概率论第三章ch3_5.ppt

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1、对已知函数对已知函数z=z=g(x,yg(x,y)现在欲求现在欲求 Z=Z=g(X,Yg(X,Y)的分布的分布律。律。二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布对二维随机向量对二维随机向量(X(X，Y)Y)，二元函数，二元函数 z=z=g(x,yg(x,y)，我们可，我们可以考虑以考虑 随机变量随机变量 Z=Z=g(X,Yg(X,Y)的分布情况。的分布情况。设离散型随机向量设离散型随机向量 (X(X，Y)Y)的分布律为的分布律为方法：先求出方法：先求出Z Z的取值记为：的取值记为：z z1 1,z,z2 2,z zn n,.,.再求出再求出Z Z取每一个值的概率：取每一个值的概率：例例1

2、 1 已知随机变量已知随机变量X X，Y Y的联合分布律为的联合分布律为求如下随机变量的分布律。求如下随机变量的分布律。解解：随随机机向向量量(X,Y)总总共共有有六六对对取取值值，我我们们将将它它们们情情况况与与概概率列于下表中。并根据此表求出率列于下表中。并根据此表求出Z的取值如下：的取值如下：化简整理，得各函数的分布律为：化简整理，得各函数的分布律为：解：依题意解：依题意 例例2 2 若若X X 和和Y Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为1 1,2 2 的泊松的泊松分布分布,证明证明 Z Z=X X+Y Y 服从参数为服从参数为1 1+2 2 的泊松分布。的泊松分

3、布。i i=0,1,2,=0,1,2,j j=0,1,2,=0,1,2,所以所以 Z Z 服从参数为服从参数为 1 1+2 2 的泊松分布的泊松分布.我们只学习两种类型的函数分布：我们只学习两种类型的函数分布：二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布(1)(1)两个随机变量两个随机变量X,YX,Y和的分布：和的分布：(2)(2)两个随机变量两个随机变量 X X，Y Y 的最大最小分布即：的最大最小分布即：以及多个随机变量以及多个随机变量 X X1 1，X X2 2，X Xn n 的最大最小分布即：的最大最小分布即：定理：设定理：设X X 和和Y Y 的联合密度为的联合密度为 f

4、 f(x x,y y),),则则Z Z=X X+Y Y 的概率的概率密度为：密度为：二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布当当X X、Y Y相互独立时还可以写成卷积公式：相互独立时还可以写成卷积公式：P95P95:(5.1)-(5.1)-(5.4)(5.4)式式证明证明:Z Z=X X+Y Y 的分布函数是：的分布函数是：二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布对上式作积分变换对上式作积分变换 x=x=u-yu-y可得下式：可得下式：求导得求导得 Z Z=X X+Y Y 的概率密度为的概率密度为:由由X X 和和Y Y 的对称性的对称性,f fZ Z (z z

5、)又可写成又可写成 特别当特别当X X 和和Y Y 独立，上述两式被积函数能被表为乘积形式。独立，上述两式被积函数能被表为乘积形式。为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0 0的区域即：的区域即：例例4 4 若若X X 和和Y Y 独立独立，并且都服从区间，并且都服从区间0,10,1上的均匀分布上的均匀分布求求Z Z=X X+Y Y的概率密度的概率密度.解解:X:X、Y Y 的分布律为：的分布律为：这说明两个相互独立均这说明两个相互独立均匀分布的随机变量之和匀分布的随机变量之和不是均匀分布不是均匀分布!例例5 5 设随机变量设随机变量X,Y X,Y 相互独立且服从相

6、同的正态分布相互独立且服从相同的正态分布 N(N(,2 2)求求Z=X+YZ=X+Y的概率密度的概率密度 。解：由卷积公式得：解：由卷积公式得：对对一一般般情情况况：若若X X与与Y Y相相互互独独立立则则仍仍可可以以证明：证明：这说明两个相这说明两个相互独立正态分互独立正态分布的随机变量布的随机变量之和仍是正态之和仍是正态分布分布!对对更更一一般般情情况况：n n个个相相互互独独立立的的正正态态型型随随机变量之和仍为正态分布，即：机变量之和仍为正态分布，即：这说明多个相这说明多个相互独立正态分互独立正态分布的随机变量布的随机变量之和仍是正态之和仍是正态分布分布!设两个相互独立的随机变量设两个

7、相互独立的随机变量X X，Y Y具有分布函数具有分布函数F FX X(x x)和和F FY Y(y y),),则则M=M=max(max(X X,Y Y)及及N N=min(=min(X X,Y Y)的分布函数为：的分布函数为：最大最小分布最大最小分布 事实上：事实上：特别，当特别，当 X X1 1,X Xn n 相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数 F F(x x)时：时：N=N=min(min(X X1 1,X Xn n)的分布函数是的分布函数是 M=M=max(max(X X1 1,X Xn n)的分布函数为的分布函数为:设设X X1 1,X Xn n是是n n个相互独立

8、的随机变量个相互独立的随机变量,则则推广到更一般情况推广到更一般情况例题：已知随机变量例题：已知随机变量X X，Y Y的联合分布律为：的联合分布律为：Y X12311/92/92/9201/92/93001/9求求(1)Z=X+Y (2)W=2X-Y(3)M=(1)Z=X+Y (2)W=2X-Y(3)M=max(X,Ymax(X,Y)(4)N=)(4)N=min(X,Ymin(X,Y)(5)U=M+N(5)U=M+N 的分布的分布律。律。解：为了求出每个随机变量的取值，我们列一个表，它可解：为了求出每个随机变量的取值，我们列一个表，它可以方便我们求解。以方便我们求解。(X,Y)Z=X+YW=2

9、X-YM=max(X,Y)N=min(X,Y)U=M+N概率概率(1,1)211121/9(1,2)302130(1,3)4-13140(2,1)332132/9(2,2)422241/9(2,3)513250(3,1)453142/9(3,2)543252/9(3,3)633361/9因此我们可以写出它的分布律为：因此我们可以写出它的分布律为：Z23456pk1/92/93/92/91/9W-1012345pk001/91/93/92/92/9M123pk1/93/95/9N123pk5/93/91/9U23456pk1/92/93/92/91/9例题：设系统例题：设系统L L由两个独立的子

10、系统由两个独立的子系统L L1 1，L L2 2构成。联接的方构成。联接的方式为式为(1)(1)串联，串联，(2)(2)并联，并联，(3)(3)备用。如果备用。如果L L1 1，L L2 2的寿命的寿命X X，Y Y分别服从参数为分别服从参数为，的指数分布，试分别就上面三种情的指数分布，试分别就上面三种情况求况求L L的寿命的寿命Z Z的概率密度函数。的概率密度函数。解：解：X X，Y Y的概率密度函数为：的概率密度函数为：(1)(1)当当L L1 1，L L2 2串联时，串联时，L L的寿命的寿命 Z=Z=min(X,Ymin(X,Y),),故概率密度函数为：故概率密度函数为：(2)(2)当当L L1 1，L L2 2并联时，并联时，L L的寿命的寿命 Z=Z=max(X,Ymax(X,Y),),故概率密度函数为：故概率密度函数为：(3)(3)当当L L1 1，L L2 2备用时，备用时，L L的寿命的寿命 Z=X+YZ=X+Y被积函数非被积函数非0 0区域为：区域为：故当故当 z0z0时得：时得：