概率论 第二章 随机变量及其分布.ppt

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1、 2.12.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 2.2 2.2 离散型随机变量及概率分布离散型随机变量及概率分布 2.3 2.3 连续型随机变量及概率分布连续型随机变量及概率分布 2.4 2.4 多维随机变多维随机变(向向)量其分布量其分布 2.5 2.5 随机变量的独立性随机变量的独立性 2.62.6 随机变量函数的分布随机变量函数的分布Random Variables Distribution function 例：例：已知已知 的分布函数为的分布函数为 ，设设 是某是某一随机变量的分布一随机变量的分布函数，求常数函数，求常数 。分析：分析：若若 是某一随机变量的分布函数，是某一

2、随机变量的分布函数，则分布函数的几条性质一定满足。则分布函数的几条性质一定满足。则由则由性质性质(4)同时右侧也取同时右侧也取 的极限，可得，的极限，可得，从而可得，从而可得，。一、一、离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义 二、二、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 三、三、几种常用分布几种常用分布 Discrete typeProbability Distribution Distribution law非负性非负性归一性归一性Geometric Distribution Two-point Distribution Binomial Distribution Poisso

3、n Distribution 一、连续型随机变量的概率分布一、连续型随机变量的概率分布 二、三种常用分布二、三种常用分布r.v of the Continuous type and Distribution Distribution density 例：例：设设 的的 为为 ，求常数求常数 ，以及相应的概率密度以及相应的概率密度 。解：解：由随机变量分布函数的性质（由随机变量分布函数的性质（4），可），可知，知，从而可得，从而可得，解得，解得，其概率密度为其概率密度为柯西分布柯西分布 Exponential Distribution Uniform Distribution 例：例：设设 ，求

4、方程，求方程 有实根的概率。有实根的概率。分析：分析：方程有实根的充要条件为方程有实根的充要条件为从而有，从而有，可解得，可解得，所以该方程有实根的概率为所以该方程有实根的概率为记为记为Normal Distribution Exponential Distribution Symmetry Standard Normal Distribution Unusual 练习练习1：由某机器生产的螺栓长度（单位：由某机器生产的螺栓长度（单位：cm），规定长度在范围，规定长度在范围10.05 0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。分析：分析：“螺栓为不合格

5、品螺栓为不合格品”即为即为 或或 ，由由 ，易求得其概率为易求得其概率为 练习练习2：从南郊某地乘车前往北区火车站搭火从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条：穿市区，路程较短，车有两条路线可走，第一条：穿市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从 分布；第二条：环城公路，路程较长，但意外阻塞分布；第二条：环城公路，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从较少，所需时间服从 分布。分布。（1）假如有）假如有70分钟可用，问应走哪一条路？分钟可用，问应走哪一条路？（2）假如有）假如有65分钟可用，问又应走哪一条路？分钟可用，问又应走

6、哪一条路？答案：答案：（1）应走第二条路，）应走第二条路，（2）应走第一条路。）应走第一条路。例：例：一工厂生产的某种元件的寿命（单位：小时）一工厂生产的某种元件的寿命（单位：小时），若要求，若要求 ，允许允许 最大为多少？最大为多少？解：解：由由 ，即可知，即可知即即 从而有从而有 ，可得可得 。练习：练习：某种电池的寿命（小时）某种电池的寿命（小时），其中其中 ，。（1）求电池寿命在）求电池寿命在250小时以上的概率。小时以上的概率。（2）求）求 ，使寿命在，使寿命在 与与 之之间的概率不小于间的概率不小于90%。答案答案：（1）（2）1、设设 的的 为为则则 的概率分布为的概率分布为 。

7、分析：分析：在在 的连续点，的连续点，只有在只有在 的间断点处的间断点处 取值的概率才大取值的概率才大于于0，且，且则有则有即即 2、设设 的概率密度为的概率密度为以以 表示对表示对 的三次独立重复观察中事件的三次独立重复观察中事件 出现的次数，则出现的次数，则 。分析：分析：由归一性，易知由归一性，易知 ，则，则由题意知，由题意知，则，则 3、设设 ，且，且 ，则，则 分析：分析：由由 ，可知，可知再由再由 ，可得可得 ，从而，从而，4、设设 ，若，若 ，则则 ，。分析：分析：由由 ，以及，以及 ，可得可得解得解得从而可知从而可知则则 5、设设 ，且，且 ，则，则分析：分析：由题设条件可知由

8、题设条件可知从而可得从而可得 ，则则 1、设设 ，记，记 ，则，则 。对任何实数对任何实数 都有都有 ；对任何实数对任何实数 都有都有 ；对任何实数对任何实数 都有都有 ；仅对仅对 的个别值有的个别值有 。分析：分析：2、设设 ，则随着，则随着 的增大，概率的增大，概率单调增加单调增加单调减少单调减少保持不变保持不变增减不定增减不定分析：分析：三、三、某种型号器件的寿命某种型号器件的寿命 （小时）具有以下（小时）具有以下概率密度概率密度现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取任取5只，问其中至少有只，问其中至少有2只寿命大于只寿命大于

9、1500小时的概率小时的概率是多少？是多少？分析：分析：每只器件寿命大于每只器件寿命大于1500的概率为的概率为以以 表示这表示这5件器件中寿命大于件器件中寿命大于1500小时的只数，小时的只数，则则从而所求概率即为从而所求概率即为 ，类似思考：类似思考：设顾客在某银行窗口等待服务的设顾客在某银行窗口等待服务的时间时间 （分钟）服从参数为（分钟）服从参数为5的指数分布，某顾的指数分布，某顾客在窗口等待服务，若超过客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。分钟，他就离开。他一个月要到银行他一个月要到银行5次，以次，以 表示一个月内他未表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出等到服务而离开

10、窗口的次数，写出 的分布律，的分布律，并求并求 。五、五、有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0002，在某天的这段时间内有，在某天的这段时间内有1000辆汽车通辆汽车通过，问出事故的次数不小于过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？的概率是多少？分析：分析：以以 表示通过的这表示通过的这1000辆车中出事故辆车中出事故的辆数，的辆数，即求即求而由于而由于 故可由泊松定理近似计算，直接查泊松分故可由泊松定理近似计算，直接查泊松分布表得其概率。布表得其概率。则则 六、六

11、、如果在时间如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量口的汽车数量 ，即服从参数与，即服从参数与t成正比的泊松分布。已知在一分钟内没有汽车通成正比的泊松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为过的概率为0.2，求在，求在2分钟内有多于一辆汽车通过分钟内有多于一辆汽车通过的概率。的概率。解：解：由已知，可得由已知，可得 的概率分布为的概率分布为当当 时，时，从而可得从而可得当当 时，时，思考：思考：一台设备由三个大部件构成，在设备运一台设备由三个大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2和和0.3，假设各部件的状态相互独立，以假设各部件的状态相互独立，以 表示同时需要调表示同时需要调整的部件数，试求整的部件数，试求 的概率分布。的概率分布。对比思考：对比思考：一台设备由三个大部件构成，在设一台设备由三个大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率均为备运转中各部件需要调整的概率均为0.2，假设各部，假设各部件的状态相互独立，以件的状态相互独立，以 表示同时需要调整的部件表示同时需要调整的部件数，试求数，试求 的概率分布。的概率分布。