电磁场与电磁波第一章复习.ppt

《电磁场与电磁波第一章复习.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波第一章复习.ppt（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、山东轻工业学院1标量场的梯度：标量场的梯度：矢量场的散度：矢量场的散度：矢量场的旋度：矢量场的旋度：高斯散度定理：高斯散度定理：斯托克斯定理：斯托克斯定理：内容复习内容复习山东轻工业学院2 散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场，旋度处处为，旋度处处为零零的的矢量场称为矢量场称为无旋场无旋场。无散场和无旋场无散场和无旋场两个重要公式：两个重要公式：左式表明，左式表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的旋度的散度的散度一定一定等于零等于零。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。任何旋度

2、场一定是无散场。右式表明，右式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场者说，任何梯度场一定是无旋场。山东轻工业学院31.6 三种常用坐标系三种常用坐标系 直角坐标系直角坐标系直角坐标直角坐标(x,y,z)柱坐标系柱坐标系圆柱坐标圆柱坐标(r,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0OzyxP0 0=0r=r0z=z 0O山东轻工业学院4 球坐标系球坐标系球坐标球坐标(r,)xzy=0 0 0r=r 0=0P0O已知矢量已知矢量

3、A 在在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为为式中式中 a,b,c 均为常数，均为常数，A 是常矢量吗？是常矢量吗？柱坐标系和球坐标系内柱坐标系和球坐标系内算子及梯度、散度、旋度的表达式，请算子及梯度、散度、旋度的表达式，请参阅附录参阅附录1。山东轻工业学院5 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，如下图示。如下图示。SV,那那么么，可可以以证证明明该该两两个个标标量量场场 及及 满足下列等式满足下列等式根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又

4、可写成式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标量为标量场场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 en 方向上的偏方向上的偏导数。导数。上两式称为上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。山东轻工业学院6基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。设设任任意意两两个个矢矢量量场场 P 与与 Q，若若在在区区域域 V 中中具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导数数，那么，可以证明该矢量场那么，可以证明该矢量场 P 及及 Q 满足下列等式满足下列等式式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，面元的闭合曲面，面元 dS 的方向

5、为的方向为S 的外法线方向，上式称的外法线方向，上式称为为矢量第一格林定理矢量第一格林定理。山东轻工业学院7基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式：此式称为此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。无无论论何何种种格格林林定定理理，都都是是说说明明区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格林林定定理理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界界上上场场的求解问题。的求解问题。此外，格林定理说明了此外，格林定理说明了两种两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一

6、种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。场的分布特性。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。山东轻工业学院8 矢量场的唯一性定理矢量场的唯一性定理 位位于于某某一一区区域域中中的的矢矢量量场场，当当其其散散度度、旋旋度度以以及及边边界界上上场场量量的的切切向向分分量量或或法法向向分分量量给给定定后后，则则该该区区域域中中的的矢矢量量场场被被惟一地确定。惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其理表明，矢量场被其源源及及边

7、界条件边界条件共同决定的。共同决定的。山东轻工业学院9 若矢量场若矢量场 F(r)在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的，且其且其导数连导数连续有界续有界，源分布在，源分布在有限有限区域区域 V 中，则当矢量场的中，则当矢量场的散度散度及及旋度旋度给定后，该矢量场给定后，该矢量场 F(r)可以表示为可以表示为 1.6.6 1.6.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 式中式中 可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场无旋场与与一个一个无散场无散场之和之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要首要问题问题。山东轻工业学院10习题解答1.1 解：山东轻工业学院111.6 解：山东轻工业学院121.8 解：山东轻工业学院13山东轻工业学院141.12 解：因为所以山东轻工业学院15山东轻工业学院161.15 解在点M的环量面密度山东轻工业学院171.16 解：山东轻工业学院181.18 解：1.20 解：见课本 P11。