电路理论 第五章 动态电路的分析.ppt

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1、第第5 5章章 动态电路的分析动态电路的分析2.2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；全响应求解；l 重点重点1.1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；动态电路方程的建立及初始条件的确定；5.1 电容元件电容元件 (capacitor)电容器电容器_q+q在外电源作用下，在外电源作用下，两极板上分别带上等量异号电荷，两极板上分别带上等量异号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久地集撤去电源，板上电荷仍可长久地集聚下去，是一种储存电能的部件。聚下去，是一种储存电能的部件。1.定义定义电容元件电容元件储存电能的元件。其储存电能的元件。其特性可用特性可用u

2、q 平面平面上的一条曲线来描述上的一条曲线来描述qu库伏库伏特性特性任任何何时时刻刻，电电容容元元件件极极板板上上的的电电荷荷q与与电电流流 u 成成正正比比。q u 特性是特性是过过原点的直原点的直线线l 电路符号电路符号2.线性定常电容元件线性定常电容元件Cu+q-qC 称称为电为电容器的容器的电电容容,单单位：位：F(法法)(Farad，法拉，法拉),常用常用 F，pF等表示等表示。quOl 单位单位l 线性电容的电压、电流关系线性电容的电压、电流关系Cuiu、i 取关取关联参考方向联参考方向电电容元件容元件VCR的微分关系的微分关系表明：表明：(1)i 的大小取决于的大小取决于 u 的

3、的变变化率化率,与与 u 的大小无关，的大小无关，电电容是容是动态动态元件；元件；(2)当当 u 为为常数常数(直流直流)时时，i=0。电电容相当于开路，容相当于开路，电电容容 有隔断直流作用；有隔断直流作用；(3)实际电实际电路中通路中通过电过电容的容的电电流流 i为为有限有限值值，则电则电容容 电压电压u必定是必定是时间时间的的连续连续函数函数.电容元件有记忆电压的作用，故称电容为记忆元件电容元件有记忆电压的作用，故称电容为记忆元件（1）当当 u，i为为非非关关联联方方向向时时，上上述述微微分分和和积积分表达式前要冠以负号分表达式前要冠以负号;（2）上上式式中中u(t0)称称为为电电容容电

4、电压压的的初初始始值值，它它反反映映电电容容初初始始时时刻刻的的储储能能状状况况，也也称称为为初初始始状状态。态。电容元件电容元件VCR的积分关系的积分关系表明表明注注3.电电容的功率和容的功率和储储能能(1)当当电电容充容充电电，u0，du/dt0，则则i0，q ，p0,电电容吸收功率。容吸收功率。(2)当当电电容放容放电电，u0，d u/d t0，则则i0，q ，p0，di/dt0，则则u0，p0,电电感吸收功率。感吸收功率。(2)当当电电流减小，流减小，i0，d i/d t0，则则u0,，p0)应用应用KVL和元件的和元件的VCR得：得：+uLUsRLi(t 0)有源有源电阻电阻电路电路

5、一个一个动态动态元件元件一阶一阶电路电路+uLUSRLi(t 0)CuC二阶电路二阶电路一阶电路一阶电路描述电路的方程是一阶微分方程。描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。一阶电路中只有一个动态元件。稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态稳态动态动态换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后状态微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激励恒定或周期性激励换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程微分方程的一般解微分方程的一般解任意激励任意激励(1)(1)描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；结结论论(2)动态电路方程的阶数等于电路中动

6、态元件的个数；动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法 动态电路的分析方法动态电路的分析方法建立微分方程：建立微分方程：经典法经典法状态变量法状态变量法数值法数值法卷积积分卷积积分拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状态变量法状态变量法付氏变换付氏变换本章本章采用采用(1)t=0与与t=0的概念的概念认为换路在认为换路在 t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3 3.电电路路的的初初始始条条件件初始条件为初始条件为 t=0时时u，i 及其各阶导数的值及其各阶导数的值000tf(t)图示为电容放电电路，电容原先带有

7、电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。求开关闭合后电容电压随时间的变化。例例R+CiuC(t=0)解解特征根方程：特征根方程：得通解：得通解：代入初始条件得：代入初始条件得：说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。定解答的必需条件。t=0+时刻时刻当当i()为有限值时为有限值时iucC+-q(0+)=q(0)uC(0+)=uC(0)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。(2)(2)电容的初始条件

8、电容的初始条件0q=C uC电荷电荷守恒守恒结结论论当当u为有限值时为有限值时 L(0)=L(0)iL(0)=iL(0)iuL+-L(3)(3)电感的初始条件电感的初始条件t=0+时刻时刻0磁链磁链守恒守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结结论论 L(0+)=L(0)iL(0+)=iL(0)qc(0+)=qc(0)uC(0+)=uC(0)（4 4）换路定律）换路定律（1 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意注意:换路瞬间，

9、若电感电压保持为有限换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。后保持不变。（2 2）换路定律反映了能量不能跃变。）换路定律反映了能量不能跃变。5.5.电路初始值的确定电路初始值的确定(2)由换路定律由换路定律 uC(0+)=uC(0)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路(1)由由0电路求电路求 uC(0)或或iL(0)+-10V+uC-10k40kuC(0)=8V(3)由由0+等效电

10、路求等效电路求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)例例1 求求 iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电电容容开开路路电容用电容用电电压源压源替代替代 iL(0+)=iL(0)=2A例例 2t=0时闭合开关时闭合开关k,求求 uL(0+)iL+uL-L10VK1 4+uL-10V1 4 0+电路电路2A先求先求由换路定律由换路定律:电感用电感用电电流源流源替代替代10V1 4 解解电电感感短短路路求初始值的步骤求初始值的步骤:1.1.由换路前电路（一般为稳定状态）求由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+)和和

11、iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b.b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.a.换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。感电流方向）。iL(0+)=iL(0)=ISuC(0+)=uC(0)=RISuL(0+)=-RIS求求 iC(0+),uL(0+)例例3K(t=0)+uLiLC+uCLRISiC解解0+电路电路uL+iCRISR IS+0电路电路RIS由由0 0电路得：电路得：由由0 0电路得：

12、电路得：例例3iL+uL-LK2+-48V3 2 C求求K闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压解解由由0 0电路得：电路得：12A24V+-48V3 2+-iiC+-uL由由0 0+电路得：电路得：iL2+-48V3 2+uC例例4求求K闭合瞬间流过它的电流值。闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100 100 C解解（1 1）确定）确定0 0值值（2 2）给出）给出0 0等效电路等效电路1A+200V-100+100V100 100+uLiC5.4 5.4 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元换路后外加激励为零，仅由动

13、态元件初始储能所产生的电压和电流。件初始储能所产生的电压和电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC(0)=U0iK(t=0)+uRC+uCR特征根特征根特征方程特征方程RCp+1=0则则 uR=Ri零输入响应零输入响应代入初始值代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令令 =RC,称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数(1)(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：从以上各式可以得出：连续连续函数函数跃变跃变(2)(2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响

14、应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；有关；时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =R C 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（C一定）一定）i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小小 大大C 大（大（R一定）一定）W=Cu2/2 储能大储能大物理含义物理含义工程上认为工程上认为,经过经过 3 5,过渡过程结束。过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。t2t1 t1时刻曲线的斜率等

15、于时刻曲线的斜率等于I0tuc0 t1t2U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5 U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 次切距的长度次切距的长度（3 3）能量关系）能量关系 电容电容不断释放能量被电阻不断释放能量被电阻吸收吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+C例例已知图示电路中的电容原本充有已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求电压，求K闭合闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。后，电容电压和各支路电

16、流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC零零输入响应问题，有：输入响应问题，有：i3K3+uC2 6 5Fi2i1+uC4 5Fi1t 0等效电路等效电路分流得：分流得：2.2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0特征根特征根 代入初始值代入初始值 i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+uLRR1t 0iL+uLR-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变(1)(1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；(2)(2)响应与初始状态成

17、线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；有关；令令 =L/R ,称为一阶称为一阶RL电路的时间常数电路的时间常数L大大 W=Li2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =L/R电流初值电流初值i(0)一定：一定：（3 3）能量关系）能量关系 电感电感不断释放能量被电阻不断释放能量被电阻吸收吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完

18、毕.设设iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+uLRiL(0+)=iL(0)=1 AuV(0+)=10000V 造成造成V损坏。损坏。例例1t=0时时,打开开关打开开关K，求求uv。现象现象：电压表坏了：电压表坏了电压表量程：电压表量程：50V解解iLLR10ViLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V例例2t=0时时,开关开关K由由12，求求电感电压和电流及电感电压和电流及开关两端电压开关两端电压u12。解解iLK(t=0)+24V6H3 4 4 6+uL2 12t 0iL+uLR小结小结4.4.一阶电路的零输入响应

19、和初始值成正比，称为零一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零 输入线性。输入线性。1.1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.2.衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路 =L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0)uC(0+)=uC(0)RC电路电路RL电路

20、电路动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电路电路中中外加输入激励作用所产生的响应。外加输入激励作用所产生的响应。列方程：列方程：iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=05.5 5.5 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应齐次方程通解齐次方程通解非齐非齐次方次方程程特特解解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC(0+)=A+US=

21、0 A=US由起始条件由起始条件 uC(0+)=0 定积分常数定积分常数 A的通解的通解通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解的特解-USuCuC“USti0tuc0(1)(1)电压、电流是随时间按同一指数规律变化电压、电流是随时间按同一指数规律变化 的函数；电容电压由两部分构成：的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变函数函数稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）暫态分量（自由分量）+(2)(2)响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常

22、数 RC决定；决定；大，大，充电慢，充电慢，小充电就快。小充电就快。(3)(3)响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系；(4)(4)能量关系能量关系电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：电阻消耗电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。一半转换成电场能量储存在电容中。例例t=0时时,开关开关K K闭合，已知闭合，已知 uC（0）=0，求求（1 1）电）电容电压和电流，（容电压和电流，（2 2）uC80V时的充电时间时的充电时间t。解解500 10 F+-100VK+uCi(1)这是一个这是一个RC电

23、路零电路零状态响应问题，有：状态响应问题，有：(2)(2)设经过设经过t1秒，秒，uC80V2.2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应iLK(t=0)US+uRL+uLR已知已知iL(0)=0，电路方程为电路方程为：tuLUStiL00例例1t=0时时 ,开关开关K打开，求打开，求t0t0后后iL、uL的变化规律的变化规律。解解这是一个这是一个RL电路零状态电路零状态响应问题，先化简电路，响应问题，先化简电路，有：有：iLK+uL2HR80 10A200 300 iL+uL2H10AReqt0例例2t=0时时 ,开关开关K打开，求打开，求t0t0后后iL、uL及电流源的端及电流源的端电压电压

24、。解解这是一个这是一个RL电路零状态响电路零状态响应问题，先化简电路，有：应问题，先化简电路，有：iLK+uL2H10 2A10 5+ut0iL+uL2HUSReq+小结小结1.1.一阶电路的零状态响应是，储能元件的初值为零，一阶电路的零状态响应是，储能元件的初值为零，由输入激励引起的响应由输入激励引起的响应,是由强制分量和暂态分是由强制分量和暂态分量构成的指数函数。量构成的指数函数。2.2.暂态分量暂态分量衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路 =L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.3.同一

25、电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。5.6 5.6 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+uRC+uCR解答为解答为 uC(t)=uC+uCuC(0)=U0以以RC电路为例，非齐次方程电路为例，非齐次方程=RC1.1.全响应全响应全响应全响应稳态解稳态解 uC =US暂态解暂态解uC(0+)=A+US=U0 A=U0-US由起始值定由起始值定A2.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式强制分量强制分量(稳态解稳态

26、解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应=强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)(1)着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰物理概念清晰iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=U0iK(t=0)US+uRC+uCR=uC(0)=0+uC(0)=U0C+uCiK(t=0)+uRR全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应(2)(2)着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算零状态响应零状态响应零输入响

27、应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0例例1t=0时时,开关开关K打开，求打开，求t0t0后的后的iL、uL解解这是一个这是一个RL电路全响电路全响应问题，有：应问题，有：iLK(t=0)+24V0.6H4+uL8 零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：全响应：全响应：或求出稳态分量：或求出稳态分量：全响应：全响应：代入初值有：代入初值有：62AA=4例例2t=0时时 ,开关开关K闭合，求闭合，求t0t0后的后的iC、uC及电流及电流源两端的电压。源两端的电压。解解这是一个这是一个RC电路全响电路全响应问题，有：应问题，有：+10V1A1+u

28、C1+u1 稳态分量：稳态分量：全响应：全响应：A=10+24V1A1+uC1+u1 一阶电路的数学模型是一阶微分方程一阶电路的数学模型是一阶微分方程令令 t=0+其解答一般形式为：其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用用0+等效电路求解等效电路求解用用t 的的稳态稳态电路求解电路求解5.7 5.7 一阶电路分析的三要素法一阶电路分析的三要素法1A2 例例11 3F+-uC已知：已知：t=0时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t)。解解tuc2(V)0.6670例例2t=0时时,开关闭合，求开关闭合，求t0后的后的iL、i1、i2解解 三要素为：三要素为：iL+20V0.5H5 5+10Vi2i1应用三要素公式应用三要素公式例例3已知：已知：t=0时开关由时开关由1212，求换路后的，求换路后的uC(t)。2A4 1 0.1F+uC+4 i12i18V+12解解三要素为：三要素为：4+4 i12i1u+例例4i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3 2 已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能,t=0时合时合k1,t=0.2s时合时合k2求两次换路后的电感电流求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2s解解(0 t 0.2s)(t 0.2s)it(s)0.25(A)1.262