理论力学 第十三章动量矩定理1.ppt

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1、授课教师：薛齐文授课教师：薛齐文 土木与安全工程学院力学教研室土木与安全工程学院力学教研室1 131 质点的动量矩定理质点的动量矩定理 132 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 133 刚体的定轴转动微分方程刚体的定轴转动微分方程 134 转动惯量转动惯量 135 质点系相对于质心的动量矩定理，质点系相对于质心的动量矩定理，136 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理2质点质点系动量定理：动量定理：动量的改变外力（外力系主矢）若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了动量矩定理

2、建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变动量矩的改变与与外外力对同一点（轴）之矩力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。两者之间的关系。质心运动定理质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢）313-1质点（系）的动量矩质点（系）的动量矩一质点的动量矩一质点的动量矩正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正质点对轴质点对轴 z 的动量矩：的动量矩：代数量动量矩是表征质点绕某点或某轴运动强度的一种量度，不仅与质点的动量相关，而且与质点的速度矢至某点的距离相关。质点对点质点对点O的动量矩：的动量矩：矢量 等于等于 对点对点O的矩的矩

3、.4质点对点质点对点O的动量矩与对轴的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系的动量矩之间的关系：二质点系的动量矩二质点系的动量矩kg2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴轴)转动的强弱转动的强弱刚体动量矩计算刚体动量矩计算：1平动刚体平动刚体平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。合矢量合矢量投影量投影量质系对轴质系对轴z 动量矩：动量矩：质系对点质系对点O动量矩动量矩：52定轴转动刚体定轴转动刚体3平面运动刚体平面运动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动

4、量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。613-2动量矩定理动量矩定理一质点的动量矩定理一质点的动量矩定理质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理质点对固定点的动量矩定理。故：设设O为定点为定点,有有（O为定点）为定点）其中其中:7将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 上式称质点对固定轴的动量矩定理质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。)()(),()(),()(FmvmmdtdFmv

5、mmdtdFmvmmdtdzzyyxx=投影式投影式:8二质点系的动量矩定理二质点系的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理对质点系，有对质点Mi：由于由于：令：令：质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩外力系的主矩）。9将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得:投影式投影式:定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。10三三 动量矩守恒定理动量矩守恒定理1.质点的动量矩守恒定理质点的动量矩守恒定理 若作用于质点上的力对于某一点（固定轴)之矩等于零，即则：常矢量2.质点系的

6、动量矩守恒定理质点系的动量矩守恒定理若作用于质点系上的外力对于某一点（固定轴）之矩的代数和等于零，即时，则可得：质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒当时，常矢量。当时，常量。11 13-313-3刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程一一 定轴转动微分方程的推导定轴转动微分方程的推导主动力主动力:约束力约束力:即即:或或或或12 二二.特殊情况特殊情况 若 ,则恒量，刚体作匀速转动或 保持静止。若 常量，则=常量，刚体作匀变速转动。将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。三三 解决两类问题解决两类问题已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律

7、。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。1313-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量一定义一定义转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2 。若刚体的质量是连续分布，则 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。14积分法积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）1 匀质细直杆长为l,质量为m。求求：对z轴的转动惯量 ；对z 轴的转动惯量 。二转动惯量的计算二转动惯量的计算解解：152 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 33均质圆板对中心轴的转动惯量式中式中：或或16由所定义的长度 称为刚

8、体对 z 轴的回转半径。2.回转半径回转半径 对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。转半径是相同的。3.平行移轴定理平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。17证明证明：设质量为m的刚体，质心为C，例如例如，对于例1中均质细杆z 轴的转动惯量

9、为刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。18当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。4计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法解解：例例1 钟摆：均质直杆m1,l；均质圆盘：m2,R。求 JO。19zxOzC解解：因为已知因为已知应该为应该为:例例 2 匀质细直杆长为匀质细直杆长为L，质量为质量为m，已知已知 求：求：对对zC 轴的转动惯量轴的转动惯量JzC。问下面的作法是否正确？问下面的作法是否正确？2013-5质点系相对于质心的质点

10、系相对于质心的动量矩定理动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程一质点系动量矩一质点系动量矩 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系简单的关系。二质点系相对质心的动量矩定理二质点系相对质心的动量矩定理 质点系对于质心质点系对于质心 C 的动量矩对时间的一阶导数，等于作用的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在系统上所有外力对于质心的主矩，在系统上所有外力对于质心的主矩，而与内力无关。而与内力无关。21三刚体平

11、面运动微分方程三刚体平面运动微分方程 设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于S内。取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为 随质心C的平动 (xC ,yC)绕质心C的平动 （）可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。22刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程投影式：投影式：刚体平面运动微分方程只能对刚体平面运动微分方程只能对刚体平面运动微分方程只能对刚体平面运动微分方程只能对质心质心质心质心写出写出写出写出23一基本概念一基本概念1动量矩动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种

12、度量。2质点的动量矩质点的动量矩：3质点系的动量矩质点系的动量矩：4转动惯量转动惯量：物体转动时惯性的度量。对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。动量矩定理基本内容小结动量矩定理基本内容小结245刚体动量矩计算刚体动量矩计算平动：平动：定轴转动：定轴转动：平面运动：平面运动：二质点的动量矩定理及守恒二质点的动量矩定理及守恒1质点的动量矩定理质点的动量矩定理2质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒 若，则 常矢量。若，则 常量。25三质点系的动量矩定理及守恒三质点系的动量矩定理及守恒1质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理2质点系的动量矩守恒质点系的动量矩

13、守恒 若，则常矢量 若，则常量四质点系相对质心的动量矩定理四质点系相对质心的动量矩定理26五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程1刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程2刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程或27六动量矩定理的应用六动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）1已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。3已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。28研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。应用动量矩定理列方程时,要特别注意正负号的规定的一致性。2930