流体运动学和流体动力学基础精选文档.ppt

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1、流体运动学和流体动力学基础本讲稿第一页，共五十七页运动学与动力学运动学与动力学运动学：从几何的观点研究流体的运动，运动学：从几何的观点研究流体的运动，不讨论运动产生的动力学原因。不讨论运动产生的动力学原因。动力学：研究流体运动中各种物理量（速动力学：研究流体运动中各种物理量（速度、加速度、压力等参数）之间的相互关度、加速度、压力等参数）之间的相互关系和流体对周围物体的作用。系和流体对周围物体的作用。本讲稿第二页，共五十七页本章主要内容本章主要内容基本概念基本概念质量守恒定律、动量定理、动量矩定理以质量守恒定律、动量定理、动量矩定理以及能量转换与守恒定律及能量转换与守恒定律连续性方程、动量方程以

2、及能量方程连续性方程、动量方程以及能量方程本讲稿第三页，共五十七页第一节流体运动的描述第一节流体运动的描述、欧拉法（、欧拉法（EulerEulerEulerEuler法法法法 ）以固定空间、以固定空间、固定断面或固定断面或固定点为对固定点为对象。象。基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：考察空间每一点上的物理量及其考察空间每一点上的物理量及其考察空间每一点上的物理量及其考察空间每一点上的物理量及其变化。所谓空间一点上的物理量是指占据该空变化。所谓空间一点上的物理量是指占据该空变化。所谓空间一点上的物理量是指占据该空变化。所谓空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。着眼于间点的流

3、体质点的物理量。着眼于间点的流体质点的物理量。着眼于间点的流体质点的物理量。着眼于某瞬时，整某瞬时，整个流场各空间点处的状态个流场各空间点处的状态。独立变量：独立变量：独立变量：独立变量：空间点坐标和时间的函数空间点坐标和时间的函数空间点坐标和时间的函数空间点坐标和时间的函数注意：流体质点和空间点是二个完全不同的概念。注意：流体质点和空间点是二个完全不同的概念。注意：流体质点和空间点是二个完全不同的概念。注意：流体质点和空间点是二个完全不同的概念。本讲稿第四页，共五十七页第一节流体运动的描述第一节流体运动的描述加速度加速度当地加速度当地加速度迁移加速度迁移加速度本讲稿第五页，共五十七页第一节流

4、体运动的描述第一节流体运动的描述其他物理量的变化率其他物理量的变化率全导数，也称随体导数，表示对时间求导要考虑到质点本身的全导数，也称随体导数，表示对时间求导要考虑到质点本身的运动。运动。当地导数当地导数迁移导数迁移导数本讲稿第六页，共五十七页拉格朗日法（拉格朗日法（Lagrange法法）第一节流体运动的描述第一节流体运动的描述物理概念清物理概念清晰，但处理晰，但处理问题十分困问题十分困难难基本思想：基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，跟踪每个流体质点的运动全过程，跟踪每个流体质点的运动全过程，跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化。记录它们在运动过程中的各物

5、理量及其变化。记录它们在运动过程中的各物理量及其变化。记录它们在运动过程中的各物理量及其变化。着眼于每个个别流体质点运动的研究。着眼于每个个别流体质点运动的研究。着眼于每个个别流体质点运动的研究。着眼于每个个别流体质点运动的研究。独立变量：独立变量：独立变量：独立变量：（a,b,c,ta,b,c,ta,b,c,ta,b,c,t）区分流体质点的标志区分流体质点的标志区分流体质点的标志区分流体质点的标志t t时刻，时刻，a a，b b，c c代表流场中某一质点坐标，不同代表流场中某一质点坐标，不同a a，b b，c c代表不同的流体支点代表不同的流体支点本讲稿第七页，共五十七页第一节流体运动的描述

6、第一节流体运动的描述任一流体质点在任一流体质点在t t时刻的坐标可表示为：时刻的坐标可表示为：给定给定a a，b b，c c时代表时代表给定流体质点的运给定流体质点的运动轨迹；给定动轨迹；给定t t时代时代表表t t时刻各流体质点时刻各流体质点所处的位置。所处的位置。本讲稿第八页，共五十七页第二节流动的分类第二节流动的分类(1)(1)(1)(1)按与时间的关系分：定常与非定常流动按与时间的关系分：定常与非定常流动按与时间的关系分：定常与非定常流动按与时间的关系分：定常与非定常流动 流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，流

7、体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。(2)(2)(2)(2)按与空间的关系分：一维、二维、三维流动按与空间的关系分：一维、二维、三维流动按与空间的关系分：一维、二维、三维流动按与空间的关系分：一维、二维、三维流动 在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一在设定坐

8、标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。(3)(3)(3)(3)按运动状态分按运动状态分按运动状态分按运动状态分 有旋和无旋流动、层流和湍流、亚音速和超音速有旋和无旋流

9、动、层流和湍流、亚音速和超音速有旋和无旋流动、层流和湍流、亚音速和超音速有旋和无旋流动、层流和湍流、亚音速和超音速()按流体性质分按流体性质分按流体性质分按流体性质分理想流体和黏性流体，不可压缩流体和可压缩流体理想流体和黏性流体，不可压缩流体和可压缩流体理想流体和黏性流体，不可压缩流体和可压缩流体理想流体和黏性流体，不可压缩流体和可压缩流体本讲稿第九页，共五十七页定常、非定常流动定常、非定常流动定常、非定常流动定常、非定常流动（steady and unsteady flowsteady and unsteady flow)非定常流动：非定常流动：非定常流动：非定常流动：定常流动：定常流动：定

10、常流动：定常流动：是否定常与所选取的是否定常与所选取的是否定常与所选取的是否定常与所选取的参考系参考系参考系参考系有关。有关。有关。有关。第二节流动的分类第二节流动的分类流动参量不随时间变化流动参量不随时间变化流动参量随时间变化流动参量随时间变化本讲稿第十页，共五十七页一维流动一维流动一维流动一维流动 二维流动二维流动二维流动二维流动 三维流动三维流动三维流动三维流动 第二节流动的分类第二节流动的分类本讲稿第十一页，共五十七页第三节迹线流线第三节迹线流线（）迹线迹线 是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了同一流体质点在不同时刻的空间位置。给出了同一流体质

11、点在不同时刻的空间位置。本讲稿第十二页，共五十七页（2 2 2 2）流线）流线）流线）流线 速度场的矢量线。速度场的矢量线。速度场的矢量线。速度场的矢量线。任一时刻任一时刻任一时刻任一时刻t t t t，曲线上每一点处的切向量，曲线上每一点处的切向量，曲线上每一点处的切向量，曲线上每一点处的切向量 都与该点的都与该点的都与该点的都与该点的速度向量速度向量速度向量速度向量 相切。相切。相切。相切。流线微分方程：流线微分方程：流线微分方程：流线微分方程：本讲稿第十三页，共五十七页流线的几个性质：流线的几个性质：流线的几个性质：流线的几个性质：（1 1 1 1）对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点

12、的流线一般不重合；）对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合；）对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合；）对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合；对于定常流对于定常流对于定常流对于定常流场，流线与迹线重合。场，流线与迹线重合。场，流线与迹线重合。场，流线与迹线重合。（2 2 2 2）流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。）流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。）流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。）流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。（3 3 3 3）流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。）流线的走向反

13、映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。）流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。）流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。迹线和流线的差别：迹线和流线的差别：迹线和流线的差别：迹线和流线的差别：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与LagrangeLagrange观点对应；观点对应；观点对应；观点对应；流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与流线是同一时刻、不同流体质点速度

14、向量的包络线，与流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与EulerEuler观点对应；观点对应；观点对应；观点对应；速度速度速度速度为零的点为驻点，速度为无穷大的点为奇点。为零的点为驻点，速度为无穷大的点为奇点。为零的点为驻点，速度为无穷大的点为奇点。为零的点为驻点，速度为无穷大的点为奇点。本讲稿第十四页，共五十七页例：已知速度vx=x+t，vy=y+t求：在t=0时过（1，1）点的流线。解：（a）流线：积分：t=0时，x=1，y=1c=0流线方程（双曲线）流线方程（双曲线）本讲稿第十五页，共五十七页例：速度场vx=a，vy=bt，vz=0（a、b为常数）求:（a）流线方程及t=0、1

15、、2时流线图；解：（a）流线：积分：oyxc=0c=2c=1t=0时流线oyxc=0c=2c=1t=1时流线oyxc=0c=2c=1t=2时流线流线方程本讲稿第十六页，共五十七页第四节流管流束流量第四节流管流束流量 水利半径水利半径流管流管在流场内作一本身不是流线又不在流场内作一本身不是流线又不相交的封闭曲线，通过这样封闭曲线上各相交的封闭曲线，通过这样封闭曲线上各点流线所构成的管状表面。点流线所构成的管状表面。流束流束流管内部的流体流管内部的流体微小截面的流束为微小截面的流束为微小流束微小流束，微小流束的极限为，微小流束的极限为微元流束（即流线）微元流束（即流线）即流体不能穿过流管，流管就像

16、真正的管子一样将其内外的流体分开。即流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。即流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。即流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。总流总流总流总流管内整股流体。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。管内整股流体。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。管内整股流体。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。管内整股流体。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。缓变流缓变流流线间夹角很小，曲率半径很大的近乎直线的流动。流线间夹角很小，曲率半径很大的近乎直线的流动。反之

17、为急变流反之为急变流本讲稿第十七页，共五十七页体积流量体积流量体积流量体积流量（）：）：）：）：质量流量质量流量质量流量质量流量（）：）：）：）：重量流量重量流量重量流量重量流量（）：）：）：）：流量流量平均流速平均流速单位时间内流经某一规定表面的流体量单位时间内流经某一规定表面的流体量本讲稿第十八页，共五十七页湿周湿周在总流的有效截面上在总流的有效截面上,流体同固体边界接触部分流体同固体边界接触部分的周长。的周长。ACBABCD水力半径水力半径总流的有效截面积与湿周之比总流的有效截面积与湿周之比注意：水力半径与一般圆截面的半径是完全不同的概念。注意：水力半径与一般圆截面的半径是完全不同的概念

18、。本讲稿第十九页，共五十七页第五节 系统 控制体 输运公式系统：系统：一团流体质点的集合。一团流体质点的集合。控制体：控制体：流场中某一确定的空间区域。区域的周界流场中某一确定的空间区域。区域的周界称为控制面。控制体的形状和位置相对所称为控制面。控制体的形状和位置相对所选坐标系是不变的。选坐标系是不变的。系统和控制体分别是系统和控制体分别是Lagrange和和Euler的概念的概念本讲稿第二十页，共五十七页输运公式系统导数的Euler表达表达定理：定理：任一瞬时系统内物理量任一瞬时系统内物理量N 随时间的变随时间的变化率等于该瞬时其控制体内物理量的变化化率等于该瞬时其控制体内物理量的变化率与通

19、过控制面的输运量之和。率与通过控制面的输运量之和。Control surfaceSystemControl surfaceSystem本讲稿第二十一页，共五十七页流入控制体的流流入控制体的流体具有的物理量体具有的物理量流出控制体的流体流出控制体的流体具有的物理量具有的物理量CVCV为控制体为控制体,CS,CS为控制面为控制面输运公式输运公式本讲稿第二十二页，共五十七页输运公式输运公式流体系统的某种物理量的时间变化率等于控制体内流体系统的某种物理量的时间变化率等于控制体内这种物理量的时间变化率加上这种物理量单位时间这种物理量的时间变化率加上这种物理量单位时间经过控制体的净通量。经过控制体的净通量

20、。当地导数当地导数迁移导数迁移导数当地导数当地导数：控制体内这种物理量的时间变化率：控制体内这种物理量的时间变化率迁移导数迁移导数：经过控制面单位时间流出和流进的这种物：经过控制面单位时间流出和流进的这种物理量的插值。理量的插值。本讲稿第二十三页，共五十七页定常流动定常流动本讲稿第二十四页，共五十七页第六节 连续方程质量守恒定律质量守恒定律流体流动连续方程流体流动连续方程为单位质量流体的质量为单位质量流体的质量单位时间内控制体内流体质量的增加（减少）等于同时单位时间内控制体内流体质量的增加（减少）等于同时间内通过控制面流入（流出）的净流体质量间内通过控制面流入（流出）的净流体质量本讲稿第二十五

21、页，共五十七页第六节 连续方程定常流动VaA=常数常数不可压缩定常流动不可压缩定常流动VaA=常数常数通过流管的任意有效截面通过流管的任意有效截面的质量流量是常量的质量流量是常量本讲稿第二十六页，共五十七页例题有一输油管道有一输油管道,在内径为在内径为20cm20cm的截面上的流的截面上的流速为速为2/m/s,2/m/s,求另一内径为求另一内径为5cm5cm的截面上的流的截面上的流速以及管道内的质量流量速以及管道内的质量流量.已知油的密度为已知油的密度为0.850.85。本讲稿第二十七页，共五十七页第七节第七节 动量方程动量方程 动量矩方程动量矩方程 为单位质量流体的动量为单位质量流体的动量为

22、单位质量流体的动量为单位质量流体的动量 动量定理：流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力的动量定理：流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力的动量定理：流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力的动量定理：流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力的矢量和矢量和矢量和矢量和（a）（b）（a）代入（）代入（b）积分形式动量方程积分形式动量方程本讲稿第二十八页，共五十七页第七节第七节 动量方程动量方程 动量矩方程动量矩方程 定常流动定常流动旋转坐标系中的动量方程旋转坐标系中的动量方程本讲稿第二十九页，共五十七页第七节第七节 动量方程动量方程 动量矩方程动量矩方程 动量矩定理：

23、流体系统动量矩的时间变化率等于作用在流体系动量矩定理：流体系统动量矩的时间变化率等于作用在流体系动量矩定理：流体系统动量矩的时间变化率等于作用在流体系动量矩定理：流体系统动量矩的时间变化率等于作用在流体系统上的外力矩的矢量和统上的外力矩的矢量和统上的外力矩的矢量和统上的外力矩的矢量和为单位质量流体动量矩为单位质量流体动量矩积分形积分形式动量式动量矩方程矩方程本讲稿第三十页，共五十七页第七节第七节 动量方程动量方程 动量矩方程动量矩方程 定常流动定常流动应用：离心式泵或风机应用：离心式泵或风机本讲稿第三十一页，共五十七页求流体作用于弯管上的力。求流体作用于弯管上的力。求流体作用于弯管上的力。求流

24、体作用于弯管上的力。方程应用举例方程应用举例p1p2v1v2流量流量Q Qd1d2xy本讲稿第三十二页，共五十七页方程应用举例方程应用举例叶片以匀速叶片以匀速v ve e沿沿x x方向运动，截面积为方向运动，截面积为A0A0的的一股水流沿叶片切线方向射入叶片，并沿一股水流沿叶片切线方向射入叶片，并沿叶片流动，最后从叶片出口流出。设水流叶片流动，最后从叶片出口流出。设水流经过叶片截面积不变，因而流速的大小不经过叶片截面积不变，因而流速的大小不变，只是方向改变。已知变，只是方向改变。已知A A0 0=0.001m2=0.001m2，v v0 0=120m/s=120m/s，v ve e=60m/s

25、=60m/s，出口速度方向与水，出口速度方向与水平夹角为平夹角为1010度，求水流对叶片的反作用力度，求水流对叶片的反作用力以及对叶片所做的功率。以及对叶片所做的功率。本讲稿第三十三页，共五十七页本讲稿第三十四页，共五十七页1 1、倾角、倾角 的斜面涂有厚度的斜面涂有厚度 m m 的的润滑油润滑油.一块重量未知一块重量未知,底面积底面积 的木的木板沿此斜面以等速度下滑，如图所示。如板沿此斜面以等速度下滑，如图所示。如果在板上面加一个重量果在板上面加一个重量 的重物，则的重物，则下滑速度为下滑速度为 。试求润滑油的动力粘。试求润滑油的动力粘性系数性系数.本讲稿第三十五页，共五十七页、有两个同心圆

26、筒，长、有两个同心圆筒，长mm，间，间隙隙 ，间隙内充有密度，间隙内充有密度 ，运动粘性系数，运动粘性系数 的油，内的油，内筒直径筒直径 ，它以角速度，它以角速度 转转动，求施加于内筒的转矩。动，求施加于内筒的转矩。本讲稿第三十六页，共五十七页3 3、如图所示，矩形闸门可绕铰轴转动，求证：、如图所示，矩形闸门可绕铰轴转动，求证：当当 时，闸门在水压力的作用下可以时，闸门在水压力的作用下可以自动开启。自动开启。本讲稿第三十七页，共五十七页、如图所示，一个高、如图所示，一个高H=0.4mH=0.4m，底面半径，底面半径R=0.15mR=0.15m的桶，内盛深的桶，内盛深h=0.3mh=0.3m的水

27、。今使桶以等的水。今使桶以等角速度角速度绕其轴线旋转，试求为使水不溢出的绕其轴线旋转，试求为使水不溢出的最大角速度的值。最大角速度的值。本讲稿第三十八页，共五十七页、已知流场的速度分布为，、已知流场的速度分布为，求点（求点（1 1，2 2，3 3）的流体加速度）的流体加速度 本讲稿第三十九页，共五十七页、已知平面流场的速度分布为、已知平面流场的速度分布为 试求时经过坐标原点的流线方程。试求时经过坐标原点的流线方程。本讲稿第四十页，共五十七页、如题、如题3-133-13图（图（a a）所示，从固定的狭缝喷）所示，从固定的狭缝喷出的二维高速水射流冲击一块倾斜放置的出的二维高速水射流冲击一块倾斜放置

28、的平板，已知射流的截面积，射流速度平板，已知射流的截面积，射流速度，平板倾角，平板倾角，试求下列两种情况下，试求下列两种情况下平板所受的冲击力。平板所受的冲击力。本讲稿第四十一页，共五十七页第八节第八节 能量方程能量方程应用应用:流体在运动中有不同形式能量的变化流体在运动中有不同形式能量的变化,如气体作高速运动如气体作高速运动,加热管道内的流动。加热管道内的流动。本讲稿第四十二页，共五十七页水钟的原理水钟的原理元代漏壶元代漏壶 z本讲稿第四十三页，共五十七页能量守恒与转换定律能量守恒与转换定律流体系统中能量的时间变化率等于单位时间质量力流体系统中能量的时间变化率等于单位时间质量力和表面力对系统

29、所做的功加上单位时间外界与系统和表面力对系统所做的功加上单位时间外界与系统交换的热量。交换的热量。本讲稿第四十四页，共五十七页质量力作功质量力作功表面力作功表面力作功系统交换热量系统交换热量本讲稿第四十五页，共五十七页不考虑与外界热量交换，质量力只有重力的情况不考虑与外界热量交换，质量力只有重力的情况定常流动定常流动管道流动管道流动重力场中绝能定常流积分形式能量方程重力场中绝能定常流积分形式能量方程为为0 0(*)(*)本讲稿第四十六页，共五十七页伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用考虑连续方程考虑连续方程:并对并对(*)(*)积分积分:常数常数伯努利方程伯努利方程:l不可压缩流体不可压缩流体

30、,沿流线单位质量的流体动能、位势能和沿流线单位质量的流体动能、位势能和压强势能之和是常数。压强势能之和是常数。本讲稿第四十七页，共五十七页物理意义单位重量流体的总势能（m）单位重量流体的动能（m）位置水头+压强水头速度水头单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）本讲稿第四十八页，共五十七页总水头线总水头线本讲稿第四十九页，共五十七页ABhH0皮托管皮托管皮托管皮托管Pitot TubePitot Tube Measuring velocityMeasuring velocity A A端为驻点，驻点处压强为驻点压强，或者总压端为驻点，驻点处压强为驻点压强，或者总压总压总压静压静压本讲稿第五十页，

31、共五十七页皮托皮托-静压管静压管本讲稿第五十一页，共五十七页文丘里管文丘里管h12收缩段收缩段扩张段扩张段喉部喉部12h本讲稿第五十二页，共五十七页黏性流体总流的伯努利方程黏性流体总流的伯努利方程v va a为截面平均速度，为截面平均速度，为总流动能修正系数为总流动能修正系数本讲稿第五十三页，共五十七页截面截面A1A1至截面至截面A2A2平均单位重量流体的热力学能增量为：平均单位重量流体的热力学能增量为：hwhw为截面为截面A1A1至截面至截面A2A2平均单位重量流体的能量损失。是由于流体黏性，平均单位重量流体的能量损失。是由于流体黏性，内部切向应力所做的摩擦功损耗了流体的机械能，并转化为热能

32、，反内部切向应力所做的摩擦功损耗了流体的机械能，并转化为热能，反映了机械能损失。映了机械能损失。不可压缩黏性流体总流伯努利方程不可压缩黏性流体总流伯努利方程本讲稿第五十四页，共五十七页总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别（1）z1、z2总流过流断面上同一流线上的两个计算点相对于基准面的高度；（2）p1、p2对应z1、z2点的压强（同为绝对压强或同为相对压强）；（3）v1a、v2a断面的平均流速本讲稿第五十五页，共五十七页hw总水头线总水头线静水头线静水头线本讲稿第五十六页，共五十七页例题离心水泵的体积流量为离心水泵的体积流量为20m20m3 3/h/h，安装高度为，安装高度为5.5m5.5m，吸水管内径，吸水管内径100mm100mm，吸水管的总损失，吸水管的总损失为为0.25m0.25m水柱高度，水池面积足够大，求水水柱高度，水池面积足够大，求水泵进口处的真空。泵进口处的真空。本讲稿第五十七页，共五十七页