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1、测量误差理论与数据处理本讲稿第一页，共九十九页概念：为确定被测对象的量值而进行 的实验过 程。测量本讲稿第二页，共九十九页计量：为了保证量值的统一和准确一致的一种测量，具有统一性、准确性和法制性等三大主要特征。计量器具：按用途分为计量基准、计量标准和工作用计量器具三类。计量基准：分为国家基准、副基准和工业基准。计量标准：分标准器具和标准物质两类。计量本讲稿第三页，共九十九页电子测量广义说：凡是利用电子技术来进行的测量都可以说是电子测量。狭义说：是指在电子学中测量有关电的量值。通常包括以下几个方面的内容：1、电能量的测量，如电流、电压、电功率等。2、信号的特性及所受干扰的测量，如信号的波形和失真

2、度、频率、相位、脉冲参数、调制度、信号频谱、信噪比等。3、元件和电路参数的测量，如电阻、电感、电容、频率响应、通带宽度、品质因数、增益等。本讲稿第四页，共九十九页电子测量特点1、测量频率范围极宽，低端可测直流，测交流时可低至10-410-5 Hz，高端可至100GHz左右。2、量程很广。3、测量准确度高。4、测量速度快。5、易于实现遥测和长期不间断测量，显示方式可以做到清晰、直观。6、易于利用计算机，形成电子测量与计算技术的紧密结合。本讲稿第五页，共九十九页电子测量的应用广泛应用于自然科学的一切领域：大到天文观测、宇宙航天，小到物质结构、基本粒子；从复杂深奥生命、细胞、遗传问题 到日常的工农业

3、生产、医学、商业各部门，都越来越多地采用电子测量和设备。电子测量技术的发展与自然科学特别是电子技术的发展互相促进、互相推动。本讲稿第六页，共九十九页本课程的任务1.了解电子测量中最基本的测量原理和测量方法；2.具备一定的测量误差分析和测量数据处理能力；3.对现代新技术在电子测量中的应用有一定的了解；4.对频率、电压等常用电学量的计量方法具备一定的知识。本讲稿第七页，共九十九页第二章 测量误差理论与数据处理第一节 测量误差的基本概念第二节 测量误差的估计和处理第三节 测量误差的合成与分配第四节 测量数据处理本讲稿第八页，共九十九页第一节 测量误差的基本概念 真值：一个量在被观测时，该量本身具有的

4、真实大小称为真值。一、测量误差的定义 测量误差：就是测量结果与被测量真值的差别。通常可分为 绝对误差和相对误差两种。二、测量误差的分类 根据测量误差的性质和特点，可将它们分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。三、测量误差对测量结果的影响本讲稿第九页，共九十九页绝对误差：又叫作绝对真误差，可表示为：x=xx0 绝对误差的大小和符号分别表示了给出值偏离真值的程度和方向。实际值：满足准确度要求，用来代替真值使用的量值。修正值C：与绝对误差大小相等、符号相反的量，即 C=x0 x本讲稿第十页，共九十九页 相对误差：又叫作相对真误差，它是绝对误差与真值的比值，通常用百分数表示。即 （xx0）100%分

5、贝误差：在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差，它实质上是相对误差的另一种表示形式。例如某有源网络的电压传输函数为A0，则该传输函数可用分贝表示为 A0dB=20lg A0 dB 当测量中存在误差时，测得的传输函数偏离A0dB一个数值dB，即 AdB=A0dB+dB本讲稿第十一页，共九十九页分贝误差dB与相对误差关系：由A=A0+A可得 AdB=20lg（A0+A）dB =20lg A0（1+A A0）dB =20lg A0 dB+20lg（1+A A0）dB =A0dB+20lg（1+）dB与式AdB=A0dB+dB比较，可得分贝误差为 dB=20lg（1+）dB同理，当A为功率

6、传输函数时，有 dB=10lg（1+）dB本讲稿第十二页，共九十九页 例例1 某单级放大器电压增益的真值A0为100，某次测量时测得的电压增益A=95，求测量的相对误差和分贝误差。解解 先求得增益的绝对误差为 A=AA0 =95 100=5 则相对误差为 =A A0=5 100=5%分贝误差为 dB=20lg（1+）dB =20lg（1 0.05）dB =0.446 dB本讲稿第十三页，共九十九页 引用相对误差：又叫满度相对误差，即 n xxm 常用电工仪表分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七级，分别表示它们的引用相对误差所不超过的百分比。判断：检定一个1.5级100m

7、A的电流表，发现在50mA处的误差最大，为1.4mA，其它刻度处的误差均小于1.4mA，问这块电流表是否合格？本讲稿第十四页，共九十九页 实际测量时如何选取量程？设某仪表的等级是 s 级，其满刻度值为xm，被测量的真值为x0，则测量的绝对误差 x xm.s%可见，仪表等级选定后，测量中绝对误差的最大值与满刻度值成正比。测量的相对误差为 （xm.s%）x0可见,仪表等级选定后，x0越接近xm，测量中相对误差的最大值越小，测量越准确。因此，实际测量时，在一般情况下应使被测量的数值尽可能在仪表满刻度的23以上。本讲稿第十五页，共九十九页系统误差 系统误差的定义：在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝

8、对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规律而变化的误差称为系统误差。恒值系统误差：不随某些测量条件而变化的系统误差。造成系统误差的原因很多，常见的有：测量设备原因（测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置和使用不当等）；测量环境原因（温度、湿度、电源电压变化、周围电磁场的影响等）；测量方法原因；测量人员的原因（感觉器官不完善、生理上的最小分辨能力限制、不正确的测量习惯等）。本讲稿第十六页，共九十九页电流表电压表电流表电压表(A)RR(B)图2-2 测量电阻中的电压和电流时存在的方法误差方法误差举例本讲稿第十七页，共九十九页随机误差 随机误差的定义：在实际相同条件下多次测量同一量

9、时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差。造成随机误差的根源：由那些对测量值影响较微小，又互不相关的多种因素共同造成。如热骚动、噪声干扰、电磁场的微变、空气扰动、大地微振等。随机误差的特点：1.有界性（多次测量中，随机误差的绝对值不会超过一定的界限）；2.对称性（绝对值相等的正负误差出现的机会相同）；3.抵偿性（随机误差的算术平均值随着测量次数n的无限增加而趋近于零）。本讲稿第十八页，共九十九页粗大误差 粗大误差的定义：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差，又称寄生误差。造成粗大误差的主要原因：读数错误、测量方法错误、测量仪器有缺陷。粗大误差明显地歪曲了测量结果，对应的

10、测量结果称为坏值，应剔除不用。本讲稿第十九页，共九十九页测量误差对测量结果的影响 1.测量数据的数学期望和方差 （1）测量值为离散值时的数学期望和方差 若测量值X可能的取值数m为有限个或无穷可数个离散值，当进行了足够多次的测量时，根据概率论中的贝努力定理可知，事件发生的频率nin依概率收敛于它的概率Pi，即当测量次数n 时，可以用事件发生的频率nin代替事件发生的概率Pi（i=1 m）。这时，测量值X的数学期望为 本讲稿第二十页，共九十九页M（X）=xiPi=xinin(当n )i=1mi=1m 若每个测量值只得到一次，或者对每次测量结果单独统计，认为n次测量得到n个测量值，而不考虑这些结果中

11、有无相同的情况。当测量次数n 时，用测量值出现的频率1n代替概率Pi，则得到测量值X的数学期望为 M（X）=xi （当n ）n1i=1n 可见，测量值的数学期望就是当测量次数 n 时，它的各次测量值的算术平均值x。本讲稿第二十一页，共九十九页 测量值的数学期望反映了测量值平均的情况。而测量数据的离散程度通常用测量值的方差2(X)来反映。若离散值可能的取值数目为m种,当测量次数n 时，第i种取值的概率Pi可用事件发生的频率nin代替，其中i=1 m。这时测量值的方差为2(X)=xi M(X)2 Pi =xi M(X)2 （当n ）i=1i=1mmnni本讲稿第二十二页，共九十九页 若每个测量值只

12、得到一次，或者对每次测量结果单独统计，认为n次测量得到n个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况。当测量次数n 时，用测量值出现的频率1n代替概率Pi，则得到测量值X的方差为 2(X)=xi M(X)2 （当n ）n1i=1n 方差的算术平方根(X)叫作标准方差,又叫均方根差。(X)越小，测量值越集中，离散程度越小。本讲稿第二十三页，共九十九页 （2）测量值为连续值时的数学期望和方差 若测量值的取值在它所在区间内是连续的，则可能取值有无穷多个，对应于某个取值的概率趋近于零，故需要用到概率密度。设测量值X落在区间(x，x+x)内的概率密度为P(xX x+x)，当x趋近于零时，若P(xX x+x

13、)与x之比的极限存在，就把它称为测量值X在x点的概率密度，记为(x)。(x)=lim P(xX x+x)xx本讲稿第二十四页，共九十九页则测量值X的数学期望为 M（X）=x(x)dx0则测量值X的方差为 2(X)=xM（X）2(x)dx0本讲稿第二十五页，共九十九页2.测量误差对测量结果的影响 一般地说,任何一次测量误差都是由系统误差和随机误差共同组成的。在确定条件下，对被测量 x 的第 i 次测量的误差为 x i=x i x0=i 上式中为系统误差，在测量条件不变时不变。当测量次数n时，对n次测量结果取平均值，则 x i=+i nn11i=1i=1nn本讲稿第二十六页，共九十九页 由于随机误

14、差的抵偿性，当n时，i的平均值等于零。于是 =x i （当n ）nn1i=1 将x i=x i x0 代入上式，则 =（x i x0）（当n ）=M（X）x0 由于x i=x i x0=i i=x i（x0）i=x i M（X）n1ni=1本讲稿第二十七页，共九十九页结论：1.对于同时存在随机误差和系统误差的测量数据，只要测量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的系统误差。2.系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。当不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值。3.某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量值的数学期望之差。即随机误差使测量值偏离数学期望。下面用图

15、来表示测量误差对测量结果的影响本讲稿第二十八页，共九十九页 XM（X）=x0ix i不存在系统误差时 Xx0ix iM（X）存在随机误差和系统误差时 Xx0ix iM（X）x k（坏值）三种误差同时存在时测量误差对测量结果的影响本讲稿第二十九页，共九十九页测量结果的正确度、精密度和准确度 在剔除粗大误差后，随机误差可通过多次测量取平均的方法来消除，故系统误差越小，测量结果越正确。正确度：用系统误差作为衡量测量是否正确的尺度，称为正确度。即正确度是表示测量结果中系统误差大小的程度。随机误差的大小可用均方根差(X)来衡量，(X)越小，测量值越集中。精密度：用来表示测量结果中随机误差大小的程度，简称

16、精度。准确度：用来表示测量结果与真值的一致程度，是测量结果中系统误差与随机误差的综合。本讲稿第三十页，共九十九页第二节 测量误差的估计和处理一、随机误差的影响及统计处理二、用统计学方法剔除异常数据三、处理系统误差的一般方法本讲稿第三十一页，共九十九页1、测量数据的正态分布、测量数据的正态分布 由概率论中的中心极限定理可知，只要构成随机变由概率论中的中心极限定理可知，只要构成随机变量总和的各独立随机变量的数目足够多，而且每个随机量总和的各独立随机变量的数目足够多，而且每个随机变量对总和的影响足够小，随机变量总和的分布规律就变量对总和的影响足够小，随机变量总和的分布规律就可认为是正态分布。可认为是

17、正态分布。测量中的随机误差通常是多种因素造成的许多微小测量中的随机误差通常是多种因素造成的许多微小误差的总和，因而测量中随机误差的分布及在随机误差误差的总和，因而测量中随机误差的分布及在随机误差影响下测量数据的分布大多接近于服从正态分布。影响下测量数据的分布大多接近于服从正态分布。测量随机误差及测量数据的正态分布曲线如下图所示测量随机误差及测量数据的正态分布曲线如下图所示:一、随机误差的影响及统计处理本讲稿第三十二页，共九十九页0()M(X)X(X)0随机误差和测量数据的正态分布(a)(b)本讲稿第三十三页，共九十九页结论：（1）测量值对称地分布在被测量的数学期望两侧，绝对值小的随机误差出现的

18、概率大，而绝对值大的随机误差出现的概率小；（2）测量数据的分散程度可用标准方差来表示；（3）绝对值很大的随机误差出现的概率趋近于零，即可认为测量值有一个实际界限。本讲稿第三十四页，共九十九页2、用有限次测量数据估计测量值的数学期望和标准偏差、用有限次测量数据估计测量值的数学期望和标准偏差（1）n次测量值的平均值的性质次测量值的平均值的性质 对于某被测量进行一系列独立的等精密度的测量，从统计观点看，这对于某被测量进行一系列独立的等精密度的测量，从统计观点看，这一系列测量值的分布形状完全是确定的，即只要测量系统、测量条件和被一系列测量值的分布形状完全是确定的，即只要测量系统、测量条件和被测量不变，

19、那么这一系列测量就具有相同的数学期望和标准偏差：测量不变，那么这一系列测量就具有相同的数学期望和标准偏差：M x1=M x2 =M xn =M X x1=x2 =xn =X 由概率论中有关定理可知：几个随机变量之和的数学期望等于各随机由概率论中有关定理可知：几个随机变量之和的数学期望等于各随机变量的数学期望之和；几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量的数学期望之和；几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和。故有：变量方差之和。故有：本讲稿第三十五页，共九十九页 M（x）=M（xi ）=M（xi）=n M（X）=M（X）n1i=1ni=1nn1n1 可见：有限次测量值的

20、算术平均值的数学期望就等于被测量X的数学期望。本讲稿第三十六页，共九十九页 这表明：n次测量值平均值的方差为被测量X的方差的1/n；平均值的标准偏差为被测量X标准偏差的1/。平均值的标准偏差是描述大量平均值的离散程度的。如果每个平均值都由n个标准偏差为(X)的数据平均而成，则n越大，平均值的离散程度越小。这就是用统计平均的方法减弱随机误差影响的理论依据。n同理易得：x=(X)或 x=(X)n11 n本讲稿第三十七页，共九十九页（2）用有限次测量的数据来估计测量值的数学期望 若用 来作为未知参数x的估计值，那么如何判断这种估计是否恰当？最常用的有两个原则：估计的一致性及无偏性。x（a）当样本容量

21、n无限增大时，若估计值 依概率收敛于x，则称 为x的一致估计值。这种估计叫一致估计或协调估计。xxx（b）若估计值 的数学期望等于x，则称 为x的无偏估计值。这种估计叫无偏估计。x 根据上述原则，可用n次测量值的算术平均值x 来估计测量值的数学期望M（X）。本讲稿第三十八页，共九十九页（3）用有限次测量的数据来估计测量值的方差这里给出贝塞尔公式：2(X)n-1=vi2i=1n(X)vi2i=1nn-1=（vi=xi-x）（vi=xi-x）式中vi称为残差或剩余误差。本讲稿第三十九页，共九十九页3、测量结果的置信问题、测量结果的置信问题（1）置信概率与置信区间 根据某种条件下多次测量数据的分散情

22、况，知道了这种测量的标准偏差X，当我们测得一个测量值x后，希望根据这个测量值估计被测量的数学期望在什么范围？即求数学期望可能处于x附近某确定区间 x-cX,x+cX内的概率是多少，这里c是一个指定系数。这里，数学期望不是随机变量，不存在通常意义上的概率问题。上述所说置信问题上的概率称为置信概率，所对应的确定区间称为置信区间。（2）服从正态分布的测量值在对称区间的置信概率 一般通过查正态分布在对称区间的积分表的方法求解。本讲稿第四十页，共九十九页 例 已知某被测量的测量值服从正态分布，测量中系统误差可以忽略。分别求出置信区间为真值附近的三个区间x0 (X)，x0 2(X)，x0 3(X)时的置信

23、概率。解 由于测量的系统误差可以忽略，则被测量的真值x0就等于数学期望M(X)，置信区间M(X)c (X)分别为x0 (X)，x0 2(X)，x0 3(X)，则系数c分别为1、2、3。查表可得置信概率分别为：P|x-x0|(X)=P|Z|1=68.3%P|x-x0|2(X)=P|Z|2=95.5%P|x-x0|3(X)=P|Z|c时，就将数据xi剔除不用。(X)(X)(X)(X)本讲稿第四十三页，共九十九页三、处理系统误差的一般方法1、处理系统误差应注意的几个方面：（1）设法检验系统误差是否存在；（2）分析可能造成系统误差的原因，并在测量之前尽力消除之；（3）在测量过程中尽量采取某些技术措施，

24、尽力消除或减弱系统误差的影响；（4）设法估计出残存的系统误差的数值或范围。本讲稿第四十四页，共九十九页系统误差恒值系差变值系差线性系差周期性系差不定系差2、系统误差表现形式：本讲稿第四十五页，共九十九页3、系统误差的判别 最常用的判据有两种：马利科夫判据和阿卑-赫梅特判据。（1）马利科夫判据 判别线性系差（累进性系差）把n次等精密度测量的残差按测量条件的变化顺序排列为v1、v2、vn，然后把n个残差分成前后两部分并求其差值M：M=vi vi （n为偶数时）M=vi vi （n为奇数时）i=1n/2n/2+1ni=1(n-1)/2(n+3)/2n 当测量中含有累进性误差时，则前后两部分残差明显不

25、同，因而M明显地不为0。通常M的绝对值不小于最大残差绝对值时就可认为有累进性误差。本讲稿第四十六页，共九十九页（2）阿卑-赫梅特判据 先按顺序把残差两两相乘，然后取和的绝对值，并求出测量数据的方差（通常用估计值代替），如果满足：|vi vi+1|2(X)则可认为测量中存在变值系差。i=1n-1n-1本讲稿第四十七页，共九十九页4、测量前尽力消除产生系统误差的来源 （1）尽力避免测量仪器产生系统误差：正确安装和放置仪器；注意仪器的正确使用条件和方法；定期对仪器进行检定和校准。（2）尽力消除测量环境对测量的影响：如温度、电磁场、振动等。（3）尽力消除测量人员主观原因造成的系统误差：业务技术水平、工

26、作责任心、疲劳程度、仪器选用等。本讲稿第四十八页，共九十九页5、消除或减弱系统误差的典型测量技术（1）零示法：目的：消除指示仪表不准而造成的误差。方法：使被测量对指示仪表的作用与某已知的标准量对它的作用相互平衡，从而使指示仪表示零，这时被测量就等于已知的标准量。用零示法测未知电压本讲稿第四十九页，共九十九页（2）代替法（置换法）在测量条件不变的情况下，用一个标准已知量去代替被测量，并调整标准量使仪器的示值不变，则被测量就等于标准量的数值。这种方法的好处是：在代替过程中，仪器的状态和示值都不变，那么仪器的误差和其它造成系统误差的因素对测量结果基本上不产生影响。用代替法求未知电阻本讲稿第五十页，共

27、九十九页（3）交换法（对照法）交换法（对照法）当估计由于某些因素可能使测量结果产生单一方向的系统当估计由于某些因素可能使测量结果产生单一方向的系统误差时，我们可以进行两次测量：利用交换被测量在测量系统误差时，我们可以进行两次测量：利用交换被测量在测量系统中的位置或测量方向等办法，设法使两次测量中误差源对被测中的位置或测量方向等办法，设法使两次测量中误差源对被测量的作用相反。对照两次测量值，可以检查出系统误差的存在，量的作用相反。对照两次测量值，可以检查出系统误差的存在，对两次测量值取平均值，将大大削弱系统误差的影响。对两次测量值取平均值，将大大削弱系统误差的影响。（4）微差法）微差法 零示法要

28、求被测量与标准量完全相同。但在实际中标准量零示法要求被测量与标准量完全相同。但在实际中标准量不一定是连续可调的，这时只要标准量与被测量差别较小，也不一定是连续可调的，这时只要标准量与被测量差别较小，也会使仪表误差对测量的影响大大减弱。会使仪表误差对测量的影响大大减弱。本讲稿第五十一页，共九十九页 设被测量为设被测量为x，和它相近的标准量为，和它相近的标准量为B，被测量与标准量的微，被测量与标准量的微差为差为A，A的数值可由指示仪表读出。则的数值可由指示仪表读出。则 x=B+A xx Bx Ax+=BA+B AA Ax=+由于由于AB，故，故A+B B，可得测量误差为：，可得测量误差为：xx=B

29、B+AA Ax很小很小本讲稿第五十二页，共九十九页第三节第三节 测量误差的合成与分配测量误差的合成与分配 实际测量中，测量误差常常是由许多因素产生的；实际测量中，测量误差常常是由许多因素产生的；在间接测量中，测量误差与各个直接测量量有关。在间接测量中，测量误差与各个直接测量量有关。当某项误差与若干分项有关时，这项误差称为总误差，各当某项误差与若干分项有关时，这项误差称为总误差，各分项的误差都叫分项误差或部分误差。分项的误差都叫分项误差或部分误差。测量误差的合成测量误差的合成测量误差的分配测量误差的分配最佳测量方案的选择最佳测量方案的选择本讲稿第五十三页，共九十九页一、测量误差的合成一、测量误差

30、的合成（一）误差传递公式（一）误差传递公式 总误差与分项误差的关系是各种各样的，如和差关系、积总误差与分项误差的关系是各种各样的，如和差关系、积商关系、乘方开方关系、指数对数关系等。误差传递公式是一商关系、乘方开方关系、指数对数关系等。误差传递公式是一个普遍适用的公式，不涉及具体情况。个普遍适用的公式，不涉及具体情况。设某量设某量y由两个分项由两个分项x1，x2合成合成 y=f（x1，x2）若在若在y0=f（x10，x20）附近各阶偏导数存在，则可把）附近各阶偏导数存在，则可把y展开成展开成台劳级数：台劳级数：本讲稿第五十四页，共九十九页y=f(x1，x2)=f(x10，x20)+(x1x10

31、)+(x2x20)+(x1x10)2+2 (x1x10)(x2x20)+(x2x20)2 +2f x1 x2 f x1 f x212！2f x12 2f x22 用用 x1=(x1x10)及及 x2=(x2x20)分别表示分别表示x1及及x2分项分项的误差，由于的误差，由于 x1 x1 及及 x2 x2 则台劳级数中高阶小则台劳级数中高阶小量可以忽略，总误差为：量可以忽略，总误差为：y=y y0=y f(x10，x20)=x1+x2 f x1 f x2本讲稿第五十五页，共九十九页同理，当总合同理，当总合y由由m个分项合成时，可得个分项合成时，可得 y=xj （绝对误差传递公式）（绝对误差传递公

32、式）f xjj=1m由此易得，相对误差传递公式为：由此易得，相对误差传递公式为：y=xjlnfxjj=1m本讲稿第五十六页，共九十九页 例例 用间接测量法测电阻消耗的功率，若电阻、电用间接测量法测电阻消耗的功率，若电阻、电压和电流的测量相对误差分别为压和电流的测量相对误差分别为 R/R、V/V和和 I/I，问所求功率的相对误差为多少？问所求功率的相对误差为多少？解解 方案方案1：用公式：用公式 P=IV 由绝对误差传递公式，有由绝对误差传递公式，有 P=I+V=V I+I V则功率的相对误差为则功率的相对误差为 P=P/P=（V I+I V）/（VI）=I+V P I P V本讲稿第五十七页，

33、共九十九页 方案方案2：用公式：用公式 P=V2/R 由绝对误差传递公式，有由绝对误差传递公式，有 P=V+R=2V V/R+V2 R/R2则功率的相对误差为则功率的相对误差为 P=P/P=2 V R P V P R 方案方案3：用公式：用公式 P=I2R 由绝对误差传递公式，有由绝对误差传递公式，有 P=I+R=2IR I+I2 R则功率的相对误差为则功率的相对误差为 P=P/P=2 I +R P I P R本讲稿第五十八页，共九十九页（二）系统误差的合成（二）系统误差的合成 当测量中各随机误差可以忽略，且各分项系统误当测量中各随机误差可以忽略，且各分项系统误差为确定性系统误差时，由误差传递

34、公式容易推得：差为确定性系统误差时，由误差传递公式容易推得：y=j即总合的系统误差可由各分项系统误差合成。即总合的系统误差可由各分项系统误差合成。f xjj=1m本讲稿第五十九页，共九十九页（三）随机误差的合成（三）随机误差的合成 当测量中各分项系统误差为零时，忽略非线性关当测量中各分项系统误差为零时，忽略非线性关系的影响，可以认为总合也没有系统误差，则由误差系的影响，可以认为总合也没有系统误差，则由误差传递公式容易推得：传递公式容易推得：y=j当测量次数当测量次数n n 时时 f xjj=1m2 2(X)=(X)=x xi i M(X)M(X)2 2=i2n n1 1i=1i=1n nn n

35、1 1i=1i=1n n本讲稿第六十页，共九十九页 2 2(y)=()(y)=()2 2 2 2(xj)j=1j=1m m 于是可得方差的合成公式为：于是可得方差的合成公式为：f xj 注意：上式仅适用于对注意：上式仅适用于对m项相互独立的分项测量结项相互独立的分项测量结果进行总合。果进行总合。本讲稿第六十一页，共九十九页（四）不确定度的合成（四）不确定度的合成 系统不确定度：不能确切掌握的系统误差可能变化的最系统不确定度：不能确切掌握的系统误差可能变化的最大幅度称为系统不确定度。大幅度称为系统不确定度。随机不确定度：随机误差总是在一个范围内随机变随机不确定度：随机误差总是在一个范围内随机变化

36、的，随机变化的最大幅度称为随机不确定度，通常以化的，随机变化的最大幅度称为随机不确定度，通常以标准偏差的若干倍表示。标准偏差的若干倍表示。由于误差是不确定的，误差变化的最大幅度也不由于误差是不确定的，误差变化的最大幅度也不是绝对不能超过的，而是就一定的置信概率而言的。是绝对不能超过的，而是就一定的置信概率而言的。如置信概率为如置信概率为99%，则从统计意义来讲，误差的变化范围，则从统计意义来讲，误差的变化范围有有99%的可能不大于不确定度规定的范围。的可能不大于不确定度规定的范围。本讲稿第六十二页，共九十九页 1、系统不确定度的合成、系统不确定度的合成 （1）绝对值合成法）绝对值合成法 从最坏

37、的情况出发，认为从最坏的情况出发，认为m个分项中各分项的不确定度个分项中各分项的不确定度同时取正值或同时取负值，则总合的不确定度为各分项不同时取正值或同时取负值，则总合的不确定度为各分项不确定度绝对值的合成，即确定度绝对值的合成，即 y=j f xjj=1m本讲稿第六十三页，共九十九页 实际上，每一个分项取正或取负的概率为实际上，每一个分项取正或取负的概率为1/2，故，故m个相互独立的不确定度都取正或都取负的概率为个相互独立的不确定度都取正或都取负的概率为(1/2)m。当当m较大时，同号的概率很小。较大时，同号的概率很小。在一般情况下，正负误差抵消的结果，使总合误在一般情况下，正负误差抵消的结

38、果，使总合误差的不确定度小于绝对值合成法的结果。差的不确定度小于绝对值合成法的结果。可见，绝对值合成法仅用于估计分项数目较少的总合可见，绝对值合成法仅用于估计分项数目较少的总合不确定度。不确定度。本讲稿第六十四页，共九十九页 例例已知已知DYC-5超高频电子管电压表在测量交流电超高频电子管电压表在测量交流电压时的技术指标如下：压时的技术指标如下：1）测量电压范围：）测量电压范围：0.1100V，分五档，各档满度电，分五档，各档满度电压为压为1，3，10，30，100V；频率范围频率范围20Hz300MHz；在环境温度（在环境温度（20 5）C及频率及频率50Hz时各档满度测量时各档满度测量基本

39、误差为基本误差为 2.5%；2）在）在015 C及及2540 C附加误差为附加误差为 2.5%；3）频率附加误差为）频率附加误差为 20Hz100MHz 3%100200MHz 5%200300MHz 10%现在欲测量现在欲测量5V、150MHz的高频电压，环境温度为的高频电压，环境温度为32 C，求测量误差的不确定度。，求测量误差的不确定度。本讲稿第六十五页，共九十九页 解解 已知满度相对误差为已知满度相对误差为 n=，在测量，在测量5V电电压时的满度电压为压时的满度电压为10V，故测量的基本相对误差的最大值，故测量的基本相对误差的最大值为：为：V0/V=n Vm/V=10/5=又知频率附加

40、误差又知频率附加误差 Vf /V=，温度附加误差为，温度附加误差为 Vt/V=，从最不利的情况出发，认为各误差是同方向，从最不利的情况出发，认为各误差是同方向相加的，则总合的不确定度为相加的，则总合的不确定度为 V/V=|V0/V|+|Vf/V|+|Vt/V|=+=1 显然，用绝对值合成法求总合的不确定度比较安全，显然，用绝对值合成法求总合的不确定度比较安全，但却偏于保守。但却偏于保守。本讲稿第六十六页，共九十九页 （2）均方根合成法）均方根合成法 当分项数目较多而系统误差的大小和方向不能确切掌握当分项数目较多而系统误差的大小和方向不能确切掌握时，如果能知道各分项的误差分布形状和不确定度时，如

41、果能知道各分项的误差分布形状和不确定度 j，则可，则可对系统误差定义一个表征项对系统误差定义一个表征项u(xj)u(xj)=j/Kj 式中式中Kj与误差的分布形状有关（见与误差的分布形状有关（见P78表表2-1）。）。u(xj)与标准偏差类似，但不能因多次测量取平均值而减小。仿与标准偏差类似，但不能因多次测量取平均值而减小。仿照随机误差的标准方差合成公式，有照随机误差的标准方差合成公式，有 u u2 2(y)=()(y)=()2 2 u u2 2(xj)j=1j=1m m f xj本讲稿第六十七页，共九十九页 最后最后,根据总合的分布形状求出总合的不确定度根据总合的分布形状求出总合的不确定度

42、y=Ky u(y)=Ky ()()2 2(j/Kj)2 2 j=1j=1m m f xj 上式从理论上来说比较严格，但实用上比较困难，通上式从理论上来说比较严格，但实用上比较困难，通常有两种常用方法估计总合的不确定度：常有两种常用方法估计总合的不确定度：本讲稿第六十八页，共九十九页 第一种方法：假设第一种方法：假设 Ky=Kj，则，则 ()()2 2 j 2 2 j=1j=1m m f xj y=这种方法中的假设并不合理（这种方法中的假设并不合理（Ky 常常大于常常大于 Kj），），按此估计的总合不确定度可能偏小，有一定的冒险，但按此估计的总合不确定度可能偏小，有一定的冒险，但由于计算简便而常

43、用到。由于计算简便而常用到。第二种方法：对不能确切掌握分布形状的分项误第二种方法：对不能确切掌握分布形状的分项误差均认为是均匀分布，即差均认为是均匀分布，即Kj取取 3 ，而总合的分布介，而总合的分布介于均匀分布与正态分布之间，即于均匀分布与正态分布之间，即Ky取（取（3 3），当），当分项数目较少时，分项数目较少时，Ky取小些，当分项数目较大时，取小些，当分项数目较大时，Ky取大些。取大些。本讲稿第六十九页，共九十九页 于是有于是有 y=（）()()2 2(j/Kj)2 2 j=1j=1m m f xj 由于常常并不掌握各分项误差的变化规律，因此采用由于常常并不掌握各分项误差的变化规律，因此

44、采用均匀分布来估计各分项误差是比较合理的。这种方法的估均匀分布来估计各分项误差是比较合理的。这种方法的估计结果比较接近实际情况。计结果比较接近实际情况。本讲稿第七十页，共九十九页 例例已知已知DYC-5超高频电子管电压表在测量交流电压时超高频电子管电压表在测量交流电压时的技术指标如下：的技术指标如下：1）测量电压范围：）测量电压范围：0.1100V，分五档，各档满，分五档，各档满度电压为度电压为1，3，10，30，100V；频率范围频率范围20Hz300MHz；在环境温度（在环境温度（20 5）C及频率及频率50Hz时各档满度测时各档满度测量基本误差为量基本误差为 2.5%；2）在）在015

45、C及及2540 C附加误差为附加误差为 2.5%；3）频率附加误差为）频率附加误差为 20Hz100MHz 3%100200MHz 5%200300MHz 10%现在欲测量现在欲测量5V、150MHz的高频电压，环境温度为的高频电压，环境温度为32 C，求测量误差的不确定度。，求测量误差的不确定度。本讲稿第七十一页，共九十九页 解解 用第一种方法：由于用第一种方法：由于 ()()2 2 j 2 2 j=1j=1m m f xj y=()()2 2(j/V)2 2 j=1j=1m m f xj V/V=0.052+0.052+0.0252 =7.5%本讲稿第七十二页，共九十九页 用第二种方法：考

46、虑到分项数目较少，各分项用第二种方法：考虑到分项数目较少，各分项的影响相差不悬殊，取的影响相差不悬殊，取Ky=2，各分项的分布形状不，各分项的分布形状不掌握，按均匀分布取掌握，按均匀分布取Kj=3，则，则 ()()2 2()2 2 j=1j=13 3 f xj V/V=2 j 3 V=（2/3）0.052+0.052+0.0252 =8.7%关于同时含有系统误差和随机误差时不关于同时含有系统误差和随机误差时不确定度的合成以及微小误差准则确定度的合成以及微小误差准则,请同学们自请同学们自行阅读教材。行阅读教材。本讲稿第七十三页，共九十九页二、测量误差的分配二、测量误差的分配 给定总误差后，如何将

47、这个总误差分配给各分项，即对给定总误差后，如何将这个总误差分配给各分项，即对各分项误差应提出什么要求，这是一个制定误差分配方案的各分项误差应提出什么要求，这是一个制定误差分配方案的问题。下面介绍一些常用的误差分配原则。问题。下面介绍一些常用的误差分配原则。（一）等准确度分配（一）等准确度分配 当各分项性质相同，大小相近时，可把总误差平均当各分项性质相同，大小相近时，可把总误差平均分配给各分项，即分配给各分项，即 =mx1=x2=xm 本讲稿第七十四页，共九十九页 于是由系统误差合成公式和标准方差合成公式可得：于是由系统误差合成公式和标准方差合成公式可得：j=y f xj j=1mxj=y m

48、j=1 f xj()2本讲稿第七十五页，共九十九页 例例 有一电源变压器的原边与两个副边的圈数比为有一电源变压器的原边与两个副边的圈数比为w1:w2:w3=1:2:2，用最大量程为，用最大量程为500V的交流电压表测量两的交流电压表测量两个副边总电压，要求相对误差小于个副边总电压，要求相对误差小于，问应该选哪个，问应该选哪个级别的电压表？级别的电压表？解解 由题意可知，两个副边的电压均约为由题意可知，两个副边的电压均约为440V，总电，总电压约为压约为880V，而电压表最大量程只有，而电压表最大量程只有500V，因此应分别测，因此应分别测量两个副边的电压量两个副边的电压V1和和V2，然后相加得

49、副边总电压，即，然后相加得副边总电压，即V=V1+V2 又据题意知测量允许的最大总误差为又据题意知测量允许的最大总误差为 V=V（）=17.6V本讲稿第七十六页，共九十九页 可以认为测量误差主要是电压表造成的，而且由于两可以认为测量误差主要是电压表造成的，而且由于两项测量的电压值基本相同，可采用等准确度分配原则分项测量的电压值基本相同，可采用等准确度分配原则分配误差，则配误差，则 Vi=V1=V2=V/2=17.6/2=8.8V 用引用相对误差为用引用相对误差为 n的电压表测量电压时，若电压的电压表测量电压时，若电压表的满度值为表的满度值为Vm，则可能产生的最大绝对误差应小于，则可能产生的最大

50、绝对误差应小于或等于或等于 Vi，即，即|Vmax|=|n Vm|Vi|所以，所以，|n|Vi|/Vm=8.8/500=1.66%，可见选用，可见选用1.5级级的电压表能满足测量要求。的电压表能满足测量要求。本讲稿第七十七页，共九十九页（二）等作用分配（二）等作用分配 是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对测量误差总合的作用是相同的，即但它们对测量误差总合的作用是相同的，即 1 x1 =2 x2 =m xm=x1()2 2 x1 x2()2 2 x2 xm()2 2 xm=根据系统误差合成公式和标准方差合成公式可得根据系统误差合成公