线性代数 第三章 矩阵 第三节.ppt

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1、概念的引入概念的引入方阵可逆的充要条件方阵可逆的充要条件第三节第三节 逆矩阵逆矩阵逆矩阵的概念逆矩阵的概念可逆矩阵的运算性质可逆矩阵的运算性质在数的运算中在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的倒数，（或称（或称 的逆）的逆）；在矩阵的乘法运算中在矩阵的乘法运算中中的中的1那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，是否存在一个矩阵是否存在一个矩阵 ,一、概念的引入一、概念的引入单位矩阵单位矩阵E相当于数的运算相当于数的运算使得使得的一个的一个逆矩阵逆矩阵否则称否则称 A 是不可逆的是不可逆的(或奇异的或奇异的)。设设A 为为 n 阶方阵，若存在阶方阵，若存在 n 阶方阵阶方阵B,使

2、使 AB=BA=E，则称，则称A是是可逆的可逆的(或非奇异的或非奇异的)并称并称B为为A二、逆矩阵的概念二、逆矩阵的概念定义定义 例例 对于矩阵对于矩阵由于由于故故矩阵矩阵A 是可逆的，并且矩阵是可逆的，并且矩阵B 为矩阵为矩阵 A 的逆矩阵。的逆矩阵。同样地，也说矩阵同样地，也说矩阵B是可逆的，矩阵是可逆的，矩阵A为为B的逆矩阵。的逆矩阵。（2）逆矩阵是对方阵而言的逆矩阵是对方阵而言的（3）逆矩阵是相互的逆矩阵是相互的若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的

3、。说明说明（1）事实上事实上三、可逆矩阵的运算性质三、可逆矩阵的运算性质故由可逆的定义知：故由可逆的定义知：证明证明:因为因为A可逆，则有可逆，则有证明证明证明证明设设n阶方阵如下：阶方阵如下：四、矩阵可逆的充要条件四、矩阵可逆的充要条件1、伴随矩阵、伴随矩阵为为A的伴随矩阵。的伴随矩阵。定义定义 定理定理 矩阵可逆的充要条件是矩阵可逆的充要条件是 ，且当可，且当可逆时，有：逆时，有：证明证明若若 可逆，可逆，2、方阵可逆的充要条件、方阵可逆的充要条件由定义得由定义得证毕证毕定理定理证明证明解法一：解法一：设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则利用待利用待定系数定系数法法所以所以又又因为因为解法二：解法二：例例 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解同理可得同理可得故故例例 设设解解于是于是例例 设设A 为一个三阶方阵，为一个三阶方阵，为为 A 的的伴随矩阵，求伴随矩阵，求解解逆矩阵性质逆矩阵性质：A的逆矩阵唯一的逆矩阵唯一小小 结结判断矩阵判断矩阵 A 可逆方法可逆方法：求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法若若AB=E 或或 BA=E则则设设A、B都是都是 n 阶方阵，阶方阵，B可逆，且可逆，且证明证明：已知已知B可逆，所以可逆，所以证明证明 A、（、（A+B）可逆可逆故故A、（、（A+B）可逆可逆练练习习思思考考题题答答