两个随机变量函数的分布 (2)PPT讲稿.ppt

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1、概率统计概率统计下页结束返回两个随机变量函数的分布第1页，共45页，编辑于2022年，星期三一、离一、离 散散 型型例例1.已知（已知（X,Y)的联合分布的联合分布律求律求Z=X+Y的概率分布的概率分布.解：解：Z=X+Y的所有可能取值为：的所有可能取值为：-1,0,2,3,5,且且PZ=-1=PX+Y=-1=PX=-1，Y=0=1/10PZ=0=PX+Y=0=PX=-1，Y=1=1/20PZ=2=PX+Y=2=PX=-1，Y=3+PX=2，Y=0=3/20+3/10pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10Z -1 0 2 3 5 1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10-

2、1 2 0 1 3X Y问题：问题：Z=XY 的的概率分布？的的概率分布？下页第2页，共45页，编辑于2022年，星期三例例 2.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，且分别服从参数为相互独立，且分别服从参数为下页与与Poisson分布，令分布，令Z=X+Y，试求随机变量，试求随机变量Z的分布的分布.解：解：由随机变量由随机变量X与与Y的取值都是的取值都是0，1，2，可知随，可知随机变量机变量Z=X+Y的取值也是的取值也是0，1，2，所以，所以第3页，共45页，编辑于2022年，星期三下页由由Poisson分布的定义，知分布的定义，知Z=X+Y服从参数为服从参数为的的Poisson分布分布.第

3、4页，共45页，编辑于2022年，星期三二、连二、连 续续 型型问题：问题：已知已知(X,Y)的联合密度的联合密度f(x,y),求求Z=g(X,Y)的概的概下页率密度率密度fZ(z).一般方法一般方法分布函数法分布函数法(1)先求分布函数先求分布函数 其中其中(2)根据根据 求出密度函数求出密度函数 第5页，共45页，编辑于2022年，星期三例例1.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，其概率密度分别为相互独立，其概率密度分别为下页解：解：由于由于X与与Y相互独立，所以相互独立，所以其它其它求随机变量求随机变量Z=X+Y的概率密度的概率密度第6页，共45页，编辑于2022年，星期三下页其它其它

4、x+y=z当当z0，所以，所以，下页Oz-z第9页，共45页，编辑于2022年，星期三(一一)已知已知(X,Y)的联合密度的联合密度f(x,y),求求Z=X+Y 的概率密的概率密x+y=z下页度度 fZ(z).根据分布函数定义有根据分布函数定义有第10页，共45页，编辑于2022年，星期三对对z求求导导，得得Z的的概概率率密密度度fZ(z)为为 下页由对称性得由对称性得卷积公式：卷积公式：若若X，Y相互独立，则相互独立，则 f(x,y)=fX(x)fY(y)，代入上式，可得代入上式，可得第11页，共45页，编辑于2022年，星期三例例3设设X和和Y是两个互相独立的随机变量，且是两个互相独立的随

5、机变量，且X(0,1)，Y N(0，1)，求，求Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。下页解：解：由于由于X、Y互相独立，由卷积公式互相独立，由卷积公式第12页，共45页，编辑于2022年，星期三 从而有，从而有，Z=X+YN（0，2）。）。一般地一般地（1）若若X1 ，X2N ，X1+X2N下页 (2)如果如果Xi(i=1,2,n)为为 n 个互相独立的随机变个互相独立的随机变量，且量，且 ，则，则且且X1、X2相互独立，则有相互独立，则有 第13页，共45页，编辑于2022年，星期三0 1 x解解:X、Y 的概率密度的概率密度例例4.设设X、Y的相互独立，且都在的相互独立，且都在0，1上服从

6、均匀分布上服从均匀分布,求求Z=X+Y的分布。的分布。下页0 1 u第14页，共45页，编辑于2022年，星期三当当0z1时，时，fZ(z)=当当1z2时，时，fZ(z)=所以所以下页z-1 0 z 1 2 u0 z-1 1 z 2 u第15页，共45页，编辑于2022年，星期三下页另解：另解：由题意，可知由题意，可知设随机变量设随机变量Z的概率密度为的概率密度为fZ(z)，则有，则有第16页，共45页，编辑于2022年，星期三下页所以所以第17页，共45页，编辑于2022年，星期三下页例例5设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，相互独立，X服从区间服从区间(0,1)上的均匀上的均匀分布，分布

7、，Y服从服从l l=1的指数分布，求的指数分布，求Z=X+Y 的概率密度的概率密度.解：解：由题意，可知由题意，可知设随机变量设随机变量Z的概率密度为的概率密度为fZ(z)，则有，则有第18页，共45页，编辑于2022年，星期三下页第19页，共45页，编辑于2022年，星期三另解另解:X、Y 的概率密度的概率密度下页0 u当当0z1时，时，fZ(z)z-1 0 z 1 u第20页，共45页，编辑于2022年，星期三当当z1时，时，fZ(z)=所以所以下页0 z-1 z u第21页，共45页，编辑于2022年，星期三(二二)MaxX,Y及及MinX ,Y的分布的分布Fmax(z)=PMz=Pma

8、x(X,Y)z 问题：问题：设设X,Y相互独立，它们的分布函数分别为相互独立，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),求求M=maxX,Y及及N=minX,Y的分布函数的分布函数=PX z,Yz=PX zPYz=FX(z)FY(z).Fmin(z)=PNz=1-PNz =1-Pmin(X,Y)z=1-PXz,Y z=1-PXzPY z=1-(1-FX(z)(1-FY(z).下页第22页，共45页，编辑于2022年，星期三(三三)Z=X/Y 的分布的分布设设(X,Y)是二维连续型随机变量，概率密度是二维连续型随机变量，概率密度 f(x,y)按定义，有按定义，有其中其中如图如图 x下页求求Z=

9、X/Y的分布的分布第23页，共45页，编辑于2022年，星期三故故 Z=X/Y 的概率密度为的概率密度为当当X、Y相互独立时相互独立时 下页第24页，共45页，编辑于2022年，星期三则则Z=X/Y 的概率密度为的概率密度为当当X、Y相互独立时相互独立时 下页结论：结论：设设(X,Y)是二维连续型随机变量，概率密度是二维连续型随机变量，概率密度 f(x,y)第25页，共45页，编辑于2022年，星期三例例8.设设X、Y相相互互独独立立，都都服服从从正正态态分分布布N(0,1)，试试求求Z=X/Y的概率密度的概率密度 解：解：下页第26页，共45页，编辑于2022年，星期三作业：作业：74页页

10、18，19补充题：补充题：设设X、Y相互独立，相互独立，fX(x)和和fY(y)如下，用卷积如下，用卷积公式求公式求Z=X+Y的概率密度函数。的概率密度函数。结束第27页，共45页，编辑于2022年，星期三解：解：用分布函数法用分布函数法当当0z1时，时，例例6.设设X、Y相互独立相互独立,fX(x)和和fY(y)如下如下,求求Z=X+Y的密的密 度度函数函数.当当z0时，时，Fz(z)=0；下页 由由X、Y相互独立相互独立,得得zzx+y=z11第28页，共45页，编辑于2022年，星期三当当12时，时，Fz(z)=1；所以，所以，第29页，共45页，编辑于2022年，星期三下页补充题：补充题：设设X、Y相互独立，相互独立，fX(x)和和fY(y)如下，用卷积公如下，用卷积公式求式求Z=X+Y的概率密度函数。的概率密度函数。解:第30页，共45页，编辑于2022年，星期三下页补充题：设X、Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数。解:第31页，共45页，编辑于2022年，星期三