分析力学第二章课件.ppt

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1、第二章：动力学普遍方程和拉格朗日方程达朗伯原理达朗伯原理：用静力学平衡问题的方法解决动力学问题拉格朗日方程拉格朗日方程：用虚位移描述的动力学普遍方程，不出现约束反力，但虚位移之间不独立，将动力学普遍方程用广义坐标来表示，就可推出拉格朗日方程。2.1 动力学普遍方程设一质点系由设一质点系由n各质点组成，第各质点组成，第i个质点的个质点的质量质量mi，作用在其上的主动力作用在其上的主动力Fi，约反力约反力合力合力FNi，惯性力惯性力Fgi=-miai,由达朗伯原理：由达朗伯原理：上式称之为动力学普遍方程。在理想约束上式称之为动力学普遍方程。在理想约束下，作用在质点系上的主动力和惯性力在下，作用在质

2、点系上的主动力和惯性力在任意虚位移上所作虚功之和为零任意虚位移上所作虚功之和为零例题：离心调速器如图所示，已知mA=mB=m=15kg,套筒mC=10kg，杆长l=0.25m，e=0.03m,弹簧刚度k=14700N/m，正常角速度时=30，弹簧不受力。试求=60 时的角速度。例题：如图所示，质量m1的匀质圆柱A与质量为m2的物体B相连，物体B与水平面间的摩擦系数fs，忽略滑轮质量，开始式系统处于静止状态，求A,B两物体质心的加速度a1,a2该系统为两自由度系统：广义坐标：x,例题 图所示，水平杆AB两端各系一根绳索，绳索绕过定滑轮C,D,在自由端分别悬挂重物E（m2)和F(m1),令系统无初

3、速度释放，试求重物F的初加速度。已知杠杆臂长比：AO:OB=k，杠杆初时水平，杆与滑轮质量忽略不计设质点系有n个质点，受s个完整非定长约束，系统有N=3n-s个自由度，用N个广义坐标 表示质点系位置，则质点系位置可表示为：下面来推导拉格朗日方程：证明（1）2.2 拉格朗日方程对下式两边求导：证明（2）Lagrangri方程它是N个二阶常微分方程，初始条件为t=0时刻的广义坐标和广义初速度举例：如图所示，轮系，已知r2=1.5r1，曲柄OA质量m，齿轮的质量分别为m1和m2，齿轮视为匀质圆盘，在曲柄上作用一力矩M1，求系统的运动方程。该系统为单自由度系统，取广义坐标系统动能：速度分析：两种不同主

4、动力下的拉格朗日方程（1）主动力为有势力当主动力为有势力时，广义力可由势能函数确定：（2）主动力为有势力和非有势力例题：如图所示，物块重m弹簧系数k，定滑轮质量M,均匀分布在轮缘上，摩擦忽略，求重物的振动周期。系统动能：该系统为单自由度系统，取滑轮转角未广义坐标例题：设有一与弹簧相连滑块A，质量m1，弹簧系数k，下面挂一摆长度l，质量m2，求系统运动微分方程。2.3 动能的广义速度表达式例题：质量为M的质点沿光滑斜面运动，而斜面又沿水平面以速度v匀速运动，求质点的动能表达式2.4 拉格朗日方程的初积分广义能量积分例题：如图所示，匀质杆质量m长度l，与质量m1匀质圆盘在中心铰接，圆盘在水平导轨上

5、无摩擦滚动，其中心通过弹性系数k的弹簧固定在墙上，用拉格朗日推导运动微分方程，写出能量积分。该系统为两自由度系统，圆盘中心水平位移x和摆角为广义坐标循环积分：例题1，质量m的质点在重力场中运动，取直角坐标x,y,z为广义坐标,质点动能：例题2，质量m的质点在有心力作用下运动，运动轨迹是一平面曲线，取平面极坐标，为广义坐标,质点动能：例3：如图所示，置于水平面上的薄球壳只滚不滑，质量M，半径a，内放一质量m的匀质杆，该系统由静止开始运动，开始瞬间棒与水平成角，试证明棒与水平线夹角满足下列关系：2.5 碰撞问题的拉格朗日方程例题：如图所示结构。两匀质杆OA和AB质量均为m，长均为l，铰接于A处。开

6、始时两铅垂杆静止，今在AB杆中点D作用与杆垂直的水平冲量，求冲击后两杆的角速度。取2.6 拉格朗日方程的应用举例例题：如图所示，质量m1半径R的匀质圆柱沿水平面纯滚动，上面作用以力矩M=Mocost的力偶，轴上装一物理摆，摆对轴的转动惯量JO，摆的质心在点A，OA=h，点O通过水平弹簧连接在固定的支座上，弹簧系数k，初始时系统静止，弹簧无变形，=0，试推出系统运动微分方程，并求出初始时刻铰链O的反力，设m1=40kg,摆的质量m2=0.25m1；MO=m1gR，JO=0.1m1R2，h=0.6R例题：如图所示，在光滑的水平桌面上有一小孔，长度为l的质量不计的细绳穿过，一端系质量m的小球A，另一

7、端系相同质量的小球B，OA长度用计，当OA=a时，给小球A大小为v0，垂直于OA的初速度，OA与x轴夹角计，试（1）列出以表示小球A的运动微分方程；（2）求小球A在任意位置的速率。例题 如图所示两个半径为R的匀质圆柱共重P1，刚性地固连在无重的细轴上，组成车轮，重量为P2的重物A连在长度l的细杆上，另外一端装在轮轴上，质量不计，假定摆离铅垂线的夹角很小，节点C处无摩擦，圆柱纯滚动，试求该系统运动如图所示，质量为m的小球在质量不计的光滑杆上自由滑动，杆OA铰接在匀角速度转动的圆盘上，并以匀角速度 =k向下倾斜，试推导系统运动微分方程，并求出维持和k为常数时所需加在铅直轴上的力矩M例题：两轮用匀质杆连接，两轮只滚动不滑动，杆重P，轮重不计；弹簧系数k弹簧在=0未伸长，求系统平衡位置。