流体力学 第1章 流体力学的控制方程组.ppt

《流体力学 第1章 流体力学的控制方程组.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《流体力学 第1章 流体力学的控制方程组.ppt（156页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第1章章 流体力学的控制方程组流体力学的控制方程组1 引言引言流体力学的三种研究方法流体力学的三种研究方法2 流体力学的控制方程组流体力学的控制方程组2.1 基本物理学原理基本物理学原理基本物理学原理基本物理学原理流体力学基本控制方程流体力学基本控制方程连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律动量方程动量方程牛顿第二定律牛顿第二定律能量方程能量方程能量守恒定律能量守恒定律2.2 流动模型流动模型流动模型流动模型1）有限控制体模型）有限控制体模型对于有连续性的流体，有下面两种模型：对于有连续性的流体，有下面两种模型：2）无穷小流体微团）无穷小流体微团我们不是同时观察整个流场，而是将物理学基

2、本原我们不是同时观察整个流场，而是将物理学基本原理用在这些流动模型上，从而得到流体流动方程。理用在这些流动模型上，从而得到流体流动方程。流动模型流动模型有限控制体模型有限控制体模型空间位置固定的空间位置固定的有限控制体，流有限控制体，流体流过控制体体流过控制体随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始体，同一批流体质点始终位于同一控制体内终位于同一控制体内流动模型流动模型无穷小流体微团模型无穷小流体微团模型空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小流体微团，流体流小流体微团，流体流过微团过微团沿流线运动的无穷小流沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等于流体微团，其速度等于流线上每一

3、点的当地速度线上每一点的当地速度2.3 2.3 物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）流动控制方程经常用物质导数来表达。流动控制方程经常用物质导数来表达。物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）沿流线运动的无穷小流沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等于流体微团，其速度等于流线上每一点的当地速度线上每一点的当地速度采用流体微团模型来理解物质导数的概念：采用流体微团模型来理解物质导数的概念：物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）

4、流体微团在流场中的运动物质导数的示意图流体微团在流场中的运动物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图考虑非定常流动：考虑非定常流动：物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图考虑非定常流动：考虑非定常流动：物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图在在1点做如下的

5、泰勒级数展开：点做如下的泰勒级数展开：物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图这里这里D/Dt代表流体微团通过代表流体微团通过1点时，流体微团密度变化的点时，流体微团密度变化的瞬时时间变化率。我们把瞬时时间变化率。我们把D/Dt定义为密度的物质导数。定义为密度的物质导数。物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）

6、流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图注意注意D/Dt是给定的流体微团在空间运动时，其密度的时是给定的流体微团在空间运动时，其密度的时间变化率。我们必须跟踪运动的流体微团，注意它通过点间变化率。我们必须跟踪运动的流体微团，注意它通过点1时密度的变化。时密度的变化。物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图物质导数物质导数D/Dt与偏导数与偏导数 /t不同不同，/t是在固定点是在固定点1时时观察密度变化的时间变化率，该变化由流场瞬间的起伏所引观察密度变化

7、的时间变化率，该变化由流场瞬间的起伏所引起。起。物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）向量算子向量算子物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）D/Dt是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的时间变化率；时间变化率；流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）/t叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间

8、变化率；叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性而引起的时间中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性而引起的时间变化率。变化率。流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数可用于任何流场变量，比如物质

9、导数可用于任何流场变量，比如Dp/Dt、DT/Dt等等流体微团在流场中的流体微团在流场中的运动物质导数的示运动物质导数的示意图意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）人进入山洞，洞内温度比洞外温度低，正经过洞口人进入山洞，洞内温度比洞外温度低，正经过洞口向里进时，同时被雪球击中。向里进时，同时被雪球击中。洞内温度比洞外温度低所引起的温降洞内温度比洞外温度低所引起的温降迁移导数迁移导数物质导数物质导数当地导数当地导数迁移导数迁移导数被雪球击中所引起的温降被雪球击中所引起的温降当地导数当地导数总的温降总的温降物质导数物质导数物质导数（运动流体微团的时间变化率）物

10、质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数物质导数全微分：全微分：对时间的全导数：对时间的全导数：物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数物质导数物质导数在本质上与对时间的全导数相同。物质导数在本质上与对时间的全导数相同。对时间的全导数：对时间的全导数：2.4 速度散度及其物理意义速度散度及其物理意义速度散度速度散度 这一表达式也经常出现在流这一表达式也经常出现在流体动力学方程中。体动力学方程中。随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始体，同一批流体质点始终位于同一控制体内终位于同一控制体内速度散度及其物理意义速度散度及其物理意义考虑

11、如图所示随流体运考虑如图所示随流体运动的控制体。这个控制动的控制体。这个控制体在运动中，总是由相体在运动中，总是由相同的流体粒子组成，因同的流体粒子组成，因此它的质量是固定的，此它的质量是固定的，不随时间变化。不随时间变化。随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始体，同一批流体质点始终位于同一控制体内终位于同一控制体内速度散度及其物理意义速度散度及其物理意义但是，当它运动到流体但是，当它运动到流体不同的区域，由于密度不同的区域，由于密度不同，它的体积和控制不同，它的体积和控制面会随着时间改变。面会随着时间改变。随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始体，

12、同一批流体质点始终位于同一控制体内终位于同一控制体内速度散度及其物理意义速度散度及其物理意义也就是说，随着流场特也就是说，随着流场特性的变化，这个质量固性的变化，这个质量固定的、运动着的控制体，定的、运动着的控制体，体积不断地增大或减小，体积不断地增大或减小，形状也在不断地改变着。形状也在不断地改变着。速度散度及其物理意义速度散度及其物理意义速度散度的物理意义：速度散度的物理意义：是每单位体积运动着是每单位体积运动着的流体微团，体积相对变化的时间变化率。的流体微团，体积相对变化的时间变化率。2.5 连续性方程连续性方程2.5.1 空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型空间位置

13、固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的空间位置固定的有限控制体模型有限控制体模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律通过控制面通过控制面S流出控制体的净质量流量流出控制体的净质量流量控制体内质量减少的时间变化率控制体内质量减少的时间变化率空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的空间位置固定的有限控制体模型有限控制体模型通过控制面通过控制面S流出控制体的净质量流量流出控制体的净质量流量控制体内质量减少的时间变化率控制体内质量减少的时间变化率或或空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的空间位置固定的有限控制

14、体模型有限控制体模型连续性方程：连续性方程：2.5.2 随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体模型体模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律有限控制体的总质量为：有限控制体的总质量为：随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制随流体运动的有限控制体模型体模型连续性方程：连续性方程：2.5.3 空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小

15、微团模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律流出微团的质量流量流出微团的质量流量微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型X方向的净流出量为：方向的净流出量为：流出微团的质量流量流出微团的质量流量 微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型Y方向的净流出量为：方向的净流出量为：流出微团的质量流量流出微团的质量流量 微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定

16、的无穷小微团模型空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型Z方向的净流出量为：方向的净流出量为：流出微团的质量流量流出微团的质量流量 微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型微团内质量增加的时间变微团内质量增加的时间变化率为：化率为：流出微团的质量流量流出微团的质量流量 微团内质量的减少微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型流出微团的质量流量流出微团的质量流量微团内质量的减少微团内质量的减

17、少或或空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷空间位置固定的无穷小微团模型小微团模型或或连续性方程：连续性方程：2.5.4 随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微随流体运动的无穷小微团模型团模型流体微团的质量：流体微团的质量：连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微随流体运动的无穷小微团模型团模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动

18、的无穷小微随流体运动的无穷小微团模型团模型连续性方程连续性方程质量守恒定律质量守恒定律随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微随流体运动的无穷小微团模型团模型连续性方程：连续性方程：2.5.5 方程不同形式之间的转换方程不同形式之间的转换空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型方程不同形式之间的转换方程不同形式之间的转换空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的

19、无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型方程不同形式之间的转换方程不同形式之间的转换空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型2.5.6 积分形式与微分形式的重要注释积分形式与微分形式的重要注释空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型积分形式与微分形式的重要注释积分形式与微分形式的重要注释积分形式的方程允许出现间断，微分形式的方程要求积分形式的方程允许出

20、现间断，微分形式的方程要求流动参数是连续的。因此，积分形式的方程比微分形流动参数是连续的。因此，积分形式的方程比微分形式的方程更基础、更重要。在流动包含真实的间断式的方程更基础、更重要。在流动包含真实的间断（如激波）时，这一点尤其重要。（如激波）时，这一点尤其重要。2.6 动量方程动量方程动量方程动量方程动量方程动量方程牛顿第二定律牛顿第二定律动量方程动量方程力的两个来源：力的两个来源：1）体积力：直接作用在）体积力：直接作用在流体微团整个体积微元流体微团整个体积微元上的力，而且作用是超上的力，而且作用是超距离的，比如重力，电距离的，比如重力，电场力，磁场力。场力，磁场力。随流体运动的无穷小微

21、团模型随流体运动的无穷小微团模型动量方程动量方程力的两个来源：力的两个来源：2）表面力：直接作）表面力：直接作用在流体微团的表面。用在流体微团的表面。随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型动量方程动量方程表面力的两个表面力的两个来源：来源：1）压力）压力2）粘性力）粘性力动量方程动量方程粘性力的两个粘性力的两个来源：来源：1）正应力）正应力2）切应力）切应力动量方程动量方程切应力：与流体剪切变形的时间变化率有关，切应力：与流体剪切变形的时间变化率有关，如下图中的如下图中的 xy动量方程动量方程正应力：与流体微团体积的时间变化率有关，正应力：与流体微团体积的时间变化率有关，如下图中

22、的如下图中的 xx动量方程动量方程作用在单位质量流体微团作用在单位质量流体微团上的体积力记做上的体积力记做 ，其，其X方向的分量为方向的分量为随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型动量方程动量方程作用在流体微团上的体作用在流体微团上的体积力的积力的X方向分量方向分量随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型动量方程动量方程作用在流体微作用在流体微团上的团上的X方向的方向的压力压力动量方程动量方程作用在流体微作用在流体微团上的团上的X方向的方向的正应力正应力动量方程动量方程作用在流体微作用在流体微团上的团上的X方向的方向的切应力切应力动量方程动量方程作用在流体微作用在流体

23、微团上的团上的X方向总方向总的表面力的表面力随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型动量方程动量方程作用在流体微团上的作用在流体微团上的X方向总的力：方向总的力：随流体运动的无随流体运动的无穷小微团模型穷小微团模型动量方程动量方程作用在流体微团上的作用在流体微团上的X方向总的力：方向总的力：动量方程动量方程运动流体微团的质量：运动流体微团的质量：随流体运动的无随流体运动的无穷小微团模型穷小微团模型动量方程动量方程运动流体微团的运动流体微团的X方向的加速度：方向的加速度：随流体运动的无随流体运动的无穷小微团模型穷小微团模型动量方程动量方程由牛顿第二定理得粘性流由牛顿第二定理得粘性流X

24、方向的动量方程：方向的动量方程：随流体运动的无随流体运动的无穷小微团模型穷小微团模型动量方程动量方程类似地，可得类似地，可得Y方向和方向和Z方向的动量方程：方向的动量方程：动量方程动量方程三个方向的动量方程：三个方向的动量方程：以上为非守恒形式的纳维斯托克斯方程以上为非守恒形式的纳维斯托克斯方程(Navier-Stokes方程方程)，简称非守恒形式的，简称非守恒形式的NS方程。方程。动量方程动量方程非守恒形式的的非守恒形式的的NS方程可以转化为如下守恒方程可以转化为如下守恒形式的形式的NS方程方程动量方程动量方程牛顿流体：流体的切应力与应变的时间变化率牛顿流体：流体的切应力与应变的时间变化率(

25、也就是速度梯度也就是速度梯度)成正比。成正比。在空气动力学的所有实际问题中，流体都可以在空气动力学的所有实际问题中，流体都可以看成牛顿流体。看成牛顿流体。动量方程动量方程对牛顿流体，有对牛顿流体，有动量方程动量方程完整的完整的NS方程守恒形式：方程守恒形式：2.7 能量方程能量方程能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量能量方程能量方程能量守恒定律能量守恒定律能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微

26、团做功的功率微团做功的功率能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量作用于速度为作用于速度为V的流体微团上的体的流体微团上的体积力，做功的功率为：积力，做功的功率为：能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量对比下图作用在面对比下图作用在面adhe和面和面bcgf上的压力，则压力在上的压力，则压力在X方向上做功的功率为：方向上做功的功率为：能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量类似地，在面类似地，在面abcd和面和面efgh上，切应力在上，切应力在X方向上做方向上做功的功率为：

27、功的功率为：能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量所有表面力（包括压力、正应力、切应力）在所有表面力（包括压力、正应力、切应力）在X方向方向上做功的功率为：上做功的功率为：能量方程能量方程所有力（包括体积力、表面力）做功的功率总和（包所有力（包括体积力、表面力）做功的功率总和（包括括X方向、方向、Y方向、方向、Z方向）为：方向）为：能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微团做功的功率微团做功的功率

28、能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流入微团的净热流量来源两个方面：流入微团的净热流量来源两个方面：1）体积加热，如吸收或释放的热辐射。）体积加热，如吸收或释放的热辐射。能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流入微团的净热流量来源两个方面：流入微团的净热流量来源两个方面：2）由温度梯度导致的跨过表面的热输运，即热传导。）由温度梯度导致的跨过表面的热输运，即热传导。能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量定义定义 为单位质量的体积加热率；运动流体微团的为单位质量的体积加热

29、率；运动流体微团的质量为质量为 ，因此，微团的体积加热为，因此，微团的体积加热为能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量考虑面考虑面adhe和面和面bcgf，热传导在，热传导在X方向对流体微团的方向对流体微团的加热为：加热为：能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量热传导在热传导在X、Y、Z三个方向对流体微团的加热为：三个方向对流体微团的加热为：能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量因此，流入微团内的净热流量为：因此，流入微团内的净热流量为：能量方程能量方程根据傅立叶热传导

30、定律，热传导产生的热流与当地的根据傅立叶热传导定律，热传导产生的热流与当地的温度梯度成正比，设温度梯度成正比，设k为热导率，则为热导率，则能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量因此，流入微团内的净热流量可写为：因此，流入微团内的净热流量可写为：能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微团做功的功率微团做功的功率能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量跟随流体运

31、动的微团的能量有两个来源：跟随流体运动的微团的能量有两个来源：1）由分子随机运动而产生的内能，定义单位质量内）由分子随机运动而产生的内能，定义单位质量内能为能为e能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量跟随流体运动的微团的能量有两个来源：跟随流体运动的微团的能量有两个来源：2）流体微团平动时具有的动能，单位质量的动能为）流体微团平动时具有的动能，单位质量的动能为能量方程能量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量运动流体微团的质量为运动流体微团的质量为 ，因此，流体微团，因此，流体微团内能量的变化率为内能量的变化率为能量方程能

32、量方程随流体运动的无穷随流体运动的无穷小微团的能量通量小微团的能量通量流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微团做功的功率微团做功的功率根据能量守恒定律，有根据能量守恒定律，有能量方程能量方程流体微团内能流体微团内能量的变化率量的变化率流入微团内流入微团内的净热流量的净热流量体积力和表面力对体积力和表面力对微团做功的功率微团做功的功率于是能量方程（非守恒形式）为：于是能量方程（非守恒形式）为：能量方程能量方程只用内能只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）为：表示的能量方程（非守恒形式）为：只用内能只用内能e表示的能量

33、方程中不包含体积力项。表示的能量方程中不包含体积力项。能量方程能量方程只用内能只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）可写为：表示的能量方程（非守恒形式）可写为：根据根据 ，能量方程能量方程对牛顿流体，有对牛顿流体，有能量方程能量方程只用内能只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）可写为：表示的能量方程（非守恒形式）可写为：能量方程能量方程只用内能只用内能e表示的能量方程（守恒形式）为：表示的能量方程（守恒形式）为：能量方程能量方程用总能用总能 表示的能量方程（守恒形式）为：表示的能量方程（守恒形式）为：2.8 流体力学控制方程的总结与注释流体力学控制方程的总结与注释2.8.1 粘性流动的纳维斯托

34、克斯粘性流动的纳维斯托克斯(Navier-Stokes)方程方程粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯(NavierNavier-Stokes)-Stokes)方程方程方程方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：1.连续性方程连续性方程非守恒形式：非守恒形式：守恒形式：守恒形式：粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯(NavierNavier-Stokes)-Stokes)方程方程方程方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可

35、压缩粘性流动的控制方程总结如下：2.动量方程动量方程非守恒形式：非守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯(NavierNavier-Stokes)-Stokes)方程方程方程方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：2.动量方程动量方程守恒形式：守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯(NavierNavier-Stokes)-Stokes)方程

36、方程方程方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：3.能量方程能量方程非守恒形式：非守恒形式：粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯粘性流动的纳维斯托克斯(NavierNavier-Stokes)-Stokes)方程方程方程方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：3.能量方程能量方程守恒形式：守恒形式：2.8.2 无粘流欧拉无粘流欧拉(Euler)方程方程非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：1.连续性方程连续性方程

37、非守恒形式：非守恒形式：守恒形式：守恒形式：无粘流欧拉无粘流欧拉(Euler)方程方程非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：2.动量方程动量方程非守恒形式：非守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：无粘流欧拉无粘流欧拉(Euler)方程方程非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：2.动量方程动量方程守恒形式：守恒形式：X方向：方向：Y方向：方向：Z方向：方向：无粘流欧拉无粘流欧拉(Euler)方程方程非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下

38、：3.能量方程能量方程非守恒形式：非守恒形式：无粘流欧拉无粘流欧拉(Euler)方程方程守恒形式：守恒形式：2.8.3 关于控制方程的注释关于控制方程的注释关于控制方程的注释关于控制方程的注释连续性方程、动量方程、能量方程共有连续性方程、动量方程、能量方程共有5个，但有六个个，但有六个未知的流场变量：未知的流场变量：关于控制方程的注释关于控制方程的注释在空气动力学中，通常假设气体是完全气体（分子间在空气动力学中，通常假设气体是完全气体（分子间作用力可忽略），状态方程是：作用力可忽略），状态方程是：状态方程提供了第状态方程提供了第6个方程，但引进了第七个未知量：个方程，但引进了第七个未知量：温度

39、温度T关于控制方程的注释关于控制方程的注释用以封闭整个方程组的第七个方程必须是状态参量之用以封闭整个方程组的第七个方程必须是状态参量之间的热力学关系。比如：间的热力学关系。比如：对常比热容完全气体，这个关系可以是：对常比热容完全气体，这个关系可以是：其中的其中的 是定容比热。这个方程有时候也被称为量是定容比热。这个方程有时候也被称为量热状态方程。热状态方程。2.9 物理边界条件物理边界条件物理边界条件物理边界条件无论流动是波音无论流动是波音747飞机周围的流动、亚声速风洞内的飞机周围的流动、亚声速风洞内的流动，还是流过一个风车流动，控制方程都是相同的。流动，还是流过一个风车流动，控制方程都是相

40、同的。然而，尽管流动的控制方程是相同的，可这些情形中然而，尽管流动的控制方程是相同的，可这些情形中流动却是完全不同的。为什么会这样的呢？差异是哪流动却是完全不同的。为什么会这样的呢？差异是哪里产生的呢？里产生的呢？物理边界条件物理边界条件答案是边界条件。不同的边界条件，有时还包括初始答案是边界条件。不同的边界条件，有时还包括初始条件，使得同一个控制方程得到不同的特解。条件，使得同一个控制方程得到不同的特解。物理边界条件物理边界条件对于粘性流动，物面上的物理边界条件有物面速度无对于粘性流动，物面上的物理边界条件有物面速度无滑移边界条件和物面温度边界条件。滑移边界条件和物面温度边界条件。物面速度无

41、滑移边界条件指：紧挨物面的气流与物面物面速度无滑移边界条件指：紧挨物面的气流与物面之间的相对速度为零。即：之间的相对速度为零。即：在物面（对于粘性流动）在物面（对于粘性流动）物理边界条件物理边界条件大部分粘性流动的物面温度边界条件要么给定一个常大部分粘性流动的物面温度边界条件要么给定一个常数作为壁面温度，即数作为壁面温度，即在物面在物面要么假设壁面为绝热壁，即要么假设壁面为绝热壁，即在物面在物面物理边界条件物理边界条件对于无粘流动，物面上唯一的物理边界条件是法向速对于无粘流动，物面上唯一的物理边界条件是法向速度为零边界条件。度为零边界条件。也就是说物面上的流动与物面相切。也就是说物面上的流动与

42、物面相切。在物面（对于无粘流动）在物面（对于无粘流动）物理边界条件物理边界条件无论是粘性流还是无粘流，根据问题的不同，流场中无论是粘性流还是无粘流，根据问题的不同，流场中不是物面的地方有多种不同类型的边界条件。不是物面的地方有多种不同类型的边界条件。比如对于流过固定形状管道的流动，应该在管道的入比如对于流过固定形状管道的流动，应该在管道的入口和出口有适合的入流和出流边界条件。口和出口有适合的入流和出流边界条件。比如对于已知来流中的飞行物，则给定自由来流条件比如对于已知来流中的飞行物，则给定自由来流条件作为物体四周无穷远处的边界条件。作为物体四周无穷远处的边界条件。2.10 适合适合CFD使用的

43、控制方程使用的控制方程适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒变量：守恒变量：非守恒变量：非守恒变量：适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程非守恒变量可以由守恒变量求出：非守恒变量可以由守恒变量求出：适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是守守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是守恒变量。恒变量。非守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是非守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是非守恒变量。非守恒变量。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第一守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制

44、方程的第一个优点：个优点：守恒形式的控制方程为算法设计和编程计算提供了方守恒形式的控制方程为算法设计和编程计算提供了方便。便。守恒形式的连续性方程、动量方程和能量方程可以用守恒形式的连续性方程、动量方程和能量方程可以用同一个通用方程来表达，这有助于计算程序的简化和同一个通用方程来表达，这有助于计算程序的简化和程序结构的组织。程序结构的组织。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：U,F,G,H,J都是列向量。都是列向量。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形

45、式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于无粘或粘性流动：对于无粘或粘性流动：适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于无粘流动：对于无粘流动：适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于粘性流动：对于粘性流动：适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于粘性流动：对于粘性流动：适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程组

46、都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于粘性流动：对于粘性流动：适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：列向量列向量U被称为解向量。被称为解向量。列向量列向量F,G,H被称为通量向量（或通量项）。被称为通量向量（或通量项）。列向量列向量J代表源项（当体积力和体积热流可忽略时等于代表源项（当体积力和体积热流可忽略时等于零）零）适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程在某些问题中，非定常的瞬时流场是我们最感兴趣的。在某些问题中，非定常的瞬时流场是我们最感兴趣的。这类问题为非定常问题。

47、这类问题为非定常问题。对其他一些问题，需要得到定常解，这类问题为定常对其他一些问题，需要得到定常解，这类问题为定常问题。问题。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程求解定常问题，最好的方式是求解非定常方程，用长求解定常问题，最好的方式是求解非定常方程，用长时间的渐进解趋于定常状态。这种方法称为求解定常时间的渐进解趋于定常状态。这种方法称为求解定常流动的时间相关算法。流动的时间相关算法。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程上面方程的求解采用了时间推进的方式，也就是说，上面方程的求解采用了时间推进的方式，也就是说，相关的流动变量是按时间步，一步步推进求解的。相关的流动变量是按时间步，一步

48、步推进求解的。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程时间推进的方式时间推进的方式解向量解向量U的分量通常就是每一时间步直接被求解的未的分量通常就是每一时间步直接被求解的未知函数，右边的空间导数项被看成是已知的。知函数，右边的空间导数项被看成是已知的。通过某种方式求出右边的空间导数项，比如可以用上通过某种方式求出右边的空间导数项，比如可以用上一个时间步的结果计算出方程右边的这些项。一个时间步的结果计算出方程右边的这些项。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程在包含激波的流场中，流场的原始变量在包含激波的流场中，流场的原始变量p,u,T等在等在跨过激波时，会发生急剧的不连续变化。跨过激波时

49、，会发生急剧的不连续变化。采用激波捕捉法计算含激波的流场时，是让激波作为采用激波捕捉法计算含激波的流场时，是让激波作为流场计算的直接结果，自然而然地出现在计算区域里，流场计算的直接结果，自然而然地出现在计算区域里，而不必对激波本身进行特殊的处理。而不必对激波本身进行特殊的处理。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第二守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第二个优点：个优点：采用激波捕捉法计算含激波的流场时，应该采用守恒采用激波捕捉法计算含激波的流场时，应该采用守恒形式的控制方程，以使计算结果光滑、稳定。形式的控制方程，以使计算结果光滑、稳定。

50、如果采用非守恒形式，流场计算结果在激波上下游出如果采用非守恒形式，流场计算结果在激波上下游出现空间振荡（抖动），激波的位置也可能不对，甚至现空间振荡（抖动），激波的位置也可能不对，甚至计算不稳定。计算不稳定。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程守恒形式的控制方程使用通量变守恒形式的控制方程使用通量变量作为未知函数，而通量变量在量作为未知函数，而通量变量在跨过激波时的变化要么为零，要跨过激波时的变化要么为零，要么很小。么很小。适合适合CFD使用的控制方程使用的控制方程与把原始变量作为未知函数的非与把原始变量作为未知函数的非守恒形式相比，使用守恒形式提守恒形式相比，使用守恒形式提高了激波捕捉