线性代数1-3章.ppt

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1、线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式1.n阶行列式的定义阶行列式的定义:D=det(aij)=t为为p1p2.pn的逆序数；的逆序数；t1为为q1q2.qn的逆序数的逆序数.2.行列式的性质：行列式的性质：1)DT=D;2)3)kD等于等于k乘乘D的某的某1行行(列列);4)若若D有有2行行(列列)成比例，则成比例，则D=0;5)可加性：可加性：6)3.行列式按行行列式按行(列列)展开法则：展开法则：D=ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin =a1jA1j+a2jA2j+.+anjAnj推论：推论：ai1Aj1+ai2Aj2+.+ainAjn=0(ij);a1iA1j+a2iA

2、2j+.+aniAnj=0(ij).4.克莱姆法则：克莱姆法则：系数行列式系数行列式 D=则方程组有唯一的一组解：则方程组有唯一的一组解：Dj=第第j列列j=1,2,.,nxj=Dj/D,设线性方程组设线性方程组A1jA2jAnj克莱姆法则推论：设齐次线性方程组克莱姆法则推论：设齐次线性方程组系数行列式系数行列式D=则方程组只有唯一的一组零解：则方程组只有唯一的一组零解：xj=0,j=1,2,.,n齐次线性方程组齐次线性方程组(1)只有零解充要条件为系数行列式只有零解充要条件为系数行列式D0.(1)例例1 求求3次多项式次多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,使使f(-1)=0,f

3、(1)=4,f(2)=3,f(3)=16解：解：D=2.3.1.4.2.1=480D2=0,D3=-240,D4=96,a0=336/48=7,a1=0,a2=-5,a3=2.f(x)=7-5x2+2x3Dn=x=yzP115/8(2)Dn=线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵矩阵 1 矩阵的定义矩阵的定义 定义：定义：mn个数排成的数表个数排成的数表称为矩阵。记作称为矩阵。记作 A=aijmnaij为为A的第的第i行第行第j列的元素。列的元素。几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵1)行矩阵：行矩阵：a1,a2,.,an2)列矩阵：列矩阵：3)零矩阵：零矩阵：4)n阶方阵：阶方阵：An=aijnn5)

4、对角阵：对角阵：6)单位阵：单位阵：2 矩阵的运算矩阵的运算一、加法一、加法设设A=aijmn,B=bijmn,则称则称A与与B为同型矩阵为同型矩阵.此时，若此时，若aijbij，i=1,2,.,m;j=1,2,.,n,则记为：则记为：A=B设设A=aijmn,B=bijmn,定义定义:A+B=aij+bijmn,如如1)交换律：交换律：A+B=B+A;2)结合律：结合律：(A+B)+C=A+(B+C)运算律运算律B的负矩阵的负矩阵:B=-bijmn定义定义:A-B=A+(-B)=aij-bijmn2 矩阵的运算矩阵的运算(续续1)二、数乘矩阵二、数乘矩阵kA=Ak=kaij，如，如运算律运算

5、律1)结合律结合律:(kl)A=k(lA)=l(kA)2)分配律分配律:(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB.例例1 设设且满足且满足3X+2A=5B,求矩阵求矩阵X.解：解：3X=5B-2A=2 矩阵的运算矩阵的运算(续续2)三、矩阵乘法三、矩阵乘法设设A=aijms,B=bijsn,定义：定义：AB=cijmncij=ai1b1j+ai2b2j+.+aisbsj（即（即cij等于等于A的第的第i行与行与B的第的第j列对应元素积之和）列对应元素积之和）例例2 计算下列乘法：计算下列乘法：1)2)3)4)=5一般，一般，ABBA2 矩阵的运算矩阵的运算(续续3)三、矩阵乘法三、矩

6、阵乘法运算律运算律1.结合律结合律:(AB)C=A(BC);2.分配律：分配律：(A+B)C=AC+BC;A(B+C)=AB+AC;3.k(AB)=(kA)B=A(kB)(k为数为数)；4.EmAmn=Amn,AmnEn=Amn;如如5.OsmAmn=Osn,AmnOns=Oms.例例3 设设求求AB,AC.解：解：由由ABAC，且，且A0推不出推不出B=C;由由AB，推不出，推不出A=0，或，或B=0.2 矩阵的运算矩阵的运算(续续4)三、矩阵乘法三、矩阵乘法 方阵的幂方阵的幂设设A为为n阶方阵，阶方阵，k,l为非负整数，则定义为非负整数，则定义:A0=En,A1=A,A2=AA,A3=A2

7、A,.,Ak+1=AkA,运算律运算律1)AkAl=Ak+l;2)(Ak)l=Akl;2 矩阵的运算矩阵的运算(续续5)三、矩阵乘法三、矩阵乘法 方阵的幂方阵的幂例例求求An,解：解：猜想：猜想：假设假设nk时成立，则时成立，则n=k+1时，时，也成立也成立.所以对一切自然数所以对一切自然数n成立成立.2 矩阵的运算矩阵的运算(续续6)三、矩阵乘法三、矩阵乘法 方阵的幂方阵的幂例例 设设A=PQ,求求QP,A2n,A2n+1其中其中解：解：A2n=(PQ)(PQ).(PQ)=P 2nQ=PEQ=A2n+1=A2nA=A=方阵的多项式方阵的多项式设设f(x)=a0+a1x+a2x2+.+akxk

8、,A为方阵，则称为方阵，则称f(A)=a0E+a1A+a2A2+.+akAk,为方阵为方阵A的的k次多项式次多项式2 矩阵的运算矩阵的运算(续续7)四、矩阵的转置四、矩阵的转置用用Aaijmn的第的第i行行(列列)作矩阵的第作矩阵的第i列列(行行)，i=1,2,.m.所得矩阵称为所得矩阵称为A的的转置转置矩阵矩阵,记作记作AT如如运算律运算律1)(AT)T=A;2)(A+B)T=AT+BT;3)(kA)T=kAT;4)(AB)T=BTAT.证：设证：设A=aijms,B=bijsn,则则 (AB)T=cijnm，BTAT=dijnmcij为为AB的第的第j行行i列元素，为列元素，为A的第的第j

9、行与行与B的第的第i列对应元素积之和；列对应元素积之和；dij为为BTAT的第的第i行行j列元素，为列元素，为BT的第的第i行与行与AT的第的第j列对应元素积之和；列对应元素积之和；即即dij是是B的第的第i列与列与A的第的第j行对应元素积之和行对应元素积之和 cij dij，(AB)T=BTAT.2 矩阵的运算矩阵的运算(续续8)四、矩阵的转置四、矩阵的转置 对称矩阵对称矩阵若若AT=A，则称则称矩阵矩阵A为为对称矩阵对称矩阵如如若若AT=-A，则称则称矩阵矩阵A为反为反对称矩阵对称矩阵.如如aij=ajiaij=-aji例例6 设设X=,H=E-2XXT,试证：试证：H为对称矩阵为对称矩阵

10、.证证:HT=(E-2XXT)TH为对称矩阵为对称矩阵.（对称矩阵与反对称矩阵必为方阵）（对称矩阵与反对称矩阵必为方阵）=E-2XXT=H=E-2(XT)TXT=E-2(XXT)T=ET+(-2XXT)T2 矩阵的运算矩阵的运算(续续9)五、方阵的行列式五、方阵的行列式设设A为为n阶方阵阶方阵:称称detA=|A|为方阵为方阵A的行列式的行列式.|A|0时，称时，称A为为非奇异矩阵非奇异矩阵;|A|=0时，称时，称A为奇异矩阵为奇异矩阵.1)|AT|=|A|;性质：性质：2)|kA|=kn|A|(A为为n阶方阵阶方阵);3)|AB|=|A|B|(A,B为同阶方阵为同阶方阵).2 矩阵的运算矩阵

11、的运算(续续10)五、方阵的行列式五、方阵的行列式 伴随矩阵伴随矩阵设设A为为n阶方阵阶方阵:称称为为A的的伴随矩阵伴随矩阵.其中其中Aij为为A中元素中元素aij的代数余子式的代数余子式.注意：注意：A*的第的第i行行(列列)是是A 的第i列列(行行)元素的代数余子式元素的代数余子式.定理定理1 AA*=A*A=|A|E=线性方程组线性方程组(1)可表为可表为:AX=b (2)其中：其中：A=（系数矩阵）（系数矩阵）X=b=(AX=2 矩阵的运算矩阵的运算(续续11),显然显然(1),(2)等价等价)3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、初等行（列）变换一、初等行（列）变换A经有限次初等变换化

12、为经有限次初等变换化为B,称称A与与B等价等价,记作记作AB.性质：性质：反身性：反身性：AA;对称性：若对称性：若AB,则则BA;传递性：若传递性：若AB,BC，则，则AC.定理定理2 A=aijmn B.第第r行行第第r列列B=mn0rmin(m,n),称称B为为A的等价标准型的等价标准型.3 矩阵的初等变换（续矩阵的初等变换（续1）二、初等矩阵二、初等矩阵初等矩阵初等矩阵单位阵施行单位阵施行1次初等变换所得矩阵次初等变换所得矩阵.1）Eri rjijij(ci cj)=Ei,j2）Erik(cik)=Ei(k)3）Eri+krj(cj+kci)=Ei,j(k)iiiijj(k0)初等矩阵

13、均为初等矩阵均为 非奇异矩阵非奇异矩阵.3 矩阵的初等变换（续矩阵的初等变换（续2）二、初等矩阵二、初等矩阵定理定理3 用用1个个m（n）阶初等矩阵左（右）乘）阶初等矩阵左（右）乘Amn，相当于对相当于对Amn施行施行1次相应的初等行（列）变换次相应的初等行（列）变换.推论推论1：与（非）奇异矩阵等价的仍为（非）奇异矩阵：与（非）奇异矩阵等价的仍为（非）奇异矩阵.证证:设设A为为非奇异矩阵非奇异矩阵,AB,则有则有B=P1P2.PkAPk+1.PlP1,P2,.,Pl均为均为初等矩阵，初等矩阵，均为均为非奇异矩阵非奇异矩阵.推论推论2：非奇异矩阵必与单位阵等价：非奇异矩阵必与单位阵等价.|B|

14、=|P1|P2|.|Pk|A|Pk+1|.|Pl|0.B亦为亦为非奇异矩阵非奇异矩阵证证:设设A为为n 阶非奇异矩阵：非奇异矩阵：|A|0,B为为A的等价标准型，的等价标准型，|B|0，只有，只有 B=En,即即AEn.4 逆矩阵逆矩阵 定义：若定义：若A,B 为为n阶方阵，满足：阶方阵，满足：AB=BA=E,则称则称A可逆可逆,B为为 A的逆矩阵的逆矩阵.逆矩阵的唯一性：逆矩阵的唯一性：设设B、C均为均为 A的逆矩阵，则的逆矩阵，则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.记作记作:A-1=B(B-1=A).定理定理4 n阶方阵阶方阵A可逆可逆的充要条件为的充要条件为:|A|0.证证:必要

15、性必要性.设设A可逆，则可逆，则|AB|=|E|=1，|A|.|B|=1,|A|0.充分性充分性.|A|0，又由定理，又由定理1，A*A=AA*=|A|E,得得 A可逆可逆.且且推论推论1：若：若n阶方阵阶方阵A,B满足：满足：AB=E，则，则A-1=B，B-1=A.证证:|A|.|B|=|AB|=|E|=1,|A|0,A可逆可逆.B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.|A-1|=1/|A|;推论推论2：4 逆矩阵（续逆矩阵（续1）推论推论3：初等矩阵均可逆：初等矩阵均可逆.Ei,j-1=Ei,j；Ei(k)-1=Ei(1/k)；Ei,j(k)-1=Ei,j(-k).ij

16、ijEi,j=Ei(k)=ii(k0)Ei,j(k)=iijj且其逆矩阵亦为初等矩阵且其逆矩阵亦为初等矩阵.定理定理5 任何可逆阵均可表为任何可逆阵均可表为初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积.证：设证：设A可逆可逆,则则A与与E等价，等价，EA,存在存在初等矩阵初等矩阵Pi(i=1,2,.,l),使使P1P2.PkEPk+1.Pl=A.故得证故得证.4 逆矩阵（续逆矩阵（续2）运算律运算律设设A,B,C均可逆，则均可逆，则1)(A-1)-1=A;2)(kA)-1=1/kA-1(k0);3)(AT)-1=(A-1)T;4)(AB)-1=B-1A-1;(ABC)-1=C-1B-1A-1.求逆矩阵方法：求

17、逆矩阵方法：1)观察法：若观察法：若AB=E，则A-1=B(B-1=A).2)伴随阵法：伴随阵法：3)初等变换法初等变换法:A|E E|A-1(行行变换变换)；A|B E|A-1B(行行变换变换);证证:A=P1P2.Pk,A-1E,又又E=A-1A=P-1k.P-11AB=P-1k.P-11B4 分块矩阵分块矩阵A11A12A21A22Aij_子块子块分块矩阵的运算分块矩阵的运算(1)加法：加法：Amn,Bmn采取相同分块采取相同分块(2)数乘矩阵：数乘矩阵：则则4 分块矩阵分块矩阵(续续1)(3)乘法：乘法：Aml的列划分与的列划分与Bln的行划分一致，设的行划分一致，设k1列列 k2列列

18、kr列列k1行行k2行行kr行行则则其中其中Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+.+AirBrjAi1 Ai2 .AirB1jB2jBrj4 分块矩阵分块矩阵(续续2)例例1 求求AB,其中其中A1A2B1B2A1B1=A2B2=AB=4 分块矩阵分块矩阵(续续)(4)分块对角矩阵分块对角矩阵:A=(Ai为为ni阶方阵阶方阵)性质：性质：1）设）设Ai,Bi均为均为ni阶方阵阶方阵,则则2）|A|=|A1|.|A2|.|As|3）A可逆的充要条件可逆的充要条件为：为：|Ai|0（i=1,2,.s)且且4 分块矩阵分块矩阵(续续4)例例2 求求A的逆矩阵的逆矩阵.A1A2例例3 设设A,B均为可

19、逆方阵均为可逆方阵,则则解：解：(5)分块矩阵的转置：分块矩阵的转置：TTTT第三章第三章 线性方程组线性方程组 1 矩阵消元法矩阵消元法例例1 解方程：解方程：解：增广矩阵解：增广矩阵 B=A|b=第三章第三章 线性方程组线性方程组 1 矩阵消元法矩阵消元法(续续1)令令x3=c，得方，得方程的通解为程的通解为:c为任意常数为任意常数.阶梯阵阶梯阵U(首元所首元所在列依在列依行递增行递增)首元首元行最简型行最简型第三章第三章 线性方程组线性方程组 1 矩阵消元法矩阵消元法(续续2)例例2 考察方程：考察方程：解解:B=A|b=方程无解方程无解.行变换行变换行变换行变换第三章第三章 线性方程组

20、线性方程组 2 矩阵的秩矩阵的秩定义定义1 矩阵矩阵Amn中，任取中，任取k行行k列列(km，kn)，位于这些行、列交叉处元素构成一个位于这些行、列交叉处元素构成一个k阶行列式，阶行列式，称为称为A的的k阶子式阶子式.如如有有2阶子式：阶子式：.Amn中共有中共有CmkCnk个个k阶子式阶子式.中，有一个中，有一个3阶子式阶子式|A|,第三章第三章 线性方程组线性方程组 2 矩阵的秩矩阵的秩(续续1)定义定义2 若矩阵若矩阵A中中有一个有一个r阶子式阶子式Dr0,且所有的且所有的r+1阶阶子式子式(若有若有)全为零，则称全为零，则称A的秩的秩R(A)=r.规定规定R(O)=0.如如R(A)=2

21、若若|An|0,则则R(A)=n,称称A为满秩阵为满秩阵.第三章第三章 线性方程组线性方程组 2 矩阵的秩矩阵的秩(续续2)矩阵秩的性质：矩阵秩的性质：1.R(AT)=R(A);2.R(Amn)min(m,n);4.阶梯阵的秩阶梯阵的秩3.若若R(A)=r,kr,则则Dk=0.(即矩阵的秩为矩阵的最高阶非零子式的阶数即矩阵的秩为矩阵的最高阶非零子式的阶数)定理定理1 设设AB,则则R(A)=R(B)(等价必等秩等价必等秩).等于其首元的个数；等于其首元的个数；（首元对应的子式为最高阶非零子式）（首元对应的子式为最高阶非零子式）第三章第三章 线性方程组线性方程组 2 矩阵的秩矩阵的秩(续续3)例

22、例1.求求A的秩，并求的秩，并求A的一个最高阶非零子的一个最高阶非零子式式.其中其中解：解：A第三章第三章 线性方程组线性方程组 2 矩阵的秩矩阵的秩(续续4)例例1.求求A的秩，的秩，并求并求A的一的一个最高阶非个最高阶非零子式零子式.其中其中(B的首元在的首元在1,2,4列，则列，则A的的1,2,4列中必有非零子式）列中必有非零子式）=B=2(34-50)0 A的一个最高阶非零子式为的一个最高阶非零子式为R(A)=R(B)=3.第三章第三章 线性方程组线性方程组 2 矩阵的秩矩阵的秩(续续5)例例2.设线性方程组设线性方程组AX=b,增广阵增广阵B.试证：试证：R(A)R(B)R(A)+1

23、证：设证：设R(A)=r,则则A中所有中所有r+1子式全为零，子式全为零，且存在且存在r阶子式阶子式Dr0,Dr亦为亦为B的非零子式，的非零子式，R(B)r.又考察又考察B中任意中任意r+2阶子式阶子式Dr+2，它的，它的r+2列中，必有列中，必有r+1列在列在A中，剩余的一列中，剩余的一列各元素的代数余子式均为各元素的代数余子式均为A中中r+1阶子式阶子式（全为零），易见（全为零），易见Dr+2=0.R(B)r+1.R(A)R(B)R(A)+1第三章第三章 线性方程组线性方程组 2 矩阵的秩矩阵的秩(续续6)定理定理2 设设R(A)=r,则存在可逆阵则存在可逆阵P和和Q,使使 PAQ=又存在

24、初等阵又存在初等阵Pi(i=1,2,.,k)，使，使P1.PlAPl+1.Pk=B,易知易知 P=P1.Pl和和Q=Pl+1.Pk 均可逆，故得证。均可逆，故得证。证：设证：设A的等价标准型为的等价标准型为B，AB,R(B)=r，B=第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况定理定理3 n元线性方程组元线性方程组AX=b 有解的充要条件为有解的充要条件为R(A)=R(B).(无解的充要条件为无解的充要条件为R(A)R(B)有唯一解的充要条件为有唯一解的充要条件为R(A)=R(B)=n;有无穷多组解的充要条件为有无穷多组解的充要条件为R(A)=R(B)n.定理定

25、理4 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组AX=0 有非零解的充要条件为有非零解的充要条件为R(A)n (只有零解的充要条件为只有零解的充要条件为R(A)=n).第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况(续续1)例例3.问齐次线性方程组问齐次线性方程组:有无非零解？求出全部解有无非零解？求出全部解.解：解：R(A)45,有非零解有非零解第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况(续续2)令令得通解：得通解：第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况(续续3)例例4.问方程组问方程组是否有解？是

26、否有解？解：解：A|b=R(A)=2,R(B)=3,R(A)R(B)方程无解方程无解.第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况(续续4)例例5.解解线性方程组线性方程组解：解：A|b=R(A)=R(B)=24,方程有无数多组解方程有无数多组解.=U第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况(续续5)U=令令得通解：得通解：第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况(续续6)例例6.a为何值时，线性方程组为何值时，线性方程组有唯一解？无解？无穷多组解？有唯一解？无解？无穷多组解？解解1：A|b

27、=-2a-a2第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况(续续7)a=-3时，时，R(A)=R(B)=23,方程有无数多组解方程有无数多组解.当当a0且且a-3时时,R(A)=R(B)=3,方程有唯一解；方程有唯一解；当当a=0时时,R(A)=1,R(B)=2,方程无解；方程无解；-a2-2a+3=-(a-1)(a+3)第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况(续续8)例例6.a为何值时，线性方程组为何值时，线性方程组有唯一解？无解？无穷多组解？有唯一解？无解？无穷多组解？D=当当a0且且a-3时时,D 0,R(A)=R(B

28、)=3,方程有唯一解；方程有唯一解；当当a=0时时,A|b=解解2：R(A)=1,R(B)=2,方程无解；方程无解；第三章第三章 线性方程组线性方程组 3 线性方程组解的情况线性方程组解的情况(续续8)例例6.a为何值时，线性方程组为何值时，线性方程组有唯一解？无解？无穷多组解？有唯一解？无解？无穷多组解？R(A)=R(B)=23,方程有无数多组解方程有无数多组解.a=-3时时,A|b=第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性定义定义1：n个有顺序的数构成的有序数组个有顺序的数构成的有序数组(a1,a2,.,an)或或称为称为n维向量维向量.分别记作分

29、别记作=(a1,a2,.,an)（行向量）；（行向量）；（列向量）（列向量）.aj称为向量的第称为向量的第j个分量或坐标个分量或坐标.n维向量是几何向量的推广维向量是几何向量的推广.零向量：零向量：n维单位坐标向量：维单位坐标向量：.0=第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续维向量及其线性相关性（续1）1)(a1,a2,.,an)+(b1,b2,.,bn)=(a1+b1,a2+b2,.,an+bn)定义定义n维向量的线性运算同矩阵一致：维向量的线性运算同矩阵一致：2)k(a1,a2,.,an)=(ka1,ka2,.,kan)（列向量类似）（列向量类似）.如设如设则则

30、第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续维向量及其线性相关性（续2）将线性方程组将线性方程组 AX=b 的系数阵的系数阵A按列分块：按列分块：又又X=则则等价于等价于：定义定义2：设有：设有n维向量组维向量组A:k1,k2,.,km，称向量，称向量A的一个的一个线性组合线性组合.可由向量组可由向量组A线性表示线性表示.对任意一组数对任意一组数方程方程AX=b 有解的充要条件为b可由A的列向量组线性表示.也称向量也称向量为向量组为向量组任意任意n维向量可由单位坐标维向量可由单位坐标向量向量线性表示线性表示.第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（

31、续维向量及其线性相关性（续3）若若B中每个向量均可由中每个向量均可由A线性表示，则称线性表示，则称B可由可由A线性表示；线性表示；定义定义3：设有：设有n维向量组维向量组A:定理定理5 设设AB，则，则A的行向量组与的的行向量组与的B行向量组等价行向量组等价.性质：性质：1）A与与A等价；等价；及及n维向量组维向量组B:2）若）若 A与与B等价等价,则则B与与A等价；等价；3）若）若 A与与B等价等价,B与与C等价等价,则则A与与C等价等价.行行设设AB，则，则A的列向量组与的列向量组与B的列向量组等价的列向量组等价.列列若若B可由可由A线性表示，且线性表示，且A亦可由亦可由B线性表示，则称线

32、性表示，则称向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价.第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续维向量及其线性相关性（续4）定义定义4：若对：若对n维向量组维向量组A:存在不全为零的系数存在不全为零的系数k1,k2,.,km,使得使得则称则称向量组向量组A线性相关线性相关.（*）若若(*)成立时，成立时，ki必全为零必全为零,则称则称向量组向量组A线性无关线性无关.一个零向量一个零向量线性相关，线性相关，一个非零向量一个非零向量线性无关线性无关.线性相关线性相关.线性相关线性相关.如如第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续维向量及其线性相关性

33、（续5）证证:不妨不妨A中中1,2,s(sm)线性相关线性相关,性质：设向量组性质：设向量组A:1,2,m中有部分向量中有部分向量则有则有ki不全为不全为0,使使特别，特别，若若A中有零向量，则中有零向量，则A线性相关线性相关.线性相关，则线性相关，则向量组向量组A线性相关线性相关.系数不全为零，系数不全为零，向量组向量组A线性相关线性相关.第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续维向量及其线性相关性（续6）定理定理6 向量组向量组A:充要条件为：充要条件为：A中至少有一个向量可由其余中至少有一个向量可由其余m-1个向量个向量 k1,k2,.,km,其中其中ki0,使

34、使系数系数li=-10,向量组向量组A线性相关线性相关.充分性充分性.设设A中有向量可由其余向量中有向量可由其余向量线性表示：线性表示：(m2)线性相关的线性相关的线性表示线性表示.证：必要性证：必要性.设设向量组向量组A线性相关，则有线性相关，则有不全为零的系数不全为零的系数则则则则第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续维向量及其线性相关性（续7）定理定理7 向量组向量组A:1,2,m线性相关的线性相关的充要条件为：充要条件为：(k1,k2,.,km不全为零不全为零)证：证：向量组向量组A线性相关线性相关方程组方程组矩阵矩阵1,2,m的秩的秩rn,则则m个个n维维

35、向量必向量必线性相关线性相关.其秩其秩R 1 2.m n m证：将这证：将这m个个n维维向量构成矩阵向量构成矩阵：1 2.mnm 1,2,.,m线性相关线性相关.推论推论3.若若1,2,.,m线性无关，而线性无关，而1,2,.,m,b线性相线性相关关,则则b可由可由向量组向量组1,2,.,m线性表示，且表法唯一线性表示，且表法唯一.证：设证：设b=x1 1+x2 2+xm m,则有则有,R(B)=mR(A)=mR(B)m+1方程组方程组AX=b有解，且解唯一有解，且解唯一.证毕证毕.设设A=1 2.m,B=1 2.m b第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续维向量及

36、其线性相关性（续12）推论推论4.若矩阵若矩阵A 中有一个中有一个r阶子式阶子式Dr0,则则 Dr 所在的所在的r个行个行(列列)向量向量线性无关线性无关.证：证：Dr 所在的所在的r列列构成矩阵构成矩阵:B=b1 b2.br.Dr为为B的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.R(B)=r,b1,b2,.,br线性无关线性无关.第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续维向量及其线性相关性（续13）例例3 已知已知 1,2,3线性无关，又线性无关，又证明：证明：1,2,3 亦线性无关亦线性无关.证证1：设：设 x1 1+x2 2+x3 3=0,即即因为因为 1,2,3

37、线性无关，线性无关，(1)系数行列式系数行列式|A|=R(A)=3,方程方程(1)只有零解，只有零解，1,2,3线性无关线性无关.第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续维向量及其线性相关性（续14）例例3 已知已知 1,2,3线性无关，又线性无关，又证明：证明：1,2,3 亦线性无关亦线性无关.证证2：1,2,3=1+2,2+3,3+1R1,2,3=R 1,2,3=3,1,2,3线性无关线性无关.第三章第三章 线性方程组线性方程组 5 向量组的秩向量组的秩定义定义 设设向量组向量组A的部分向量组的部分向量组A0：1,2,r 满足：满足：1）A0线性无关；线性无关；2

38、）A中任意中任意r+1个个向量向量(若有若有)必必线性相关线性相关.称称向量组向量组A的秩为的秩为r,记作：记作：rA=r.如如A:则称则称A0为为A的一个最大（线性）无关组的一个最大（线性）无关组.中，中，1，2线性无关线性无关,而而1，2，3线性相关，线性相关，1，2为为A的一个最大无关的一个最大无关组，组，rA=2.又如又如n维单位坐标向量组维单位坐标向量组 1,2,n 线性无关，线性无关，其最大无关组就是它自己其最大无关组就是它自己.其秩为其秩为n.第三章第三章 线性方程组线性方程组 5 向量组的秩向量组的秩(续续1)定理定理8 矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩矩阵的秩等于其行（列）向

39、量组的秩.证：设证：设R(A)=r,则则A中有中有r阶子式阶子式 Dr0.Dr 所在的所在的r列列线性无线性无关关.考察考察A中中任意任意r+1列列，其构成矩阵设为，其构成矩阵设为B，B 中任中任r+1 阶阶子式子式Dr+1 亦为亦为A的子式，故全为零的子式，故全为零.R(B)r+1,所以此所以此r+1列列线性相关线性相关.A的列向量组的秩为的列向量组的秩为r.又又R(AT)=r，AT的列向量组的秩为的列向量组的秩为r，即，即A的行向量组的秩为的行向量组的秩为r.证毕证毕.A的最大无关组与的最大无关组与A等价等价.设设A0：为为A的最大无关组的最大无关组.则对则对A中任意向量中任意向量线性相关

40、，线性相关，可由可由A0线性表示线性表示.由定理由定理7的推论的推论3,易知易知第三章第三章 线性方程组线性方程组 5 向量组的秩向量组的秩(续续2)例例1 求下列求下列向量组向量组A的一个最大无关组，并将其余向量的一个最大无关组，并将其余向量表为最大无关组的线性组合表为最大无关组的线性组合.A:线性无关线性无关,解：解：为为A的一个最大无关组的一个最大无关组.设设=U.=R(U)=2.即即U得：得：A B,则则A的列之间的关系不变的列之间的关系不变.行变换行变换第三章第三章 线性方程组线性方程组 5 向量组的秩向量组的秩(续续3)例例2 求求A的的列列向量组的秩与一个向量组的秩与一个最大无关

41、组最大无关组A0，并将其余列向量并将其余列向量表为表为A0的线性组合的线性组合.1,2,4线性无关线性无关,解：解：秩为秩为3，=U为一个最大无关组为一个最大无关组.第三章第三章 线性方程组线性方程组 5 向量组的秩向量组的秩(续续4)U=首元所在列均化为单位坐标向量首元所在列均化为单位坐标向量.为行最简形为行最简形.第三章第三章 线性方程组线性方程组 5 向量组的秩向量组的秩(续续5)定理定理9 设设向量组向量组A可由向量组可由向量组B线性表示，则线性表示，则rArB.证：设向量组证：设向量组A与与B的最大无关组分别为：的最大无关组分别为：与与A0线性无关矛盾线性无关矛盾.rs.A0：记为：

42、记为：A=BK于是齐次方程于是齐次方程BKX=0,即即AX=0有非零解有非零解.因为因为R(K)sr,所以齐次方程所以齐次方程KX=0有非零解有非零解.得得R(A)s,由题意可知：由题意可知：A0可由可由B0线性表示线性表示:推论推论1.等价等价向量组向量组秩相等秩相等.第三章第三章 线性方程组线性方程组 5 向量组的秩向量组的秩(续续6)推论推论2.设设向量组向量组A的部分向量组的部分向量组A0：1,2,r满足：满足：1）A0线性无关；线性无关；2）A可由可由A0线性表示线性表示.证：只须证证：只须证A中任意中任意r+1个向量线性相关个向量线性相关.则则A0为为A的一个最大无关组的一个最大无

43、关组.r1rr+1,由定理由定理7，这，这r+1个向量个向量线性相关，证毕线性相关，证毕.因为因为A中任意中任意r+1个向量均可由个向量均可由A0线性表示，所以其秩线性表示，所以其秩r1A0的秩的秩r，（最大无关组的等价定义（最大无关组的等价定义.）第三章第三章 线性方程组线性方程组 5 向量组的秩向量组的秩(续续8)矩阵秩的性质：矩阵秩的性质：(1)R(AB)minR(A),R(B);证证:设设A=1 2.s,B=bijsn,AB=c1 c1 =1 2.scj=b1j 1+b2j 2+.+bsj sb1jb2j .bsjR(AB)R(A).即即AB的列可由的列可由A的列线性表示的列线性表示.

44、又又R(AB)=R(BTAT)R(BT)=R(B).R(AB)minR(A),R(B).第三章第三章 线性方程组线性方程组 5 向量组的秩向量组的秩(续续9)A+B的列可由的列可由A与与B的列的合并向量组的列的合并向量组线性表示，显然亦线性表示，显然亦可由可由A0与与B0的合并向量组的合并向量组A0B0线性表示线性表示.矩阵秩的性质：矩阵秩的性质：则则A+B=1+1 2+2.s+s又设又设A,B的列向量组的最大无关组分别为：的列向量组的最大无关组分别为：(2)R(A+B)R(A)+R(B);(3)RA|B R(A)+R(B).证证:设设A=1 2.s,B=1 2.sR(A+B)A0B0的秩的秩

45、r+k=R(A)+R(B)类似可证类似可证:第三章第三章 线性方程组线性方程组 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构定理定理10 设设X1,X2均为齐次线性方程组均为齐次线性方程组AX=0的解，则的解，则k1X1+k2X2也是也是AX=0的解（的解（k1,k2为任意常数）为任意常数）.定义：设定义：设齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0的解向量的解向量 1,2,p则称则称1,2,p为为AX=0的一个的一个基础解系基础解系.1)1,2,p线性无关线性无关;2)AX=0的任一解均可由的任一解均可由1,2,p线性表示线性表示.满足：满足：第三章第三章 线性方程组线性方程组 6 线性方程组解的结构

46、线性方程组解的结构(续续1)证证:AX=0有有n-r个自由未知量，个自由未知量，不妨设为不妨设为xr+1,xr+2,.,xn.定理定理11 设设R(Amn)=rn,则则AX=0有基础解系：有基础解系：1,2,n-r.令令依次取依次取第三章第三章 线性方程组线性方程组 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构(续续1)对应解向量：对应解向量：线性无关线性无关.第三章第三章 线性方程组线性方程组 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构(续续1)且对且对AX=0任一解任一解:X=1,2,n-r 为为AX=0的基础解系的基础解系.第三章第三章 线性方程组线性方程组 6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构(续续2)定理定理12 设设 1,2均为非齐次线性方程组均为非齐次线性方程组AX=b的解，则的解，则 1-2是是AX=0的解的解.定理定理13 若若n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组AX=b有解，则通解为：有解，则通解为：其中，其中，*为为AX=b的一个特解，的一个特解，r=R(A),1,2,n-r为为AX=0的基础解系的基础解系.证：设证：设为为AX=b的任一解，的任一解，*为为AX=b的一个特解的一个特解.则则-*为为AX=0的解，可表为基础解系的线性组合：的解，可表为基础解系的线性组合：