教育专题：提公因式法课件（人教版八年级上）.ppt

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1、99399能被能被100整除吗？整除吗？解法二：解法二：99399=99（9921）=99（991）（）（991）=1009998解法一：解法一：99399=97029999=970200新课导入新课导入想一想想一想哪种解法简单？哪种解法简单？（1）已知：）已知：x=5，a-b=3，求，求ax2-bx2 的值的值（2）已知：）已知：a=101，b=99，求，求a2-b2的值的值 你能说说算得快的原因吗？你能说说算得快的原因吗？解：解：（1）ax2-bx2=x2（ab）=253=75（2）a2-b2=（ab）（）（ab）=（10199）（）（10199）=2002=40014.3 因式分解14.

2、3.1 提公因式法1 1了解因式分解的意义，理解因式分了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系解的概念及其与整式乘法的区别和联系 2 2理解提公因式法并能熟练地运用提理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式公因式法分解因式 根据左面的算式填空：根据左面的算式填空：根据左面的算式填空：根据左面的算式填空：3x2-6x=(_)(_)ma+mb+mc=(_)(_)m2-16=(_)(_)x2-4x+4=(_)2a3-a=(_)(_)(_)计算下列各式：计算下列各式：计算下列各式：计算下列各式：3x(x-2)=_m(a+b+c)=_(m+4)(m-4)=_(x-2)2=_

3、a(a+1)(a-1)=_3x2-6xma+mb+mcm2-16x2-4x+4a3-a3xx-2ma+b+cm+4 m-4x-2aa-1a+1 左边一组的变形是什么运算？左边一组的变形是什么运算？右边的变形与这种运算有什么不同右边的变形与这种运算有什么不同？右边变形的结果有什么共同的特？右边变形的结果有什么共同的特点？点？做一做做一做讨论讨论请把下列多项式写成整式的乘积的形式请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x(1)x2 2+x=_;+x=_;(2)x(2)x2 21=_.1=_.x(x+1)x(x+1)(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)上面我们把一个多项式化成了几个上面我们把一

4、个多项式化成了几个整式整式的的积积的形式的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解因式分解,也叫做把也叫做把这个多项式这个多项式分解因式分解因式.整式的乘法与因式整式的乘法与因式分解有什么关系？分解有什么关系？a2-b2=(a+b)2=m(a+b)(a+b)(a-b)(a+b)2m(a+b)=a2-b2=a2+2ab+b2=am+bm整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式的积整式的积多项式多项式多项式多项式整式的积整式的积a2+2ab+b2am+bm因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法的关系：=

5、(a+b)(a-b)X2-1 (x+1)(x-1)因式分解因式分解整式乘法整式乘法X2-1=(x+1)(x-1)因式分解的特征：左边是因式分解的特征：左边是多项多项式式，右边是，右边是几个整式的乘积几个整式的乘积（4 4）分解因式必须进行到每个多项式）分解因式必须进行到每个多项式）分解因式必须进行到每个多项式）分解因式必须进行到每个多项式 因式不能再分解为止因式不能再分解为止因式不能再分解为止因式不能再分解为止（2 2）分解因式的结果是整式的积的形）分解因式的结果是整式的积的形）分解因式的结果是整式的积的形）分解因式的结果是整式的积的形 式；式；式；式；（1 1）分解因式是整式乘法的恒等变形，

6、）分解因式是整式乘法的恒等变形，）分解因式是整式乘法的恒等变形，）分解因式是整式乘法的恒等变形，是互逆的过程；是互逆的过程；是互逆的过程；是互逆的过程；（3 3）分解的对象必须是多项式；）分解的对象必须是多项式；）分解的对象必须是多项式；）分解的对象必须是多项式；练一练“理解概念”判断下列各式哪些是因式分解判断下列各式哪些是因式分解?为什么？为什么？(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2)2x(x-3y)=2x2-6xy (3)x2+4x+4=(x+2)2 (4)(a-3)(a+3)=a2-9 (5)2R+2r=2(R+r)因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式

7、乘法因式分解因式分解(6)(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法整式乘法初步应用初步应用 巩固新知巩固新知在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（有（）2 2 1下列从左到右是因式分解的是（下列从左到右是因式分解的是（）Ax(ab)=axbx Bx2 1+y2=(x1)(x+1)+y2Cx21=(x+1)(x1)Dax+bx+c=x(a+b)+c C练一练练一练2 下列因式分解中，正确的是（下列因式分解中，正确的是（）A3m26m=m(3m6)Ba2b+ab+a=a(ab+b)Cx2+2xyy2=(xy)2 Dx2+y2=(x+y)2C C因式

8、分解因式分解：把公因式提出来，多项式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc ma+mb+mc 就可以分就可以分解成两个因式解成两个因式m m和和(a+b+c)(a+b+c)的乘积。像这种因式的乘积。像这种因式分解的方法，叫做分解的方法，叫做提取公因式法提取公因式法。解解:公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式,称之为称之为公因式公因式提公因式法提公因式法知识要点知识要点8a3b212ab3c 的公因式是什么？的公因式是什么？最大公约数最大公约数相同字母相同字母公因公因公因公因式式式式4ab2一看系数一看系数一看系数一看系数观察观察观察观察方向方向方向方向二看字母二

9、看字母二看字母二看字母三看指数三看指数三看指数三看指数最低指数最低指数 （1 1）定系数定系数定系数定系数公因式公因式公因式公因式的系数是多项式的系数是多项式的系数是多项式的系数是多项式各项系数的最大公约数；各项系数的最大公约数；各项系数的最大公约数；各项系数的最大公约数；（2 2）定字母）定字母）定字母）定字母字母字母字母字母取多项式各项中都取多项式各项中都取多项式各项中都取多项式各项中都含有的相同的字母；含有的相同的字母；含有的相同的字母；含有的相同的字母；（3 3）定指数）定指数）定指数）定指数相同相同相同相同字母的指数取各项字母的指数取各项字母的指数取各项字母的指数取各项中最小的一个，

10、即最低次幂中最小的一个，即最低次幂中最小的一个，即最低次幂中最小的一个，即最低次幂知识要点知识要点确定公因式的方法：确定公因式的方法：1（1）9x3y312x2y18xy3中各项的公因式中各项的公因式 是是_.（2）5x225x的公因式为的公因式为_.（3）2ab24a2b3的公因式为的公因式为_.（4）多项式）多项式x21与与(x1)2的公因式是的公因式是 _ 3xy5x-2ab2x-12如果如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式有公因式(x+y)，那么另外的因式是那么另外的因式是_(x-y)2随堂练习随堂练习 ax+ay+a 3mx-6nx2 4a2b+10ab2 x4

11、y3+x3y3 12x2yz-9x3y2指出下列各多项式中各项的公因式：指出下列各多项式中各项的公因式：a a公因式公因式公因式公因式3x3x2ab2abx x3 3y y3 33x3x2 2y y多项式多项式多项式多项式(1)8a3b2+12ab3c例例1:把下列各式分解因式把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）分析：提公因式法步骤（分两步）第一步第一步:找出公因式；找出公因式；第二步第二步:提取公因式提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。，即将多项式化为两个因式的乘积。(2)2a(b+c)-3(b+c)注意：注意：公因式公因式既可以是一个单项式的形式，既可以是一个单项式的形

12、式，也可以是一个多项式的形式也可以是一个多项式的形式整体思想整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。是数学中一种重要而且常用的思想方法。例例1 把把12a4b3+16a2b3c2分解因式分解因式提公因式后，另一个因式：提公因式后，另一个因式：项数应与原多项式的项数一样；项数应与原多项式的项数一样；不再含有公因式不再含有公因式 解：解：12a4b3+16a2b3c2 =4a2b33a2+4a2b3 4c2 =4a2b3(3a2+4c2)公因式：公因式：4a2b3注注意意例例2 把把2ac(b+2c)-(b+2c)分解因式分解因式 解：解：2ac(b+2c)(b+2c)=(b+2c)(2ac-

13、1)公因式可以是数字、字母，也可公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式以是单项式，还可以是多项式注注意意例例2 2 把把 12b(a-b)2 18(b-a)2 分解因式分解因式解：解：12b(a-b)2 18(b-a)3 =12b(a-b)2+18(a-b)3 =6(a-b)2 2b+3(a-b)=6(a-b)2(2b+3a-3b)=6(a-b)2(3a-b)练习：练习：(x-y)2+y(y-x)例例3.把把-24x3 12x2+28x 分解因式分解因式.当多项式第一项系数当多项式第一项系数是负数，通常先提出是负数，通常先提出“-”号，使括号内第号，使括号内第一项系数变为正数，

14、一项系数变为正数，注意括号内各项都要注意括号内各项都要变号。变号。解：原式解：原式=(24x34x+12x24x-28x4x)(6x2+3x-7)例例3 把把x3x2x分解因式分解因式 多项式的第一项是系数为负数的项，一多项式的第一项是系数为负数的项，一多项式的第一项是系数为负数的项，一多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式但应注意，般地，应提出负系数的公因式但应注意，般地，应提出负系数的公因式但应注意，般地，应提出负系数的公因式但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，这时留在括号内的每一

15、项的符号都要改变，且最后一项且最后一项且最后一项且最后一项“x x”提出时，应留有一项提出时，应留有一项提出时，应留有一项提出时，应留有一项“1”1”，而不能错解为，而不能错解为，而不能错解为，而不能错解为x(xx(x2 2x)x)解：原式解：原式(x3x2x)x(x2x1)注注意意练习练习2把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）初步应用提公因式法初步应用提公因式法(7)-16x4+32x3-56x2(8)-7ab-14abx+49aby练习练习3先分解因式，再求值先分解因式，再求值，其中，其中初步应用提公因式法初步应用提公因式法(1)13.80.125+

16、86.21/8(2)已知已知a+b=5,ab=3,求求a2b+ab2的值的值.解：原式解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2)=0.125100 =12.5 解解:a2b+ab2=ab(a+b)=3 5=15巧妙计算巧妙计算1 1、计算（、计算（-2-2）101101+（-2-2）1001002 2、已知、已知,求代数式求代数式 的值。的值。3（1）2x(x-2y)+4y(2y-x)=2x(x-2y)-4y(x-2y)=2(x-2y)(x-2y)=2(x-2y)2 （2）(2a+b)(3b-2a)-a(2a+b)=(2a+b)(3b-2a-a)=(2

17、a+b)(3b-3a)=3(2a+b)(b-a)（3）5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2解法一：解法一：5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2 =5x3y(x-y)3-15x4y3(x-y)2 =5x3y(x-y)2(x-y-3xy2)解法二：解法二：5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2 =-5x3y(y-x)3-15x4y3(y-x)2 =-5x3y(y-x)2(y-x+3xy2)2 2、确定公因式的方法：确定公因式的方法：一看系数二看字母三看指数一看系数二看字母三看指数小结小结3 3、提公因式法分解因式步骤提公因式法分解因式步骤(分两步分两步)：第一步，确定公因式；第二步，求出另一个因式第一步，确定公因式；第二步，求出另一个因式第三步第三步,写成积的形式写成积的形式1、什么叫因式分解？什么叫因式分解？4、用提公因式法分解因式应注意的问题、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽）公因式要提尽；（2）小心漏掉）小心漏掉（3）多项式的首项取正号）多项式的首项取正号