线性代数第五章二次型第一节 向量的内积.ppt

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1、返回返回1 向量的内积向量的内积一、向量内积的定义和性质一、向量内积的定义和性质二、向量的长度和性质二、向量的长度和性质三、向量的正交性及其性质三、向量的正交性及其性质 1返回返回n 维列向量维列向量:定义定义1.一、向量内积的定义和性质一、向量内积的定义和性质1.1.向量内积的定义向量内积的定义2返回返回注意注意:3返回返回2.性质性质:例例.4返回返回定义定义2.称为长度称为长度(或范数或范数).性质性质1.性质性质2.性质性质3.性质性质4.二、向量的长度和性质二、向量的长度和性质5返回返回注意注意:例例.把向量把向量是单位向量是单位向量.6返回返回许瓦兹不等式和夹角许瓦兹不等式和夹角许

2、瓦兹不等式许瓦兹不等式:定义定义3.非零非零n维向量维向量规定为规定为:解解:7返回返回注意注意:证明证明:反证反证:三、向量的正交性及其性质三、向量的正交性及其性质 8返回返回不妨设不妨设矛盾矛盾!证毕证毕.9返回返回正交规范基正交规范基 定义定义5.设设V 是是 r 维的向量空间维的向量空间,向量组向量组10返回返回 求向量空间的正交规范基求向量空间的正交规范基11返回返回第二步：第二步：单位化单位化.取取以上所讨论的正交规范基的求法以上所讨论的正交规范基的求法,通常称为施密特通常称为施密特(Schmidt)正交化过程正交化过程.12返回返回e1,e2 即为所求即为所求.13返回返回取它的

3、一个基础解系取它的一个基础解系再把再把b2,b3正交化即为所求正交化即为所求a2,a3.也就是取也就是取向量组向量组 a1,a2,a3 是是所求正交向量组所求正交向量组.所以对齐次方程组所以对齐次方程组14返回返回 定义定义 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 那么称那么称 A 为正交矩阵为正交矩阵.n 阶矩阵阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向的列（行）向 设设n 阶矩阵阶矩阵 A=(a1,a2,an),其中其中 a1,a2,an 是是 或者说或者说,n 阶矩阵阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列的列

4、A为正交矩阵，即是为正交矩阵，即是 ATA=E,都是正交矩阵都是正交矩阵.例例（行）向量组构成向量空间（行）向量组构成向量空间 Rn 的的一个一个 规范正交基规范正交基.A的列向量组的列向量组.量组是规范正交向量组量组是规范正交向量组.15返回返回由此可见，由此可见，A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量的列（行）向量组是规范正交向量组组是规范正交向量组.16返回返回註註:17返回返回0018返回返回例例1 1.问矩阵问矩阵是否是正交阵是否是正交阵?19返回返回方法二方法二.P 的行向量是单位向量的行向量是单位向量.P 的行向量两两正交的行向量两两正交.解解.方法一方法一.20返回返回方法二方法二.例例2.证明证明:方法方法一一.21返回返回 定义定义 若若 P 为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换 x=Py 称为正交变换称为正交变换.线性变换的系数构成矩阵线性变换的系数构成矩阵 于是线性变换（）于是线性变换（）就可以记为就可以记为x=Py都为正交变换都为正交变换.例例 22返回返回 若若 线性变换线性变换 x=Py 为正交变换，为正交变换，a,b 为任意两个向量为任意两个向量.那么那么这是因为这是因为特别的，特别的，23