和分分式之和;求各部分分式的系数求各部分分式的系数;对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。将将F(s)化成最简真分式化成最简真分式;由由F(s)求求f(t)的步骤的步骤:课堂练习课堂练习:采用部分分式展开法求解下列函数的原函数采用部分分式展开法求解下列函数的原函数1.解解:2.解解:3.解：解：