立体几何中的向量方法求空间角.ppt

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1、 空间向量的引入为代数方法处理立体空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。也是高考的热点之一。空间的角常见的有：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。线线角、线面角、面面角。异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围：思考：思考：结论结论：一、线线角一、线线角：(2011陕西卷)如如图图，在

2、，在ABC中，中，ABC60，BAC90，AD是是BC上的高，沿上的高，沿AD把把ABD折起，使折起，使BDC90.设设E为为BC的中点，求的中点，求AE与与DB夹夹角的余弦角的余弦值值易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)，E ，xyz直线与平面所成角的范围直线与平面所成角的范围：思考：思考：结论结论：二、线面角二、线面角：1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60 C30 D60或30 解析：由题意得直线l与平面的法向量所在直线的夹角为60，直线l与平面所成的角为906030.答案：C如如图图所示，在四

3、棱所示，在四棱锥锥PABCD中，中，底面底面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，PAAD2，AB1，AMPD于点于点M.求直求直线线CD与平面与平面ACM 所成角的所成角的正正弦弦值值xyz利用向量法求线面角的方法：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角角(或其补角或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角其

4、余角就是斜线和平面所成的角l将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角。如如图图，设设二二面面角角 的的大大小小为为 ，其中其中DCBA三、面面角：三、面面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围二面角的范围：ll三、面面角三、面面角：二面角的范围二面角的范围：法向量法法向量法【注意注意注意注意】法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进

5、同出，二面角等于法向量夹角的补角。同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。已知三棱柱已知三棱柱ABCA1B1C1的的侧侧棱垂直于棱垂直于底面，底面，BAC90，ABAA12，AC1，M、N分分别别是是A1B1、BC的中点的中点求二面角求二面角MANB的余弦的余弦值值xyz求二面角最常用的方法求二面角最常用的方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求面角的大小，但要

6、注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角角是锐角还是钝角(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小角的大小就是二面角的大小以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题点选择适当的方法解题1.异面直线所成角异面直线所成角：2.直线与平面所成角直线与平面所成角：lDCBA方向向量法：方向向量法：3.二面角二面角：法向量法法向量法：【注意注意注意注意】法向量的方向：一法向量的方向：一法向量的方向：一法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量进一出，二面角等于法向量进一出，二面角等于法向量进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等夹角；同进同出，二面角等夹角；同进同出，二面角等夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。于法向量夹角的补角。于法向量夹角的补角。于法向量夹角的补角。