第五章 分析力学.ppt

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1、第5章 分析力学u 引言u 约束和广义坐标（1）u 虚功原理（4）u 拉格朗日方程（6）u 小振动（1）u 哈密顿正则方程（2）u 泊松括号与泊松定理（2）u 哈密顿原理（2）u 正则变换（1）本章作业1、3、5、6、12、13、14、17、20、28、35引言引言控制机械系统运动的基本规律牛顿定律变分原理牛顿力学分析力学以力、加速度等向量为基本物理量向量力学以功、能量等标量为基本物理量。本课程将牛顿定律牛顿定律牛顿定律牛顿定律和达朗贝尔拉格朗日原理达朗贝尔拉格朗日原理达朗贝尔拉格朗日原理达朗贝尔拉格朗日原理作为两个并列的理论基础。拉格朗日方程拉格朗日方程 用s 个独立变量来描述力学体系的运动

2、,是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样.哈密顿正则方程哈密顿正则方程 用坐标和动量作为独立变量,独立变量2 s 个,方程降阶为一阶常微分方程.哈密顿原理哈密顿原理 变分法变分法分析力学注重的不是力和加速度,而是具有更广泛意义的能量,同时又扩大了坐标的概念.分析力学的方法和结论被方便地应用于物理学其他领域.1.1.把力学系统作为一个整体考虑把力学系统作为一个整体考虑把力学系统作为一个整体考虑把力学系统作为一个整体考虑 (牛顿力学是先质点、再牛顿力学是先质点、再牛顿力学是先质点、再牛顿力学是先质点、再质点系质点系质点系质点系 )2.2.具有简单统一的微分方程具有简单统一的微分方程具有简单统一的微

3、分方程具有简单统一的微分方程分析力学：力学量分析力学：力学量 L(T,V)或或 H(T,V)不同不同牛顿力学：运动微分方程不同牛顿力学：运动微分方程不同力学体系不同力学体系不同3.3.使用范围更广使用范围更广使用范围更广使用范围更广能量概念适用于量子力学，甚至非力学体系；能量概念适用于量子力学，甚至非力学体系；量子力学中的量子力学中的 等是没有意义的。等是没有意义的。4 4 引入广义坐标的意义引入广义坐标的意义引入广义坐标的意义引入广义坐标的意义 牛顿力学：牛顿力学：牛顿力学：牛顿力学：个方程个方程个方程个方程 分析力学：分析力学：分析力学：分析力学：个方程个方程个方程个方程n n n n 个

4、质点，个质点，个质点，个质点，k k k k 个约束个约束个约束个约束 广义坐标可以是联系着能量的各种物理量（电压，电流，广义坐标可以是联系着能量的各种物理量（电压，电流，温度，压强），是推广到非力学体系的首要条件。温度，压强），是推广到非力学体系的首要条件。5 5 提出新的力学原理代替牛顿定律提出新的力学原理代替牛顿定律提出新的力学原理代替牛顿定律提出新的力学原理代替牛顿定律三者本质上相同，可以相互证明三者本质上相同，可以相互证明力学第一原理力学第一原理 （相当于相当于“几何公理几何公理”）利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使

5、用拉格郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。6 6 分析力学特点分析力学特点分析力学特点分析力学特点给给定定了了某某一一时时刻刻质质点点的的坐坐标标和和速速度度,由由动动力力学学方方程程原原则则上上单单值值地地确确定定该该时时刻刻的的加加速速度度,因因而而能能够够唯唯一一地地确确定定下下一个时刻一个时刻(或前一个时刻或前一个时刻)的坐标

6、和速度。的坐标和速度。以以此此类类推推,当当知知道道某某一一时时刻刻的的状状态态，就就知知道道了了体体系系在在任一时刻的状态。任一时刻的状态。一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合体就称为体就称为体就称为体就称为力学体系（体系）力学体系（体系）力学体系（

7、体系）力学体系（体系）。1.1.力学体系力学体系约束是对物体运动位置或速度的限制。约束是对物体运动位置或速度的限制。约束是对物体运动位置或速度的限制。约束是对物体运动位置或速度的限制。几乎所有的力学系统都存在着约束。几乎所有的力学系统都存在着约束。例如，刚体内任意两质点间距离不变；例如，刚体内任意两质点间距离不变；两个刚体用铰链连接；轮两个刚体用铰链连接；轮子无滑动地滚动；两个质点用不可伸长的绳连接等。子无滑动地滚动；两个质点用不可伸长的绳连接等。对状态的限制也就是对力学体系内各质点的位置和速度对状态的限制也就是对力学体系内各质点的位置和速度加以限制，其数学表示式：加以限制，其数学表示式：2.

8、2.约束约束约束条件约束条件约束条件约束条件:约束方程、约束方程、约束方程、约束方程、坐标和速度必需满足的条件。坐标和速度必需满足的条件。坐标和速度必需满足的条件。坐标和速度必需满足的条件。3.3.约束的分类约束的分类稳定约束与不稳定约束稳定约束与不稳定约束稳定约束与不稳定约束稳定约束与不稳定约束若限制系统位置的约束不是时间若限制系统位置的约束不是时间若限制系统位置的约束不是时间若限制系统位置的约束不是时间t t t t的函数（在约束方程中不显的函数（在约束方程中不显的函数（在约束方程中不显的函数（在约束方程中不显含时间含时间含时间含时间t t t t），则为），则为），则为），则为稳定约束稳

9、定约束稳定约束稳定约束。可表示为。可表示为。可表示为。可表示为若限制系统位置的约束是时间若限制系统位置的约束是时间若限制系统位置的约束是时间若限制系统位置的约束是时间t t t t的函数（在约束方程中将显含的函数（在约束方程中将显含的函数（在约束方程中将显含的函数（在约束方程中将显含时间时间时间时间t t t t），则为），则为），则为），则为不稳定约束不稳定约束不稳定约束不稳定约束。可表示为。可表示为。可表示为。可表示为不可解约束（双面约束）不可解约束（双面约束）不可解约束（双面约束）不可解约束（双面约束）与与与与可解约束（单面约可解约束（单面约可解约束（单面约可解约束（单面约束）束）束）束

10、）质点始终不能脱离的约束，则为质点始终不能脱离的约束，则为质点始终不能脱离的约束，则为质点始终不能脱离的约束，则为不可解约束不可解约束不可解约束不可解约束（双侧约束）（双侧约束）（双侧约束）（双侧约束）。可表示为。可表示为。可表示为。可表示为或或或或若质点虽受到约束，但在某一方向可以脱离的约束，则为若质点虽受到约束，但在某一方向可以脱离的约束，则为若质点虽受到约束，但在某一方向可以脱离的约束，则为若质点虽受到约束，但在某一方向可以脱离的约束，则为可解约可解约可解约可解约束束束束。可表示为。可表示为。可表示为。可表示为不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和不可解约束以等式表示，可解约束则同

11、时以等式和不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和不等式表示。不等式表示。不等式表示。不等式表示。或或或或或或或或或或或或几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速度没有限制度没有限制度没有限制度没有限制,这种

12、约束称为这种约束称为这种约束称为这种约束称为几何约束几何约束几何约束几何约束 (geometrical constraint)(geometrical constraint)。可。可。可。可表示为表示为表示为表示为例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束。例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束。某某某某些些些些约约约约束束束束不不不不仅仅仅仅对对对对力力力力学学学学系系系系统统统统的的的的空空空空间间间间位位位位置置置置限限限限制制制制，还还还还对对对对各各各各质质质质点点点点的的的的速速速速度度度度有有有有限限限限制制制制,这这这这种种种种约约约约束束束束称称称称为

13、为为为运运运运动动动动约约约约束束束束（或或或或微微微微分分分分约约约约束束束束）(geometrical(geometrical constraint)constraint)。可表示为。可表示为。可表示为。可表示为可经过积分变为几何约束的则为可经过积分变为几何约束的则为可经过积分变为几何约束的则为可经过积分变为几何约束的则为完整约束完整约束完整约束完整约束，不能积分则为，不能积分则为，不能积分则为，不能积分则为不不不不完整约束完整约束完整约束完整约束。只受完整约束的体系称为只受完整约束的体系称为只受完整约束的体系称为只受完整约束的体系称为完整系完整系完整系完整系。只要受有不完整约束的体系，则

14、称为只要受有不完整约束的体系，则称为只要受有不完整约束的体系，则称为只要受有不完整约束的体系，则称为不完整系不完整系不完整系不完整系。例例例例考考虑虑一一个个冰冰面面上上滑滑行行的的冰冰刀刀的的简简化化模模型型。假假定定将将冰冰刀刀抽抽象象为为以以刚刚性性轻轻杆杆相相连连的的两两个个质质点点，并并设设两两质质点点质质量量相相等等，杆杆长长为为l l，当当冰冰刀刀在在冰冰面面上上运运动动时时，质质心心(杆杆的的中中点点)的的速速度度只只能能沿沿杆杆的的方方向向。选两质点在冰面上的坐标为选两质点在冰面上的坐标为(x x1 1，y y1 1)和和(x x2 2，y y2 2)，则约束条件为，则约束条

15、件为后一个约束也可表为：后一个约束也可表为：这意味着它是对无限小变化的限制。这意味着它是对无限小变化的限制。（质心的速度沿杆的方向）（质心的速度沿杆的方向）（左边同除以（左边同除以（左边同除以（左边同除以dtdt）例：例：例：例：圆环在水平面上作纯滚动。圆环在水平面上作纯滚动。圆环在水平面上作纯滚动。圆环在水平面上作纯滚动。需需4个坐标。个坐标。如果如果：轨迹为轨迹为直线，则为完整约束直线，则为完整约束直线，则为完整约束直线，则为完整约束曲线，则为非完整约束曲线，则为非完整约束曲线，则为非完整约束曲线，则为非完整约束直线：直线：直线：直线：运运 动动 约约 束束运运 动动 约约 束束几几 何何

16、 约约 束束几几 何何 约约 束束积分积分积分积分微分微分微分微分理论力学主要研究受双面双面、定常定常、完整约束完整约束（几何约（几何约束）束）的非自由质系(完整系)。在给定的约束条件下用来确定力学系的位置的一组独在给定的约束条件下用来确定力学系的位置的一组独立变量称为系统的立变量称为系统的广义坐标（广义坐标（eneralized system）。系统的独立坐标的个数系统的独立坐标的个数s叫作系统在叫作系统在有限运动有限运动中的中的自由度自由度单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的数目。单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的数目。对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，但是对于一个给定

17、的系统，广义坐标的数目是一定的，但是广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标的选择不是唯一的。个个).(k个几何约束时：有个几何约束时：有 n 个质点，个质点，k 个约束的系统的自由度：个约束的系统的自由度：非完整系中非完整系中:自由度自由度 0(即平衡位置V=0是极小值)是保证所有的 为纯虚数的充要条件所以其实数解一共有2s个常数,叫做简正频率,共有s个和力学体系的自由度数相等（3）简正坐标）简正坐标为了消去动能和势能中的交叉项引入简正坐标动能是正定的,由线性变换可以使T和V变为正则形式拉格朗日方程则变为解方程得即是简正坐标简正频率每一简正坐标将作具有自己的固有频率的谐振动,而其他q坐标,作为简正

18、坐标的线性函数将具有由s个谐振动迭加而成的复杂振动。讨论讨论 1.1.的物理意义：振动体系以的物理意义：振动体系以的物理意义：振动体系以的物理意义：振动体系以 中的一个频率振动时，其中的一个频率振动时，其中的一个频率振动时，其中的一个频率振动时，其它它它它频率的振动不激发，反映该振动模式的坐标就是简正坐标；频率的振动不激发，反映该振动模式的坐标就是简正坐标；频率的振动不激发，反映该振动模式的坐标就是简正坐标；频率的振动不激发，反映该振动模式的坐标就是简正坐标；2.2.找简正坐标的方法：找简正坐标的方法：找简正坐标的方法：找简正坐标的方法：化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型

19、为标准形;3.3.简正坐标简正坐标是描述系统位置的坐标，不是单个质点；是描述系统位置的坐标，不是单个质点；4.4.简正频率简正频率简正频率简正频率相互独立，由体系特性决定，是体系简正模式振动相互独立，由体系特性决定，是体系简正模式振动相互独立，由体系特性决定，是体系简正模式振动相互独立，由体系特性决定，是体系简正模式振动特性的物理量，不能相加、平均，或线性组合，特性的物理量，不能相加、平均，或线性组合，只有他们对应的振只有他们对应的振动才可以迭加。动才可以迭加。例例 P306 耦合摆耦合摆弹簧倔强系数k,求系统的运动.解:两摆在同一平面内振动.由于约束,4个坐标中只有两个是独立的.选择 和 为

20、广义坐标.平衡位置为0可得能量可得能量得得因为因为为求平衡位置附近T和V,可在平衡位置附近泰勒展开系数动能和势能在平衡位置附近动能和势能在平衡位置附近将将T和和V代入到拉格郎日方程代入到拉格郎日方程5.3.16中去中去得到耦合摆的动力学方程得到耦合摆的动力学方程二阶常系数微分方二阶常系数微分方程组的解程组的解方程组有非零解方程组有非零解的充要条件是系的充要条件是系数行列式等于零。数行列式等于零。要有非零解，系数满足：要有非零解，系数满足：代入到系统的动力学方代入到系统的动力学方程中去，得程中去，得8个任意常数仅有个任意常数仅有4个是独立的个是独立的令令简正坐标两摆一起摆动两摆位相相反单自由度系

21、统的微振动单自由度系统的微振动单自由度定常保守系统的平衡位形q=q0：在考虑微振动时，可以认为q-q0和 都是一阶小量。对于单自由度定常约束系统保留到二阶小量保留到二阶小量由拉格朗日方程得：广义刚度系数广义刚度系数广义惯性系数广义惯性系数单自由度系统微振动的线性化方程单自由度系统微振动的线性化方程例例1质量为m长为l的均质杆OA悬挂在O点处，可绕O轴摆动。质量为M的滑块用刚度系数为k的弹簧连接，并可沿杆OA滑动，如所示。杆OA铅直位置是系统的平衡位置。忽略摩擦力。求系统微幅振动的固有频率。取为广义坐标。例例1 解解已知：m,r,R；求：匀质圆柱体微摆动的周期。例例2RrOCE固定例例2 解解完

22、整、理想约束系统代入拉格朗日方程得：RrOCE固定第五章第五章5.5 哈密顿正则方程与正则变换哈密顿正则方程与正则变换5.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程拉氏函数拉氏方程将方程降阶,令由广义动量的定义，我们还可以求出广义速度！由广义动量的定义，我们还可以求出广义速度！拉氏函数拉氏函数保守力系的拉格朗日方保守力系的拉格朗日方程的另一种表达式程的另一种表达式勒襄特变换勒襄特变换先考虑两个变数的勒襄特变换正则方程正则方程当拉氏函数变量改变,引入新函数哈密顿函数哈密顿正则方程含2S个变量的一阶常微分方程组能量积分与循环积分能量积分与循环积分若能量积分能量积分能量稳定约束时,H就是力学系统的总能量E不稳

23、定约束,H=h代表广义能量积分如果为稳定约束,动能T 可以表示为广义速度的二次齐次函数循环积分循环积分 若若 H=H（q1，qs；p1，ps；t）中不显含某个）中不显含某个pi 或某个或某个qi，即，即pi，qi为循环坐标，则由哈密顿方程立即得到为循环坐标，则由哈密顿方程立即得到qi=常数常数 pi=常数常数 对哈密顿表述的一些说明：对哈密顿表述的一些说明：（1）正则变量、相空间。）正则变量、相空间。u从拉格朗日表述到哈密顿表述，观点上发生的一个重大变化：把广义动量视为与广义坐标地位相同、相互独立的变量。以前的广义动量定义为：新观点认为，未求出运动规律之前，位置与速度是相互独立的，这样广义动量

24、不能单独由位置确定。它是对力学系统动力学规律的新表述，而不是否定以前的观点。u广义坐标和对应的广义动量是一对共轭正则变量，这2s个正则变量构成的2s维空间为相空间相空间。相空间内任一点为相点，给定一个相点，相当于给出系统全部初始条件，系统运动将完全确定。所以通过一个相点一般只有一条相轨迹。对哈密顿表述的一些说明：对哈密顿表述的一些说明：（2）哈密顿正则方程：）哈密顿正则方程：u广义坐标和对应的广义动量是一对共轭正则变量，是由于它们作为独立变量导出的运动方程具有正则的形式，即简单、对称的形式。虽然广义坐标可以任意选取，但对任意一组广义坐标与广义动量，运动方程都具有与上述相同的正则形式。因此我们称

25、这组方程为哈密顿正则哈密顿正则方程。方程。它是一组2s个一阶常微分方程。u哈密顿正则方程在解决具体力学问题时与拉格朗日方程等价，并且不一定带来什么简化（求能量积分和循环积分要简便得多），但它对力学理论自身的发展和理论物理其它领域的发展都发挥了极为重要的作用。对哈密顿表述的一些说明：对哈密顿表述的一些说明：（3）哈密顿函数：）哈密顿函数：u在哈密顿原理中，哈密顿函数是力学系统的特征函数，只要正确地构造出系统的哈密顿函数，系统的运动方程就随之确定；通过哈密顿函数同样可以判断出在运动过程中存在哪些守恒量。u哈密顿函数的意义将会随广义坐标的不同选择而改变，这是它与系统机械能的不同之处。因为对于同一惯性

26、参考系，系统机械能不会随广义坐标的不同选择而改变，只有当坐标变换方程不显含时间 t 时（稳定约束），才有 T0=T1=0，T=T2，进而才有哈密顿函数等同于系统机械能 E 的结论：H=T+V=E。u哈密顿函数必须表示为广义坐标、广义动量和时间的函数，即：而其定义式为：把这些表达式代入到 H 中，就可以消去广义速度。例例 电子的运动电子的运动试用正则方程研究电子的运动.解解:用正则方程求解上述简单问题时，过程反而迂回用正则方程求解上述简单问题时，过程反而迂回复杂些，但对比较复杂问题时，具有优越性。复杂些，但对比较复杂问题时，具有优越性。哈密顿正则方程哈密顿正则方程 例1.试在笛卡儿坐标,柱坐标和

27、球坐标中分别写出自由质点在势场 中运动的哈密顿函数笛卡儿坐标笛卡儿坐标柱坐标柱坐标球坐标球坐标试求出一维运动粒子的拉氏函数和哈密顿函数。试求出一维运动粒子的拉氏函数和哈密顿函数。第五章第五章5.6 泊松括号与泊松定理泊松括号与泊松定理求解哈密顿正则方程的方法之一求解哈密顿正则方程的方法之一5.6 泊松括号与泊松定理泊松括号与泊松定理（）泊松括号（）泊松括号泊松括号是理论物理学中常用到的一种符号，如果用广义坐标和广义动量来描写系统的力学状态，同时用哈密顿函数来描写系统的力学性质，则系统的动力学规律还可以用泊松括号来描写。结合结合正则正则方程方程泊松括号泊松括号广义动量与广义坐标相互独立，所以有：

28、广义动量与广义坐标相互独立，所以有：得：得：正则方程用泊松括号表示正则方程用泊松括号表示正则方程用泊松括号表示正则方程用泊松括号表示定义定义泊松括号的性质泊松括号的性质泊松定理泊松定理正则方程如果是正则方程的两个初积分（守恒量）泊松定理是在哈密顿正则方程基础上发展起来的一种解法。则有正则方程的又一积分 泊松定理泊松定理例例一组质点只在保守内力作用下运动,如果x,y方向的两分动量矩为常数,则z方向的分动量矩也必定是一个常数,用泊松定理证明.解:由泊松定理讨讨 论论 1 广义坐标和广义动量的泊松括号与量子条件是相对应的广义坐标和广义动量的泊松括号与量子条件是相对应的泊松括号与量子力学有密切联系：泊

29、松括号与量子力学有密切联系：2 正则方程用泊松括号表示的形式在量子力学中经常用到。正则方程用泊松括号表示的形式在量子力学中经常用到。3 下列式子在量子力学中称为对易关系。下列式子在量子力学中称为对易关系。5.7 哈密顿原理变分运算的几个法则哈密顿原理5.7 哈密顿原理哈密顿原理虚功原理是力学变分原理的微分形式哈密顿原理是力学变分原理的积分形式一些变分运算法则变分概念变分概念真实曲线C和C之间的差异称为变分,它不同于在同一曲线轨道上由于自变数微小变化引起的差异 d.若P及P是C及C上对应的两点,即M和M同时从P1出发,当M到达P,则M到达P.变分和微分可以对易等时变分反之,为不等时变分不等时变分

30、,或全变分全变分哈密顿原理哈密顿原理若认为s个确定的q代表着s维空间的一个点描述力学体系运动状态的积分哈密顿提出可以从具有相同端点的并为约束所许可的许多条可能的运动轨道中用变分法挑选出一条真实轨道,从而确定力学体系沿真实轨道运动时的运动规律.用拉格朗日方程推导保守力系作用下的哈密顿原理拉格朗日方程拉格朗日方程作用函数作用函数 表示端点时间和位置的函数时,叫主函数主函数 S哈密顿原理哈密顿原理哈密顿原理用变分法中求稳定值的办法来挑选真实轨道,并由此来确定力学体系的运动规律.哈密顿原理的文字表述：哈密顿原理的文字表述：保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形转移到另一已知位形的一切可能的运动

31、中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于零。哈密顿原理和牛顿运动定律等价，广泛地被用来推导其他原理、定律、和方程。例例 P326试用哈密顿原理导出正则方程解：解：正则方程正则方程5.8 正则变换正则变换的目的和条件正则变换的目的和条件不同形式的正则变换不同形式的正则变换正则变换的关键正则变换的关键5.8 正则变换正则变换（1）正则变换的目的和条件）正则变换的目的和条件力学体系的哈密顿函数H中,有没有循环坐标,与选用的坐标系有关。例如有心力,在直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系中在极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系中正则变换正则变换通过坐标和动量的变换,使新的哈密

32、顿函数有更多的循环坐标,且新的哈密顿函数使正则方程形式不变,这种变换叫正则变换正则变换.正则变换的条件正则变换的条件 正则变换的主要目的就是通过变量变换来获得更多的循环坐标，以利于解题。另一方面，正则变换有助于说明作为独立变量的“动量”p和“坐标”q有着同等地位，并使q和p的选择具有更大的自由，从而使力学表述的物理含义具有更新、更抽象的内容，这对力学本身的发展和近代物理的发展起着重要的作用。正则变换的目的正则变换的目的对拉格朗日表述，广义坐标的选取的任意的，它们可以是任何能够确定系统在空间位置的s个独立变量，可以把旧坐标变换到新坐标，即变换方程可以显含时间t，而且变换后正则方程也保持原来的形式

33、。而哈密顿表述中动量和坐标一样属于相互独立的变量，因而应该有2s个独立变量p，q变换到2s个新的独立变量P，Q，变换方程可写为：正则变换条件的推导：正则变换条件的推导：正则变换的条件：正则变换的条件：右端正正则则方方程程H*所满足的方程不所满足的方程不改变正则方程的形改变正则方程的形式，所以正则变量式，所以正则变量改变时，如果满足改变时，如果满足前面的条件式，就前面的条件式，就是一个正则变换。是一个正则变换。正则函数有依赖于正则函数有依赖于U的选择的选择,U称为称为母函母函数数，故可设一母函数，故可设一母函数,则由左式前两式则由左式前两式可以求出变换方程。并且这种变换一可以求出变换方程。并且这种变换一定是正则变换，可使正则方程的形式定是正则变换，可使正则方程的形式不变，不变，H*则可由第三式求出。则可由第三式求出。若变换方程和H不显含t,则正则变换条件（2）几种不同形式的正则变换）几种不同形式的正则变换不同的母函数可以有不同的正则变换若作变换若作变换变换变换和（3）正则变换的关键）正则变换的关键若若关键在母函数U的规定,使变换后能有很多循环坐标出现,使问题简化.例例 用正则变换法求平面谐振子的运动用正则变换法求平面谐振子的运动.解解:令令