教育专题：相似三角形分类讨论.ppt

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1、AEDBC如图，如图，D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC上的点，请你添加一个上的点，请你添加一个条件，使条件，使ABC和和AED相似，你添加的条件是相似，你添加的条件是_.AED=BAA,AEDBAEDABC(有两个角对应相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。)AEDBC如图，如图，D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC上的点，请你添加一个上的点，请你添加一个条件，使条件，使ABC和和AED相似，你添加的条件是相似，你添加的条件是_.ADE=CAA,ADECAEDABC(有两个角对应相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。)AEDBC如图，如图，D

2、、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC上的点，请你添加一个上的点，请你添加一个条件，使条件，使ABC和和AED相似，你添加的条件是相似，你添加的条件是_.ADE=BAA,ADEBADEABC(有两个角对应相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。)AEDBC如图，如图，D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC上的点，请你添加一个上的点，请你添加一个条件，使条件，使ABC和和AED相似，你添加的条件是相似，你添加的条件是_.AED=CAA,AEDCADEABC(有两个角对应相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。)AEDBC如图，如图，D、E分别是分别是ABC的

3、边的边AB、AC上的点，请你添加一个上的点，请你添加一个条件，使条件，使ABC和和AED相似，你添加的条件是相似，你添加的条件是_.ADABAEACAAA,A,ADEABCADEABC（两边对应成比例，且夹角相等的两个（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。）三角形相似。）AEDBC如图，如图，D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC上的点，请你添加一个上的点，请你添加一个条件，使条件，使ABC和和AED相似，你添加的条件是相似，你添加的条件是_.ADACAEABAAA,A,AEDABCAEDABC（两边对应成比例，且夹角相等的两个（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。）三角形

4、相似。）2.已知如图，已知如图，D点是不等边点是不等边ABC的边的边AC上一点，过上一点，过D点画线点画线段段DE，使点使点E在在ABC的边的边上，并且点上，并且点D，点，点E和和ABC的的一一个顶点组成的小三角形与个顶点组成的小三角形与ABC相似。问：这样的三角形可以相似。问：这样的三角形可以画几个？画出画几个？画出DE，并且写出添线方法（可讨论并答出作图依据）并且写出添线方法（可讨论并答出作图依据）AC.DBAC.DBBAC.DAC.DBEEEE1.1.过过RtABCRtABC的斜边的斜边ABAB上一点上一点D D作一条直线与作一条直线与另一边或者另一边或者BCBC相相交，使截得的小三角交

5、，使截得的小三角形与形与ABCABC相似，这样相似，这样的直线有几条？的直线有几条？AC CD E EA AB BC C.1 1、如图、如图,在在ABCABC中中,AB=5,AC=4,E,AB=5,AC=4,E是是ABAB上一点上一点,AE=2,AE=2,在在ACAC上取一点上取一点F,F,使以使以A A、E E、F F为顶点的三角形与为顶点的三角形与 ABC ABC相似相似,那么那么AF=_AF=_F2F F1 1练一练练一练2.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，E是是AB的中的中点，点点，点M，N分别在分别在BC，CD上，且上，且CM=2，则，则当当CN=_时，时，CMN

6、与与ADE相似。相似。EABCDMN1或或4练一练练一练:3.在平面直角坐标系，在平面直角坐标系，B（1，0）,A（3，3）,C（3，0）,点点P在在y轴的正半轴上运动，若轴的正半轴上运动，若以以O，B，P为顶点的三角形与为顶点的三角形与 ABC相似，则点相似，则点P的坐标是的坐标是_.yABCxOP（0，1.5）或（）或（0，2/3）练一练练一练CAOB在在RtOBC中，已知中，已知OB=4，OC=2，OA=1，求证：求证：AOCCOBCAO在直线在直线AC上是否存在点上是否存在点M，使得以使得以A，B，M为顶点的三为顶点的三角形和角形和AOC相似，若不存相似，若不存在在,请说明理由请说明理

7、由.若存在若存在,这这样样的的M点共有几个点共有几个?请求出请求出AM的长。的长。MMOB=4，OC=2，OA=1B在方格纸中在方格纸中,每个小格的顶点称为格点每个小格的顶点称为格点,以格点以格点连线为边的三角形叫做格点三角形连线为边的三角形叫做格点三角形,如图所示如图所示,在在1010的方格中的方格中,已知已知OAB.xy4-1-143213012A-4-3-2-4-3-2B5-5作一个格点三角形作一个格点三角形与与OAB相似且与相似且与OAB 共边共边AB.4.如图，平面直角坐标系中，直如图，平面直角坐标系中，直线线AB与与x轴轴y轴分别轴分别A（3，0）B（0，）两点，点）两点，点C为线

8、段为线段AB上的一动点，过点上的一动点，过点C作作CDx轴于点轴于点D.(1)求直线求直线AB的解析式；的解析式；(2)在第一象限内求作一点在第一象限内求作一点P,使使得以得以P，O，B为顶点的三角形为顶点的三角形与与OBA相似相似,并求出所有符并求出所有符合条件的点合条件的点P.AODCByxCAOBxyOB=4，OC=2，OA=1D过点过点C作作 CDx轴轴，一动点一动点P从从点点A出发，以每秒出发，以每秒1个单位长度个单位长度的速度匀速向的速度匀速向B点运动，同时动点运动，同时动点点Q从从C点出发沿射线点出发沿射线CD以每以每秒秒2个单位长度的速度匀速运动个单位长度的速度匀速运动,当当P

9、达到达到B后后,运动停止运动停止,设运动时间为设运动时间为t.连结连结PQ交交CB于点于点E。PE(1)经过几秒后，经过几秒后，SCEQ=4SBPE(2)在运动过程中，当在运动过程中，当BE:EC=1:4时，请写出时，请写出E点的坐标点的坐标.Q你能判断你能判断PQ与与BC的位置关系吗的位置关系吗?1 1、如图、如图,已知点已知点P P是边长为是边长为4 4的正方形的正方形ABCDABCD内的一点，内的一点，且且PB=3PB=3，BFBP.BFBP.试问在射线试问在射线BFBF上是否存在一点上是否存在一点E E，使以点使以点B B、E E、C C为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABPABP相似

10、相似?若存在若存在,请求出请求出BEBE的长的长;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.F FC CA AB BD DP P相应练习相应练习B BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒练一练练一练2 2、在、在 ABCABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,AB=8cm,BC=16cm,点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向边向B B点以点以2cm/2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC向点向点C C以以4cm/4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P P、Q Q分别从分别从A A、B B同时出发，经同时出发，经几

11、秒钟几秒钟 BPQBPQ与与 BACBAC相似？相似？练一练练一练3 3、如图：已知、如图：已知ABCABCCDBCDB9090，ACAC5cm5cm，BC=3cmBC=3cm，当，当BDBD取多少取多少cmcm时时 ABCABC和和BDCBDC相似？相似？4 4D DA AB BC C5 53 34.如图如图,在矩形在矩形ABCD中中,AB=12cm,BC=6cm,点点P沿沿AB边从边从点点A开始向点开始向点B以以2cm/s的速度移动的速度移动,点点Q沿沿DA边从点边从点D开始向点开始向点A以以1cm/s的速度移动的速度移动.如果点如果点P、Q同时出发同时出发,用用t(s)表示移动的时间表示

12、移动的时间(0t6),（1）当）当t为何值时，为何值时，QAP为等腰直角三角形？为等腰直角三角形？（2）求四边形）求四边形QPBC的面积，提出一个与计算结果有的面积，提出一个与计算结果有关的结论；关的结论；（3）那么当）那么当t为何值时为何值时,以点以点Q、A、P为顶点的三角形为顶点的三角形和和ABC相似相似?2.如图：已知如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当，当BD与与a、b之间满足怎样的关系式时，之间满足怎样的关系式时，两三角形相似两三角形相似DABCab解解:1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC CDB,1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC BDC，答：略

13、答：略.4 4、如图、如图,在等腰在等腰ABCABC中中,BAC=90,BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一个动点边上的一个动点(不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE E（1 1）求证：）求证：ABDDCEABDDCE（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值（3 3）当）当ADEADE是等

14、腰三角形时，求是等腰三角形时，求AEAE的长的长拓展提高拓展提高1 12.把一个等腰直角三角形和一个正三角形分把一个等腰直角三角形和一个正三角形分别分割成别分割成3个三角形个三角形,使等腰直角三角形中的使等腰直角三角形中的3 个小三角形和正三角形中的个小三角形和正三角形中的3 个小三角形分别个小三角形分别相似。请画出三角形的分割线相似。请画出三角形的分割线,在小三角形的在小三角形的各个角上标出度数各个角上标出度数.画一画画一画:1 1、如图、如图,在在ABCABC和和DEFDEF中中,A=D=70,A=D=700 0,B=50B=500 0,E=30,E=300 0,画画直线直线a,a,把把A

15、BCABC分成两个三角形分成两个三角形,画画直线直线b b,把把DEFDEF分成两个三角形分成两个三角形,使使ABCABC分成的分成的两个三角形和两个三角形和DEFDEF分成的两个三角形分别相似分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据要求标注数据)300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200性质的应用：性质的应用：例例1、如图、如图,在在ABC中中,C=90,P为为AB上一点上一点,且点且点P不与点不与点A重合重合,过过P作作PEAB交交AC边于点边于点E,点点E不与点不与点C重合重合,若若AB=10,AC=8,设设AP的长为的长为x

16、,四边形四边形PECB周长为周长为y,求求y与与x的函数关系式的函数关系式.D QABCP2.如图如图,边长为边长为4的正方形的正方形ABCD中中,P是边是边BC上的一点上的一点,QPAP 交交 DC于于Q,设设 BP=x,ADQADQ的面积为的面积为y.y.(1)(1)求求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式,并求自变量并求自变量x x的取值范围的取值范围;(2)(2)问问P P点在何位置时点在何位置时,ADQ,ADQ的面积最小的面积最小?最最小小面积是多少面积是多少?相似三角形性质应用相似三角形性质应用3、某生活小区的居民筹集资金、某生活小区的居民筹集资金1600元元,计划在一

17、块上、下底分别为计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如下图）的梯形空地上种植花木（如下图）（1）他们在）他们在AMD和和BMC地带种植太阳花，单价为地带种植太阳花，单价为8元元/m2。当在。当在AMD地带地带（图中阴影部分）中种满花后，共用去了（图中阴影部分）中种满花后，共用去了160元。请计算种满元。请计算种满BMC地带所需的费用地带所需的费用 是多少元。是多少元。（2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元元/m2、10元元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？，应选择

18、哪种花木，刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点图案，即在梯形内找到一点P，使得，使得APB DPC，且，且APD的面积与的面积与BPC的面积相等，并说明你的理由。的面积相等，并说明你的理由。拓展提高拓展提高锐角锐角ABC中，中，BC=6，SABC=12，两动点，两动点M,N分别在边分别在边AB,AC上滑动，且上滑动，且MNBC，以，以MN为边向下作正方形为边向下作正方形MPQN，设其边长，设其边长为为x，正方形，正方形MPQN与与ABC公共部分的面积为公共部分的面

19、积为y(y0)（1）ABC中中BC边上高边上高AD=；（2）当）当x=时，时，PQ恰好落在恰好落在BC边上（如图边上（如图1）；）；（3）当）当PQ在在ABC外部时（如图外部时（如图2），求），求y关于关于x的函数关系式的函数关系式 （注明（注明x的取值范围），并求出的取值范围），并求出x为何值时为何值时y最大，最大值是多少？最大，最大值是多少？AABBCCMMNNPPQQDD（图1）(图2）CEFDBACBADEFGPQ例例3:3:现用一块直角三角形的边角料来加工现用一块直角三角形的边角料来加工 一个正方形一个正方形,已知两直角边已知两直角边AC=30cm,AC=30cm,BC=40cm.B

20、C=40cm.甲甲,乙两种加工方法如图所示乙两种加工方法如图所示,请你通过计算说明哪种加工方法能使加请你通过计算说明哪种加工方法能使加 工成的正方形面积更大。工成的正方形面积更大。5 5、如图、如图,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,AB,ABCD,CD,A=90A=900 0,AB=2,AB=2,AD=5,PAD=5,P是是ADAD上一动点上一动点(不与不与A A、D D重合重合),),，交于点交于点（）（）ABPABP与与DPEDPE是否相似？请说明理由是否相似？请说明理由；（）设（）设x x=y=y，求，求y y与与x x之间的之间的函数关系式函数关系式,并指出自变量并指出自变量

21、x x的取值范围；的取值范围；（3 3）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，四边形运动的过程中，四边形ABEDABED能能否构成矩形？如果能，求出否构成矩形？如果能，求出APAP的长；如果不能，的长；如果不能，请说明理由；请说明理由；（4 4）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，运动的过程中，BPEBPE能否成为等腰三角能否成为等腰三角形？如果能，求出形？如果能，求出APAP的长，如果不能，请说明理由。的长，如果不能，请说明理由。C CA AB BD DP PE E2 25 5x xy y5-x5-x拓展提高拓展提高6.6.如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中中 ADBC

22、 ADBC，ABC=90ABC=90，AD=9AD=9，BC=12BC=12，AB=10AB=10，在线段，在线段BCBC上任取一上任取一P P，作射线，作射线PEPDPEPD，与线段，与线段ABAB交于点交于点E.E.（1 1）试确定）试确定CP=5CP=5时点时点E E的位置；的位置；（2 2）若设）若设CP=xCP=x，BE=yBE=y，试写出，试写出y y关关于自变量于自变量x x的函数关系式，并求出的函数关系式，并求出自变量自变量x x的取值范围的取值范围.提示提示：体会这个图形的：体会这个图形的“模型模型”作用，将会助你快速解题！作用，将会助你快速解题！BCADEPHCEPAD拓展

23、提高拓展提高7.7.如图，已知抛物线与如图，已知抛物线与x x轴交于轴交于A A、B B两点，与两点，与y y轴交于轴交于C C点点.（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）抛物线上有一点）抛物线上有一点P P，满足，满足PBC=90PBC=90，求点，求点P P的坐标；的坐标；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，问在）的条件下，问在y y轴轴上是否存在点上是否存在点E E，使得以，使得以A A、O O、E E为顶点的三角形与为顶点的三角形与PBCPBC相似？若相似？若存在，求出点存在，求出点E E的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由.ABPCOxy

24、X=423Q6拓展提高拓展提高例例4、如图、如图,已知已知ABC、DEF均为等边三角形均为等边三角形,点点D、E分别在分别在AB、BC上上.如图如图当当D、E分别在分别在AB、BC中点时中点时,图中有与图中有与DBE相似的三角形吗相似的三角形吗?请找出请找出,并选一个进行说明并选一个进行说明.如图如图当当D、E分别从分别从AB、BC中点向中点向A、C以相同以相同速度运动时速度运动时,图中有与图中有与DBE相似的三角形吗相似的三角形吗?请找请找出出,并选一个进行说明并选一个进行说明.如图如图当当D、E分别是分别是AB、BC上任意一点上任意一点,中的结中的结论是否仍然成立论是否仍然成立?如果成立如果成立,请你找出请你找出,并选一个进行并选一个进行说明说明.