原子物理量子力学基础幻灯片.ppt

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1、原子物理量子力学基础第1页，共62页，编辑于2022年，星期五量子力学中的薛定谔方程，相当于经典力学中的牛顿运动定律，是不能从什么更基本的原理中推出来的。它的正确与否，只能由科学实验来检验。实际上，薛定谔方程是量子力学的一个基本原理。我们可以从不同侧面发现薛定谔方程与经典力学概念之间的联系。从形式上看，如在经典关系式(3.1.2)中作如下变换：3.1.2然后作用于波函数，就得到薛定谔方程下面研究定态薛定谔方程下面研究定态薛定谔方程在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种分离变数的方法求其特解，令特解表为第2页，共62页，编辑于2022年，星期五3.1.4代入式(3.1.1)，并把坐标函

2、数和时间函数分列于等号两边：令这常数为E，有3.1.53.1.6于是波函数(r,t)可以写成第3页，共62页，编辑于2022年，星期五与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量，具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几率密度(r r,t)2=(r r)2与时间无关。另一方面，式(3.1.5)右边也等于E，故有 这是波函数中与坐标有关的部分(r r)所满足的方程，此方程称作定态薛定谔方程 例3.1.1 试由自由粒子的平面波方程给出建立薛定谔方程的一种方法（1）第4页，共62页，编辑于2022年，星期五对（1）x,y,z取二阶偏微商得到等式相边相加，即有为拉普拉斯算符把(1)对

3、t取一阶偏微商如果自由粒子的速度较光速小得多，它的能量公式是p2/2m=E，两边乘以，即得（2）（3）（4）（5）第5页，共62页，编辑于2022年，星期五得到一个自由粒子的薛定谔方程。把(3)和(4)代入(5)对于一个处在力场中的非自由粒子，它的总能量等于动能加势能 两边乘以 自由粒子的薛定谔方程可以按此式推广成（6）（7）（8）（9）第6页，共62页，编辑于2022年，星期五薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 -量子力学基本假设量子力学基本假设地位同经典物理的牛顿定律地位同经典物理的牛顿定律 薛定谔薛定谔Erwin Schrodinger 奥地利人

4、奥地利人 1887-1961 创立量子力学创立量子力学获获1933年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖第7页，共62页，编辑于2022年，星期五一维无限深势阱中的粒子一一个个粒粒子子在在两两个个无无限限高高势势垒垒之之间间的的运运动动，实实际际上上与与一一个个粒粒子子在在无无限限深深势势阱阱中中的的运运动动属属于于同同一一类类问问题题。设设势势阱阱位位于于x=0 x=0及及x=ax=a处处。势势阱阱之之间间(图图3.2.13.2.1中中区区)，V=0V=0，势势阱阱本本身身(图图3.2.13.2.1中中，区区)，V=V=，求求粒粒子子在在势阱间的运动情况。势阱间的运动情况。薛定谔方程为薛定谔方程为

5、图3.2.1 无限深势阱无限深势阱在在，区区，只只能能有有=0.=0.因因为为从从物物理理上上考考虑虑，粒粒子子不不能能存存在在于于势势能能为为无无限限大大的的地区，在地区，在区，方程简化为区，方程简化为(3.2.1)第8页，共62页，编辑于2022年，星期五(3.2.3)(3.2.4)式中，A，为待定常数，为确定A与之值，利用的边界条件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能透过势阱，要求在阱壁及阱外波函数为零，即3.2.2第9页，共62页，编辑于2022年，星期五即上式舍去了n=0和n为负值的情况(3.2.5)这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件这个结果表明，粒子在

6、无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件 第10页，共62页，编辑于2022年，星期五由上面的计算，可以看到量子力学解题的一些特点。在解定态薛定谔方程的过程中，根据边界条件自然地得出了能量量子化的特性(3.2.5)，En是体系的能量本征值，相应的波函数n是能量本征函数。在一维无限高势垒间粒子运动的特点如下：(3.2.6)第11页，共62页，编辑于2022年，星期五(1)能量是量子化的，最低能量E10，这与经典力学大不相同，这是粒子波动性的反映，因为“静止的波”是不存在的。能级的能量依n2规律加大，相邻能级间距越来越大.(2)含时间的波函数是 ，这是一个驻波,指数部分表示振动，振幅为 (如图

7、3.2.2(b)，在形式上像一个两端固定的弦的驻波振动。这又一次指出，在有限空间内，物质波只能以驻波形式稳定地存在着。(3)粒子在势垒中的概率分布2是不均匀的，而且有若干概率为零的点(节点)(见图3.2.2(c).第12页，共62页，编辑于2022年，星期五粒子在势阱中的运动，是一种较为常见的现象；金属中的自由电子在各晶格结点(正离子)形成的“周期场”中运动，它们不会自发地逃出金属，简化这个模型，可以粗略地认为粒子被无限高的势能壁束缚在金属之中。氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动，不过“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近来，人们设计制作了一种具有“量子阱”的半导体器件，它具有介观(介

8、于宏观与微观)尺寸的势阱，阱宽约在10nm上下。这种材料具有若干特性，已用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器件等。第13页，共62页，编辑于2022年，星期五金属中的电子金属中的电子方势阱方势阱分子束缚分子束缚在箱子内在箱子内三维方势肼三维方势肼是实际情况的极是实际情况的极端化和简化端化和简化第14页，共62页，编辑于2022年，星期五3.3 势垒贯穿势垒贯穿设如图设如图3.3.1，在，在x=0到到x=a之间有一个有限高的一维势垒之间有一个有限高的一维势垒V=V0.在在x0区区域域有有一一个个粒粒子子，其其动动能能EV0，从从左左向向右右射射向向势势垒垒，求求粒粒子的概率分布。子的概率分

9、布。在图中，将空间分为三个区域在图中，将空间分为三个区域.粒粒子从子从区射向区射向区，在区，在x=0处遭遇处遭遇势垒。按经典力学，粒子的能量势垒。按经典力学，粒子的能量不够，不能越过势垒，将被反射不够，不能越过势垒，将被反射而折回。但在微观世界则不然，而折回。但在微观世界则不然，粒子的德布罗意波将部分地穿粒子的德布罗意波将部分地穿过势垒。解题如下。过势垒。解题如下。粒子的薛定谔方程为粒子的薛定谔方程为图3.3.1有限高势垒第15页，共62页，编辑于2022年，星期五3.3.13.3.2第16页，共62页，编辑于2022年，星期五在区，有其通解为区的方程同区，但这里无反射波，故为求出通解1，2及

10、3中的待定常数，需应用边条件。波函数应在x=0及x=a处连续。由此可以求出比值A3/A1及B1/A1的表达式。三个区域中波函数示意图见图3.3.2，图中表明，在势垒后面(区)，粒子还有一定的概率分布。处在势垒前(区)的粒子有一定的概率穿透势垒而逸出。第17页，共62页，编辑于2022年，星期五粒子穿透势垒的几率是粒子穿透势垒的几率是：为描述粒子透过势垒的概率第18页，共62页，编辑于2022年，星期五上式可以看出，势垒厚度上式可以看出，势垒厚度a a越大，粒子通过的几率越小；粒子的越大，粒子通过的几率越小；粒子的能量能量E E越大，则穿透几率也越大，两者呈指数关系。例，一粒子质越大，则穿透几率

11、也越大，两者呈指数关系。例，一粒子质量为量为1kg1kg，势垒的厚度势垒的厚度a a10cm10cm，V V0 0-E=1eV-E=1eV，穿透几率约为穿透几率约为1010-24-24，几乎不能穿透。这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少，几乎不能穿透。这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少1 1eVeV，其量子效应也是极其不明显的。对电子而言，其量子效应也是极其不明显的。对电子而言，mme e1010-31kgkg，V V0 0-E=1eV-E=1eV，a a1010-8cm-8cm，大体求得穿透几率为大体求得穿透几率为e-e-0.10.10.9(0.9(一般情况一般情况下，穿透

12、几率是比较小的下，穿透几率是比较小的)，隧道效应就变得十分明显了。，隧道效应就变得十分明显了。图3.3.2势垒贯穿时波函数第19页，共62页，编辑于2022年，星期五利用量子隧道效应，可以解释许利用量子隧道效应，可以解释许多现象，放射性原子核的多现象，放射性原子核的粒子粒子衰变现象就是一种隧道效应衰变现象就是一种隧道效应.热核反应所释放的核能是两个带正热核反应所释放的核能是两个带正电的核，如电的核，如2 2H H和和3 3H H，聚合时聚合时产生的产生的.隧道效应在高新技术也有着广泛隧道效应在高新技术也有着广泛的重要应用。例如，隧道二极管的重要应用。例如，隧道二极管就是通过控制势垒高度，利用电

13、就是通过控制势垒高度，利用电子的隧道效应制成的微电子器件子的隧道效应制成的微电子器件，它具有极快，它具有极快(5(5psps以内以内)的开关速的开关速度，被广泛地用于需要快速响应度，被广泛地用于需要快速响应过程。过程。第20页，共62页，编辑于2022年，星期五l经典经典l量子量子第21页，共62页，编辑于2022年，星期五扫扫描描隧隧道道显显微微镜镜(STM)也也是是应应用用隧隧道道效效应应的的例例子子，如如图图3.3.3，设设法法在在一一个个导导体体针针尖尖顶顶端端再再制制备备一一个个由由少少量量原原子子组组成成的的小小尖尖端端.此此针针尖尖距距待待测测平平面面非非常常近近，约约1nm量量

14、级级。在在一一般般情情况况下下，金金属属或或介介质质中中的的电电子子，不不能能自自由由逸逸出出表表面面，因因为为它它的的能能量量低低于于表表面面外外的的空空间间的的势势能能(零零)。而而现现在在针针尖尖与与待待测测物物之之间间距距离离极极近近，这这空空隙隙相相当当于于一一个个高高度度有有限限而而宽宽度度很很小小的的势势垒垒。在在针针尖尖与与平平面面间间加加一一个个小小于于几几伏伏的的电电压压，在在这这电电压压下下，针针尖尖中中的的电电子子还还不不能能越越过过“空空隙隙”这这一一势势垒垒进进入入平平面面，但但有有一一定定的的概概率率穿穿越越势势垒垒，形形成成“隧隧道道电电流流”。隧隧道道电电流流

15、的的大大小小对对势势垒垒宽宽度度(针针尖尖到到平平面面的的距距离离)的的变变化化非非常常敏敏感感。当当针针尖尖沿沿平平面面扫扫描描时时，通通过过隧隧道道电电流流的的变变化化，便便能能描描绘绘出出平平面面高高低低变变化化的的轮轮廓廓。这这种种方方法法的的分分辨辨率率极极高高，其其横横向向分分辨辨率率达达0.1nm,纵纵向向为为0.01nm，可可分分辨辨出出单单个个原原子子，目目前前STM已已可可直直接接绘绘出出表表面面的的三三维维图图象象。STM技技术术不不仅仅可可用用来来进进行行材材料料的的表表面面分分析析，直直接接观观察察表表面面缺缺陷陷，还还可可利利用用STM针针尖尖对对原原子子和和分分子

16、子进进行行操操纵纵和和移移动动，重重新新排排布布原原子子和和分分子子。应应用用到到生生命命科科学中，可研究学中，可研究DNA分子的构形等。分子的构形等。第22页，共62页，编辑于2022年，星期五ABdEU0U0U0电子云重叠电子云重叠ABU隧道电流隧道电流id探针探针样品样品用用隧道效应观察样品表面的微结构隧道效应观察样品表面的微结构图象处理系统图象处理系统扫描探针扫描探针样品表面电子云样品表面电子云样品表面平均势样品表面平均势 垒高度垒高度（eV）A常量常量d变变 i变变反映表面情况反映表面情况 d 10A。第23页，共62页，编辑于2022年，星期五隧道隧道电流电流反馈传反馈传感器感器参

17、考信号参考信号显示器显示器压电压电控制控制加电压加电压扫描隧道显微镜示意图扫描隧道显微镜示意图第24页，共62页，编辑于2022年，星期五图3.3.3STM示意图第25页，共62页，编辑于2022年，星期五某种型号的扫描隧道显微镜某种型号的扫描隧道显微镜第26页，共62页，编辑于2022年，星期五第27页，共62页，编辑于2022年，星期五第28页，共62页，编辑于2022年，星期五 1994年中国科学院科学家年中国科学院科学家“写写”出的出的 平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米“原子和分子的观察与操纵原子和分子的观察与操纵”-白春礼白春礼 插页彩图插页彩

18、图13操纵原子不是梦操纵原子不是梦 “原子书法原子书法”硅单晶硅单晶表面直表面直接提走接提走硅原子硅原子形成形成2纳纳米的线米的线条条第29页，共62页，编辑于2022年，星期五简谐振动是物理学中经常出现的一类运动。本节介绍一维微观简谐振子的运动特点。在简谐振动中，粒子所受的力正比于它的位移x，而方向相反，即粒子受力的F=-kx，势 能 为V=1/2kx.故薛定谔方程是3.4简谐振子简谐振子第30页，共62页，编辑于2022年，星期五图3.4.1简谐振子能级3.4.2式中上式可改写成3.4.3第31页，共62页，编辑于2022年，星期五3.4.43.4.5第32页，共62页，编辑于2022年，

19、星期五简谐振子的能级示于图3.4.1，习惯上把能级画在势能曲线上。微观简谐振子能级的特点，一是等距分布，间距.二是最低能级，即n=0的能级，仍有能量1/2，叫做“零点能”。这意味着没有静止的简谐振子。三是跃迁只能逐级进行，即能级之间的跃迁服从n=1的选择定则。由一、三可以得出绝对的谐振子测到的能谱中只有一条谱线。这些特点有时常被用来指导理论工作。第33页，共62页，编辑于2022年，星期五图3.4.2简谐振子的波函数及概率密度第34页，共62页，编辑于2022年，星期五基本算符量子力学中的算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很

20、重要的特点。算符劈形算符数学运算符号拉普拉斯算符动量算符动能算符哈密顿算符含动、势能位矢算符力学量算符统称举例若作用在某函数上的效果和与某一常量的乘积相当，即则称为的本征值称为的本征函数所描述的状态称为本征态力学量的可能值是它的本征值力学量的平均值由下述积分求出第35页，共62页，编辑于2022年，星期五力学量的算符、本征值与本征函数在量子力学中计算力学量时，力学量用算符表示，在上节介绍薛定谔方程时已经指出，在经典的能量关系式中，如作变换并使经典能量关系式两边作用于波函数，就得到薛定谔方程量子力学中的力学量，大部分以算符的形式出现3.5量子力学中的一些理论和方法第36页，共62页，编辑于202

21、2年，星期五动能算符可由动量算符得到。因动能故有在势场中，一个粒子的动能与势能函数之和叫哈密顿量，记为H，H=T+V由此式可知哈密顿算符为薛定谔方程(3.1.1)和定态薛定谔方程(3.1.7)可以分别写成算符作用于波函数的形式：第37页，共62页，编辑于2022年，星期五算符作用于自己的本征函数A，等于一个数值A乘以A。上式称为算符的本征方程。解这个方程，就可得到算符的一套本征函数A和相应的一套本征值A。一个粒子可以有多个可测的物理量。若某粒子处于力学量A的本征态，则测量A时将得到确定值。若在A的本征态下测量另一个力学量B时，是否能得到确定的值，就不一定了。如果A，B能同时具有确定值，那么它们

22、就具有共同的本征态，3.5.3 3.5.3 角动量角动量角角动动量量是是原原子子物物理理中中一一个个重重要要的的力力学学量量。本本节节介介绍绍微微观观世世界界中中角角动动量量的的特特点点。在在经经典典力力学学中中，角角动动量量L L的的表表示示式式是是L=rpL=rp。在在量量子子力力学学中中，对对电电子子的的轨轨道运动，保留这个关系，并将其用算符表示：道运动，保留这个关系，并将其用算符表示：第38页，共62页，编辑于2022年，星期五3.5.133.5.143.5.153.5.16第39页，共62页，编辑于2022年，星期五第40页，共62页，编辑于2022年，星期五式中为归一化因子，m称为

23、磁量子数。从物理图像上看，以上结果表明轨道角动量在z方向上的投影值为m，这个现象称为角动量的空间量子化0第41页，共62页，编辑于2022年，星期五本征函数为使函数在整个变化区域有界是本征函数是第42页，共62页，编辑于2022年，星期五n-1第43页，共62页，编辑于2022年，星期五总之，对微观角动量，L及Lz可以同时测得确定值。的本征值是，的本征值是。这个结论，不但与经典力学不同，与玻尔理论也有根本性的差异，玻尔理论曾给出氢原子中电子的量子化角动量。在量子力学中存在l=0。即L=0的状态，与玻尔概念是相矛盾的。L=0意味着轨道将通过原子核。量子力学中l的上限是n-1，而玻尔理论中，可等于

24、n。实验结果表明，量子力学结果是正确第44页，共62页，编辑于2022年，星期五图3.5.1角动量的矢量模型 3.6 氢原子氢原子氢原子问题是用薛定谔方程唯一可以严格求解的原子结构问题，因而也是最有代表性的。本节将给出解题的大致步骤，列出结果，并讨论其物理意义。第45页，共62页，编辑于2022年，星期五图3.6.1球坐标3.6.1氢原子的能量本征值与本征函数(3.6.1)第46页，共62页，编辑于2022年，星期五式中左边第一与第三项只作用于波函数中与矢径r有关的部分，第二项只作用于与角度，有关的部分，可以应用分离变数法.令3.6.23.6.3上式中等号左边只是矢径的函数，右边只是角度的函数

25、.若它们相等，必定等于一个常数.令此常数为-，就得到两个方程：第47页，共62页，编辑于2022年，星期五(3.6.4)(3.6.5)3.6.6第48页，共62页，编辑于2022年，星期五第49页，共62页，编辑于2022年，星期五解题得出三个量子数解题得出三个量子数n,l,m。主量子数主量子数n=1,2,3,角量子数角量子数l=0,1,2,n-1 (3.6.9)磁量子数磁量子数m=0,1，2，l主主量量子子数数n与与电电子子的的能能量量有有关关，具具有有相相应应能能量量的的电电子子依依次次称称为为K，L，M，N，O，P，主主壳壳层层的的电电子子；角角量量子子数数l与与电电子子的的角角动动量量

26、有有关关，l=0,1,2,3,4,5,的的态态依依次次称称为为s,p,d,f,g,h，态态，处处于于这这些些态态上上的的电电子子依依次次称称为为s,p,d,f,g,h,，电电子子，也也叫叫次次壳壳层层电电子子；磁磁量量子子数数m与与电电子子的的磁磁矩矩有有关关(具体内容在第六章具体内容在第六章)，对应一个，对应一个l，m可表示为可表示为ml，ml可取可取2l+1个值。个值。第50页，共62页，编辑于2022年，星期五因R，分别是r,，的函数，所以电子在三个坐标的概率密度是独立的，可以分不同坐标来观察。上述归一化条件可以写成3.6.12第51页，共62页，编辑于2022年，星期五图3.6.2给出

27、n=3各态径向波函数R3l与r的关系曲线。图3.6.3则给出了径向概率密度r2R2图3.6.2R3l与r关系图第52页，共62页，编辑于2022年，星期五图3.6.3氢径向概率密度由图3.6.2和3.6.3可以得出什么结论？第53页，共62页，编辑于2022年，星期五图3.6.42作为的函数和对应的轨道其图形应是绕Z轴旋转一周的一个旋转体，表示概率密度与空间取向的关系。在这图中还把用矢量模型画的空间量子化图附上，以资比较。可以看到其中有某种对应关系第54页，共62页，编辑于2022年，星期五图3.6.5氢原子基态的电子云图图3.6.6氢原子n=2的各状态的电子云图(a)l=0,ml=0;(b)

28、l=1,ml=0;(c)l=1,ml=1第55页，共62页，编辑于2022年，星期五径向概率分布示例n=2,l=0n=1,l=0电子沿径向出现的概率密度分布剖面示意图n=2,l=1r1rr1rr1r（用明暗定性示意概率密度大小）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13n=1,l=0n=2,l=0n=2,l=10.30.10.50.40.2r1r0.6不同态的电子沿球坐标径向出现的概率密度分布曲线举例横坐标中的表示玻尔第一轨道半径r1第56页，共62页，编辑于2022年，星期五角向概率分布示例q qZY00q qZY10q qZY11YZq q210YZq q2q qZY2

29、2不同态的电子时沿角向出现的概率密度分布举例：图中，从原点引向曲线某点的距离，代表在该方向上概率密度的大小。由量子力学计算还可以得知，概率密度与角向无关。因此，电子沿角向的概率密度分布，可用曲线绕Z轴旋转所得的回旋面来描述。从原点引向回旋面某点的距离，代表在该方向上概率密度的大小。第57页，共62页，编辑于2022年，星期五电子云示例n=1,l=0n=2,l=1n=3,l=2ml=0ml=0ml=1ml=0ml=1ml=2以Z 为轴的回旋面上的电子云側视图n=1,l=0n=2,l=1n=3,l=2ml=0ml=0ml=0ml=1ml=1ml=2含Z 轴的剖面上的电子云示意图综合考虑径向和角向的概率密度分布，得到，可将这种概率密度的空间分布形象化地作成象云一样的图象，空间任何一点上云的密度（图中定性表示为明亮程度）与概率密度成正比。称为电子云图。所谓“电子云”，并非表示一个电子右图为处在几种的概率密度。示在某点发现电子个空间，它只是表同时占据云图的整意图。氢原子的电子云示不同的量子态时，第58页，共62页，编辑于2022年，星期五3.7 宇称宇称宇称是描述微观粒子波函数空间反演对称性的一个物理量 第59页，共62页，编辑于2022年，星期五第60页，共62页，编辑于2022年，星期五谢谢！谢谢！第61页，共62页，编辑于2022年，星期五第62页，共62页，编辑于2022年，星期五