离散系统的Z域分析xg.ppt

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1、第第六六章章 离散系统的离散系统的Z域分析域分析要点：要点：为什么要提出为什么要提出Z变换？变换？Z变换及其性质变换及其性质(Z变换、逆变换、逆Z变换、性质、变换、性质、与拉氏变换的关系与拉氏变换的关系)；离散系统离散系统Z域分析域分析(解差分方程、离散系统解差分方程、离散系统函数函数)；6.1 Z变换变换1.从抽样信号（离散）的拉氏变换引出从抽样信号（离散）的拉氏变换引出Z变换变换均匀冲击抽样拉氏变换积分求和交换令得2.Z变换的定义变换的定义 序列序列x(n)的的双边双边z变换变换序列序列x(n)的的单边单边Z变换变换3.Z变换的收敛域变换的收敛域幂级数收敛幂级数收敛P271 z变换与拉氏变

2、换的关系变换与拉氏变换的关系 s z 平面平面的映射关系的映射关系复变量关系复变量关系 zs:z=esT,s=(1/T)lnz坐标关系：坐标关系：s=+j,z=rej rej=e(+j)T,r=e T,=T,T s=2 虚轴=0s=j 单位圆r=1,任意左半平面（0)单位圆内r0)单位圆外r1,任意S平面平面z平面平面负实轴负实轴=r 任意任意辐射线辐射线=常数常数r任意任意正实轴正实轴=0，r任意任意实轴实轴=0s=平行直线平行直线=常数常数 j s/2平行线平行线级数收敛的充要条件：级数收敛的充要条件：绝对可和绝对可和，即，即|x(n)z-n|正向级数收敛性判别法：正向级数收敛性判别法：比

3、值判别法：对于级数比值判别法：对于级数|an|,根值判别法：根值判别法：1,发散=1,收发1,发散=1,收发例例 已知已知其中其中0a1,求其双边求其双边z变换变换x1x2单位圆单位圆aa收敛域收敛域 例例 求序列求序列 x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的的z变换变换解解 若若|a|b|,收敛域：收敛域：|a|z|b|,若若|a|b|,则序则序列的列的Z变换不存在变换不存在4.典型序列的典型序列的Z变换变换(1)单位脉冲序列单位脉冲序列 (n)(2)单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)(3)斜变序列斜变序列 nu(n)(4)单边指数序列单边指数序列an u(n)同样(5)正余弦序列正余弦

4、序列sin(0n)u(n)和和 cos(0n)u(n)6.2 Z变换的性质变换的性质单边单边Z变换的性质变换的性质1.线性线性 若若 Zx(n)=X(z),Rx1|z|Rx2 Zy(n)=Y(z),Ry1|z|Ry2 则则 Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z),R1|z|R2,或或 max(Rx1,Ry1)|z|a|Zy(n)=Y(z)=y(n)z-n =anz-n=a/(z-a),|z|a|Zanu(n)-anu(n-1)=X(z)-Y(z)=1|a|z|2.序列位移特性序列位移特性表明序列移动前后表明序列移动前后z变换之间的关系变换之间的关系(1)双边双边z变换的位移特性变换的

5、位移特性 若若 Zx(n)=X(z)则则 Zx(n m)=z mX(z)可使可使z=0或或z=处的零极点变化，但收敛处的零极点变化，但收敛域不会变化域不会变化，双边，双边X(z)的收敛域为的收敛域为Rx1|z|1根据位移性质有根据位移性质有 3.时域卷积定理时域卷积定理若若 Zx(n)=X(z),Rx1|z|Rx2 Zh(n)=H(z),Rh1|z|Rh2则则 Zx(n)*h(n)=X(z)H(z)x(n)*h(n)=Z-1X(z)H(z)max(Rx1,Rh)|z|a|H(z)=z/(z-b),|z|b|Y(z)=X(z)H(z)=z2/(z-a)(z-b),收敛域：两收敛域重叠部分收敛域：

6、两收敛域重叠部分(|z|b|)baJ ImzRez例例4 求任意因果序列求任意因果序列x(n)与单位阶跃序列与单位阶跃序列 u(n)卷积和的卷积和的z变换。变换。解解 设设 Zx(n)=X(z),|z|r Zu(n)=z/(z-1),|z|1,于是利用定理：于是利用定理：Zx(n)*u(n)=z/(z-1)X(z),|z|max(r,1)序列和的序列和的z变换：变换：x(n)*u(n)=x(i),i=0n,Z x(i)=z/(z-1)X(z)，因果序列累加和的因果序列累加和的z变换，由此反变换可求序列累加和变换，由此反变换可求序列累加和4.序列线性加权序列线性加权(z域微分域微分):将nx(n

7、)称为对序列x(n)进行线性加权例5：已知Zu(n)=z/(z-1),求nu(n)的z变换。同理5.序列指数加权序列指数加权(z域尺度变换域尺度变换)：anx(n)称为对x(n)进行指数加权若若则则尺度尺度扩展扩展尺度尺度压缩压缩翻转翻转例例6 已知已知Zcos(0)u(n),求求 ncos(0)u(n)的的z变换。变换。解解已知已知ROC:|z/|16.初值定理与终值定理初值定理与终值定理若若 x(n)是因果序列，已知是因果序列，已知初值初值终值终值任意值任意值6.2 逆逆Z变换变换序列序列x(n)的的Z变换及逆变换及逆Z变换为变换为jImzRezR(1)幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（

8、长除法）按定义按定义 X(z)=x(n)z-n 若在收敛域内把若在收敛域内把X(z)展成幂级数，其系数展成幂级数，其系数就是序列就是序列x(n)X(n)一般为有理分式一般为有理分式,即即 X(n)=N(z)/D(z)求逆变换的方法求逆变换的方法例求例求 X(z)=z/(z-1)2 的逆变换的逆变换 x(n),(|z|1)(如果是因果序列，则按如果是因果序列，则按z的的降幂排列）降幂排列）解解:D(z)=(z-1)2=z2-2z+1 N(z)=z z-1+2z-2+3z-3+z2-2z+1 z z-2+z-1 2-z-1 2-4 z-1+2 z-2 3 z-1-2 z-2 X(z)=z-1+2

9、z-2+3 z-3+=nz-n (0 n)x(n)=nu(n)(2)部分分式法：先将部分分式法：先将X(z)/z 展成部分分展成部分分式之和式之和 Am/(z-zm)，再乘以再乘以z，则有则有zmX(z)/z的极点，的极点，对每一项作逆对每一项作逆Z变换，变换，即可得即可得 x(n)。如。如X(z)/z 中有高阶极点中有高阶极点例例 求求X(z)=z2/(z2-1.5z+0.5)的的 逆变换逆变换x(n),|z|1解解由阶跃和指数序列由阶跃和指数序列Z变换关系可知：变换关系可知：连续时间连续时间信号信号 x(t)拉式变换拉式变换X(t)傅氏变换傅氏变换 离散时间离散时间信号信号 x(n)Z变换

10、变换X(z)DTFT抽样抽样DTFTIDTFTZ Z域、域、S S域、频域之间的关系域、频域之间的关系离散时间系统的频率响应离散时间系统的频率响应1.离散时间系统的频率响应离散时间系统的频率响应以以=s/2为轴半周对称为轴半周对称低通、高通、带通和带阻根据低通、高通、带通和带阻根据(0，s/2)内的幅值特性来确定内的幅值特性来确定连续系统与离散系统的各种频幅响应的对比连续系统与离散系统的各种频幅响应的对比00000000|H(j)|H(j)|H(j)|H(j)|H(ej)|H(ej)|H(ej)|H(ej)|s/2s/2s/2ss/2sss2.频率响应的几何确定频率响应的几何确定S-平面平面z

11、-平面平面Zr,pk:j(0)Zr,pk:z=ej(逆时针)如如:D11,D22,N11,N22|H(ej)|=N1N2/D1D2|()|=(1+2)-(1+2)|H(ej)|=N1()N2()/D1()D2()|()|=(1()+2()-(1()+2()说明说明H(ej)|的重复频率:s=2/Ts;对称性:在第一周期,|H(ej)|以=s/2为 对称轴(偶对称);|()|以s/2为对称点(奇对称)极点为0,不影响|H(ej)|,但会改变|()|极零点在单位圆附近时,|H(ej)|将出现峰值与谷值 频率响应的几何确定法频率响应的几何确定法 用几何作图法求例的频率响应用几何作图法求例的频率响应=

12、0jIm(z)-1(b)(a)Re(z)1Z2 p2 Z1 p12 2 1 1ejjIm(z)-1Re(z)1p21ejZ2Z1p1N2 D2 N1 D1D2N2N1D1 122例例 设系统的差分方程为设系统的差分方程为 y(n)+0.2y(n-1)-0.24y(n-2)=x(n)+x(n-1)求其频率响应。求其频率响应。解解 已求得已求得H(z)=z(z+1)/(z-0.4)(z+0.6)分别求分别求H1(ej)=z/(z-0.4)|z=ej ,H2(ej)=z/(z+0.6)|z=ej 然后然后,根据根据H(ej)=H1(ej)H2(ej)求整个系求整个系统的频率特性统的频率特性 前图前图所给系统的幅频特性所给系统的幅频特性(a)0|H1(j)|21.670.71(b)0|H2(j)|21.25(c)0|H(j)|22.01.0