教育专题：垂径定理 (5).ppt

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1、垂直于弦的直径垂直于弦的直径OABCDM圆的对称性圆的对称性n圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？.想一想想一想是是。圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线。圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它它有无数条对称轴有无数条对称轴.O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题.n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心.用旋转的方法即可解决这个用旋转的方法即可解决这个问题问题.圆的相关概念圆的相关概念n圆上圆上任意两点间的部分叫做任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧.n直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫每一部分都叫做半圆

2、做半圆(如弧如弧ABC).读一读读一读n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).On经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABn小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用两个字母用两个字母).AmBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCmDAM=BM,垂径定理垂径定理nAB是是 O的一条弦的一条弦.n你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?做一做做一做n作直径作直径CD,

3、使使CDAB,垂足为垂足为M.On左图是轴对称图形吗左图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n小明发现图中有小明发现图中有:ABCDMn由由 CD是是直直径径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理n如图如图,小明的理由是小明的理由是:n连接连接OA,OB,OA,OB,做一做做一做OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和B

4、C重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理三种语言三种语言定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.n老师提示老师提示:n垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.想一想想一想OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.CDAB,垂径定理的垂径定理的逆定理逆定理nAB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.n你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?做一做

5、做一做n过点过点M作直径作直径CD.On左图是轴对称图形吗左图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n小明发现图中有小明发现图中有:CDn由由 CD是是直直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MAB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的垂径定理的逆定理逆定理n如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.想

6、一想想一想OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经

7、过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且并且平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于垂直于弦弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.CD是直径是直径,CDAB,AM=BM,AC=BC,AD=BD.1.判断判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直

8、于弦，并且经过圆心经过圆心.()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）挑战自我挑战自我2.按图填空：在按图填空：在 O中，中，（1）若）若MNAB，MN为直径，则为直径，则_，_，_；（2）若）若ACBC，MN为直径，为直径，AB不是直径，则不是直径，则则则_，_，_；（3）若）若MNAB，ACBC，则，则_，_，_；（4）若）若 ，MN为直径，则为直径，则_，_，_AM

9、=MB例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的的半径。半径。.AEBO讲解讲解例例2 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。E.ACDBO讲解讲解例例3 已知：已知：O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD.MCDABON讲解讲解挑战自我挑战自我垂径定理的推论垂径定理的推论 n如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗?n老师提示

10、老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.n已知：已知：O的半径为的半径为5，弦，弦ABCD，AB=6，CD=8.求：求：AB与与CD间的距离间的距离.小结小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO试试一试一试挑战自我挑战自我n如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGH