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等数学不定积分的计算教学ppt.ppt

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1、第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的概念不定积分的概念第二节第二节不定积分的计算不定积分的计算 Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节

2、不定积分的计算不定积分的计算第一节第一节不定积分的概念不定积分的概念一一.换元积分法换元积分法二二.分部积分法分部积分法本节主要内容本节主要内容:(一一)第一类换元积分法第一类换元积分法(二二)第二类换元积分法第二类换元积分法Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technolo

3、gy 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算一一.换元积分法换元积分法(一一)第一类换元积分法第一类换元积分法(凑微分法凑微分法)引例引例:求导数验证结果求导数验证结果求导数验证结果求导数验证结果Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第

4、四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算解决方法解决方法利用复合函数的中间变量利用复合函数的中间变量,进行换元进行换元.说明结果正确说明结果正确Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不

5、定积分的计算将上例的解法一般化将上例的解法一般化:设设则则如果如果（可微）可微）将上述作法总结成定理将上述作法总结成定理,使之合法化使之合法化,可得可得换元法积分公式换元法积分公式Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分

6、的计算不定积分的计算定理定理4.2.1设设f(u)具有原函数具有原函数F(u),(u)是连续是连续函数函数,那么那么难难易易使用此公式关键在于将要求的积分使用此公式关键在于将要求的积分转化为转化为Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节

7、第一节不定积分的计算不定积分的计算例例2计算计算解解:原式原式我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下:.被积函数是一个复合函数被积函数是一个复合函数与公式作对比与公式作对比,公式中自变量公式中自变量x变成了变成了ax+b的形式的形式,这时设这时设ax+b为中间变量，为中间变量，Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Na

8、njing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算 Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算

9、例例3计算计算1.被积函数中含有两个多项式被积函数中含有两个多项式,其中一个多项式的其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式项式为中间变量，目的是约去另一个因式.被积函数是两个函数乘积形式被积函数是两个函数乘积形式(1)原式原式Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technolog

10、y Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例3计算计算(2)原式原式Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第

11、一节不定积分的计算不定积分的计算例例4计算计算2被积函数中被积函数中,其中一部分函数其中一部分函数“正好正好”是另一部分是另一部分函数的导数函数的导数.例例5计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积

12、分的计算例例4计算计算原式原式2、被积函数中、被积函数中,其中一部分函数其中一部分函数“正好正好”是另一部是另一部分函数的导数。分函数的导数。Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例5计算计算原

13、式原式Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例6计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Infor

14、mation and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例6计算计算原式原式Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology N

15、anjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算第第一一类类换换元元积积分分法法（凑凑微微分分法法）是是一一种种非非常常有有效效的的积积分分法法。首首先先，必必须须熟熟悉悉基基本本积积分分公公式式，对对积积分分公公式式应应广广义义地地理理解解，如如对对公公式式，应应理理解解为为,其其中中u可可以以是是x的的任任一一可可微微函函数数;其其次次，应应熟熟悉悉微微分分运运算算，针针对对具具体体的的积积分分要要选选准准某某个个基基本积分公式，凑微分使其变量一致本积分公式，凑微分使其变量一致

16、.Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算常用的凑微分形式有常用的凑微分形式有:Nanjing College of Information and Technology Nanjing Colleg

17、e of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例7计算计算例例7计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and

18、 Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例7计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第

19、一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例7计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例7计算计算例例7计算计算Nanjing College of Information and Tec

20、hnology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例7计算计算解法一解法一Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing Colle

21、ge of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例7计算计算解法二解法二Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and

22、 Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例7计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算例例8计算计算练习练习求求Nanji

23、ng College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算练习练习求求例例8计算计算练习练习求求Nanjing College of Information and Technology Nanjing Colle

24、ge of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算例例8计算计算例例8计算计算例例8计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of

25、Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology

26、第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算练习练习求求原式原式Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算练习练习求求Nanjing Colleg

27、e of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算练习练习求求Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and

28、Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算练习练习求求Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing Co

29、llege of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例

30、例8计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例8计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of In

31、formation and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算 ex 例例9Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nan

32、jing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例9Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计

33、算例例9Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例10例例10Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of In

34、formation and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例10例例10例例10例例10Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Tech

35、nology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例10Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定

36、积分的计算不定积分的计算例例10Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例10Nanjing College of Information and Technology Nanjing Colle

37、ge of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例10Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technolo

38、gy Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例10Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计

39、算不定积分的计算例例10Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例11计算计算例例12Nanjing College of Information and Technology Nanjing C

40、ollege of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例11计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and

41、Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例12Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一

42、节不定积分的计算不定积分的计算第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析只能具体问题具体分析.要掌握好这种方法，需要要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子微分因子.Nanjing College of Information and Technology Nanjing Coll

43、ege of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算 Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology

44、Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算 Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计

45、算 (二二)第二类换元积分法第二类换元积分法定理定理4.2.2函数函数x(t)有连续的导数且有连续的导数且 (t)0，又，又f(t)(t)有原函数有原函数F(t)，则，则其中其中t -1(x)是是x(t)的反函数的反函数.Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四

46、章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算 1.根根式式代换代换.被积分函数中含有被积分函数中含有（根号里是一次式）（根号里是一次式）类型类型-根式代换法根式代换法，令，令例例1计算计算例例2计算计算例例3计算计算例例4计算计算Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Te

47、chnology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例1计算计算令令则则于是于是Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例2计算计算令令则则于是于是Nanji

48、ng College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例3计算计算令令则则于是于是Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Infor

49、mation and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算例例4计算计算令令则则于是于是Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technolo

50、gy Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积分的计算 Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的计算不定积

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