线性代数 第三节 向量组的秩.ppt

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1、返回返回3 向量组的秩向量组的秩一、最大线性无关向量组一、最大线性无关向量组二、向量组秩二、向量组秩1返回返回 n 维向量组维向量组:假如假如这这说明说明B组可由组可由A组线性表示组线性表示.一、最大线性无关向量组一、最大线性无关向量组2返回返回 若若B中每个向量中每个向量都可由都可由A中的向量线性表示中的向量线性表示,则称则称B可由可由A线性表示线性表示.若若A与与B可互相线性表示可互相线性表示,则称则称A与与B 等价等价.註註:等价关系式等价关系式:(1).反身性反身性:A与与A等价等价.(2).对称性对称性:若若A与与B等价等价,则则B与与A等价等价.定义定义8.(3).传递性传递性:若

2、若A与与B 等价等价,B与与C等价等价,则则A与与C等价等价.3返回返回定义定义9.设向量组设向量组若若(1).向量组向量组A线性无关线性无关,且且 则称则称A为为T 的一个的一个最大无关组最大无关组.例例1.1.向量组向量组试求试求T的一个最大无关组的一个最大无关组,其中其中 4返回返回解解:5返回返回6返回返回注意注意:(1).一般来说一般来说,一个向量组一个向量组T 的最大无关的最大无关组不是唯一的组不是唯一的.(2).向量组向量组T的最大无关组的最大无关组A与与T本身等本身等价价.事实上事实上,若若为为T 的一个最大无关组，的一个最大无关组，按定义按定义9,T 可可由由A线性表示线性表

3、示.7返回返回 反之反之:因因A是是T的一部分的一部分,A当然可由当然可由A线性线性表示表示,即即例例2.全体全体n维向量所构成的向量组记为维向量所构成的向量组记为证明证明:均有均有8返回返回证明证明:(个数个数维数维数)证证毕毕.例例3.(由由定理二定理二)9返回返回定理五定理五.若若(1).A线性无关线性无关,且且(2).A可由可由B线性表示线性表示,证明证明:反证法反证法.若若 r s.(1)式的系数构成式的系数构成 r 个个 s 维向量维向量10返回返回即有不全为零的数即有不全为零的数(2)将将(2)式代入式代入(3)式式,得得11返回返回把把(1)式代入式代入(5)式式,整理得整理得

4、:12返回返回13返回返回矛盾矛盾!证证毕毕.推论推论1.证明证明:B 均线性无关均线性无关,A可由可由B线性表示线性表示,B可由可由A线性表示线性表示,证证毕毕.14返回返回 推论推论2.在同一个向量组中在同一个向量组中,它的任意两个它的任意两个最大无关组所包含向量的个数相同最大无关组所包含向量的个数相同.证明证明:设有向量组设有向量组T,(个数个数=r).(个数个数=s).证毕证毕.15返回返回注意注意:仅有仅有m个向量个向量.向量组向量组A线性无关线性无关A的最大无关组是的最大无关组是A本身本身A的秩的秩=mA线性相关线性相关A的秩的秩 A组向量的个数组向量的个数m.定义定义10.向量组

5、的最大无关组所含向量的向量组的最大无关组所含向量的个数个数 r 称为该向量组的称为该向量组的秩秩.二、向量组的秩二、向量组的秩16返回返回推论推论3.等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等.证明证明:A与与B等价等价,证证毕毕.17返回返回例如例如:A的秩的秩=2.B的秩的秩=2.注意注意:秩相等的向量组未必等价秩相等的向量组未必等价.18返回返回思考题思考题1.已知两向量组已知两向量组有相同的秩有相同的秩,且且证明：两向量组等价证明：两向量组等价已知某向量组的秩为已知某向量组的秩为r,证明任意证明任意r个线性无关的部份向量组都为个线性无关的部份向量组都为该向量组的一个最大线性无关组该向量组的一个最大线性无关组19