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1、理论力学空间力系本讲稿第一页，共五十九页工程实际中的空间力系问题工程实际中的空间力系问题本讲稿第二页，共五十九页工程实际中的空间力系问题工程实际中的空间力系问题本讲稿第三页，共五十九页实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用线往往不在同一平面内，构成了空间力系，线往往不在同一平面内，构成了空间力系，空间力系是最一般的力系空间力系是最一般的力系。本讲稿第四页，共五十九页3.1 空间力的空间力的投影投影及及其其分解分解若已知力与正交坐标系若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角三轴间夹角,则用则用直接投影法直接投影法(一次投影法一次投影法)yxzFFxFyFzik

2、jO本讲稿第五页，共五十九页当当力力与与坐坐标标轴轴Ox、Oy间间的的夹夹角角不不易易确确定定时时,可可把把力力F先先投投影影到到坐坐标标平平面面Oxy上上,得得到到力力矢矢量量Fxy,然然后后再再把把这这个个力力投投影影到到x、y轴轴上上,这这叫叫间间接接投投影影法法(二二次次投投影法影法)。yxzFFxFyFzg gO本讲稿第六页，共五十九页空间力的分解空间力的分解yxzFFxFyFzikjO本讲稿第七页，共五十九页3.2 力对点的矩与力对轴的矩力对点的矩与力对轴的矩3.2.1 力矩矢力矩矢rxyzOFA(x,y,z)B空空间间力力对对点点的的矩矩要要考考虑虑三三个个方方面面:力力矩矩的的

3、大大小小、指指向向和和力力矩矩作作用用面面方方位位。这这三三个个因因素素可可用用一一个个矢矢量量MO(F)表表示示。其其模模表表示示力力矩矩的的大大小小(Fh);指指向向表表示示力力矩矩在在其其作作用用面面内内的的转转向向(符符合合右右手手螺螺旋旋法法则则);方方位位表表示示力力矩矩作作用用面的法线。面的法线。MO(F)h以以r表示力作表示力作用点用点A的的矢径矢径本讲稿第八页，共五十九页3.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢力对点的矩以矢量表示力矩矢这样这样,在图示坐标系中有在图示坐标系中有xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik本讲稿第九页，共五十九页3.2.1 力对点的矩以矢量表

4、示力矩矢力对点的矩以矢量表示力矩矢力力矩矩矢矢MO(F)在在三三个个坐坐标标轴轴上上的投影为的投影为xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik本讲稿第十页，共五十九页FzFxFy3.2.2 力对轴的矩力对轴的矩本讲稿第十一页，共五十九页3.2.2 力对轴的矩力对轴的矩力力对对轴轴的的矩矩是是力力使使刚刚体体绕绕该该轴轴转转动动效效应应的的度度量量，是是一一个个代代数数量量，其其绝绝对对值值等等于于力力在在垂垂直直于于该该轴轴平平面面上上的的投投影影对对于于轴轴与与平面交点的矩平面交点的矩。即。即:本讲稿第十二页，共五十九页符符号号规规定定：从从z轴轴正正向向往往负负向向看看，若若力力使使

5、刚刚体体逆逆时时针针转转动动取取正正号号，反反之之取取负负。也也可可按按右右手螺旋法则确定其正负号手螺旋法则确定其正负号。本讲稿第十三页，共五十九页由定义可知：由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交当力的作用线与轴平行或相交(共面共面)时，力时，力对轴的矩等于零。对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。本讲稿第十四页，共五十九页3.2.3 力对轴之矩的解析表达式力对轴之矩的解析表达式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy设设力力F沿沿三三个个坐坐标标轴轴的的分分量量分分别别为为Fx,Fy,Fz,力力作作用用点

6、点A的的坐坐标标为为(x,y,z),则则同理可得其它两式。故有同理可得其它两式。故有本讲稿第十五页，共五十九页比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得即即:力力对对点点的的矩矩矢矢在在通通过过该该点点的的某某轴轴上上的的投投影，等于力对该轴的矩。影，等于力对该轴的矩。3.2.4 力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩与力对轴的矩的关系本讲稿第十六页，共五十九页例例3-1 求力求力F 在三轴上的投影和对三轴的矩。在三轴上的投影和对三轴的矩。解解:yxzFj jq qbcaFxyFxFyFz本讲稿第十七页，共五十九页3.3 空间力偶系空间力偶系FFABdOr

7、BrArBA3.3.1 力偶矩矢力偶矩矢力力偶偶对对刚刚体体的的作作用用效效应应,可可用用力力偶偶矩矩矢矢来来度度量量,即即用用力力偶偶中中两个力对空间某点之矩的两个力对空间某点之矩的矢量和矢量和来度量。来度量。表表明明力力偶偶对对空空间间任任意意点点的的矩矩与与矩矩心心位位置置无无关关,以以记记号号M(F,F)或或M表示力偶矩矢表示力偶矩矢,则则本讲稿第十八页，共五十九页力偶矩矢为一自由矢量。力偶矩矢为一自由矢量。FF3.3 空间力偶系空间力偶系MFABdOrBrArBAdBACF本讲稿第十九页，共五十九页3.3 空间力偶系空间力偶系3.3.2 空间力偶等效定理空间力偶等效定理FFFF空间力

8、偶的等效条件是空间力偶的等效条件是:两个力偶的力偶矩矢相等。两个力偶的力偶矩矢相等。力力偶偶由由一一个个平平面面平平行行移移至至刚刚体体另另一一个个平平行行平平面面不影响它对刚体的作用效果。不影响它对刚体的作用效果。本讲稿第二十页，共五十九页力力偶偶作作用用面面不不在在同同一一平平面面内内的的力力偶偶系系称称为为空空间间力力偶系偶系。空空间间力力偶偶系系合合成成的的最最后后结结果果为为一一个个合合力力偶偶,合合力力偶偶矩矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。矢等于各力偶矩矢的矢量和。即即:3.3 空间力偶系空间力偶系3.3.3 空间力偶系的合成空间力偶系的合成证明证明:略略本讲稿第二十一页，共五十九页根

9、据合矢量投影定理根据合矢量投影定理:于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定:3.3 空间力偶系空间力偶系本讲稿第二十二页，共五十九页空间力偶系可以合成一合力偶空间力偶系可以合成一合力偶,所以空间力偶系平衡所以空间力偶系平衡的必要与充分条件是的必要与充分条件是:合力偶矩矢等于零合力偶矩矢等于零。即。即:因为因为:所以所以:上式即为上式即为空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程。3.3 空间力偶系空间力偶系3.3.4 空间力偶系的平衡空间力偶系的平衡本讲稿第二十三页，共五十九页空空间间力力系系向向点点O简简化化可可得得到到一一空空间间汇汇交交力力系系和一空间力偶

10、系和一空间力偶系,如图。如图。FnF1F2yzxOF1FnF2MnM2M1zyxOMOFROxyz3.4.1 空间任意力系的简化空间任意力系的简化3.4 空间任意力系的简化空间任意力系的简化本讲稿第二十四页，共五十九页空间汇交力系可合成一合力空间汇交力系可合成一合力FR:力力系系中中各各力力的的矢矢量量和和称称为为空空间间力力系系的的主主矢矢。主主矢矢与与简简化中心的位置无关化中心的位置无关。3.4.1 空间任意力系的简化空间任意力系的简化MOFROxyz空间力偶系可合成为一合力偶空间力偶系可合成为一合力偶,其矩矢其矩矢MO:力力系系中中各各力力对对简简化化中中心心之之矩矩矢矢的的矢矢量量和和

11、称称为为力力系系对简化中心的对简化中心的主矩主矩。主矩与简化中心的位置有关主矩与简化中心的位置有关。本讲稿第二十五页，共五十九页主矢的大小和方向为主矢的大小和方向为:或或本讲稿第二十六页，共五十九页根据根据合力矩定理合力矩定理,得到主矩在三个方向的投影为得到主矩在三个方向的投影为:于是主矩的大小和方向可由下式确定于是主矩的大小和方向可由下式确定:3.4 空间任意力系的简化空间任意力系的简化本讲稿第二十七页，共五十九页3.4.2 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析空空间间任任意意力力系系向向任任一一点点简简化化的的结结果果可可能能出出现现四种情况四种情况:(1)FR0,MO0;

12、(2)FR 0,MO 0;(3)FR 0,MO0;(4)FR0,MO 0 本讲稿第二十八页，共五十九页 1)空间任意力系简化为一合力偶的情形空间任意力系简化为一合力偶的情形FR0,MO0简简化化结结果果为为一一个个与与原原力力系系等等效效的的合合力力偶偶,其其合合力力偶偶矩矩矢矢等等于于对对简简化化中中心心的的主主矩矩。此此时时力力偶偶矩矩矢矢与简化中心位置无关。与简化中心位置无关。FR 0,MO 0这这时时得得一一与与原原力力系系等等效效的的合合力力,合合力力的的作作用用线线过过简化中心简化中心O,其大小和方向等于原力系的主矢。其大小和方向等于原力系的主矢。3.4.2 空间任意力系的简化结果

13、分析空间任意力系的简化结果分析2)空间任意力系简化为一合力的情形空间任意力系简化为一合力的情形本讲稿第二十九页，共五十九页 这这时时亦亦得得一一与与原原力力系系等等效效的的合合力力,其其大大小小和和方方向向等等于于原力系的主矢。原力系的主矢。3.4.2 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析 FR 0,MO0,且且FR MOMOFROFRFRFROOdFROO本讲稿第三十页，共五十九页FR 0,MO0,且且FR MOMOFROOFR3)空间任意力系简化为力螺旋的情形空间任意力系简化为力螺旋的情形3.4.2 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析此此时时无无法法进进一

14、一步步合合成成,这这就就是是简简化化的的最最后后结结果果。这这种种力力与与力力偶偶作作用用面面垂垂直直的的情情形形称称为为力力螺螺旋旋。FR与与MO同同方方向向时时,称称为为右右手手螺螺旋旋;FR与与MO反反向向时时,称称为为左左手螺旋手螺旋。图示为一右手螺旋。图示为一右手螺旋。本讲稿第三十一页，共五十九页本讲稿第三十二页，共五十九页FR 0,MO0,同同时时两两者者既既不不平平行行,又又不不垂垂直直,此此时时可可将将MO分分解解为为两两个个分分力力偶偶MO和和MO,它它们们分分别别垂垂直直于于FR和和平平行行于于FR,则则MO和和FR可可用用作作用用于于点点O的力的力FR来代替来代替,最终最

15、终得一通过点得一通过点O的力螺旋的力螺旋。MOFRq qOMOFROMOFROOMO3.4.2 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析本讲稿第三十三页，共五十九页FR0,MO 0=空空间间任任意意力力系系平平衡衡的的必必要要与与充充分分条条件件为为:力力系系中中各各力力在在三三个个坐坐标标轴轴上上投投影影的的代代数数和和等等于于零零,且且各各力力对对三三个个轴轴之之矩矩的的代代数数和和也也等等于于零零。上上式式即即为为空空间间任任意意力系的平衡方程力系的平衡方程。3.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡本讲稿第三十四页，共五十九页不失一般性，假定取不失一般性，假定取z 轴与各

16、轴与各力平行，如右图所示，则空间力平行，如右图所示，则空间任意力系的任意力系的6个平衡方程中有个平衡方程中有3个恒为零，即个恒为零，即因而空间平行力系的平衡方程只有下面的因而空间平行力系的平衡方程只有下面的3个个xyzOF1F2F3Fn分析分析:空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程本讲稿第三十五页，共五十九页空间约束类型空间约束类型本讲稿第三十六页，共五十九页本讲稿第三十七页，共五十九页例例3-2 扒扒杆杆如如图图所所示示，立立柱柱AB用用BG和和BH两两根根缆缆风风绳绳拉拉住住，并并在在点点A用用球球铰铰约约束束，G、A、H在在地地面面上上，臂臂杆杆的的D端端悬悬吊吊的的重重物物重重

17、P=20 kN。求求两两绳绳的的拉力和支座拉力和支座A的约束力。的约束力。本讲稿第三十八页，共五十九页解解：以以整整个个系系统统为为研研究究对对象象，受受力力如如图图，建建立立如如图所示的坐标系。图所示的坐标系。列平衡方程如下：列平衡方程如下：本讲稿第三十九页，共五十九页联立求解得：联立求解得：本讲稿第四十页，共五十九页例例题题3-3 如如图图所所示示三三轮轮小小车车，自自重重P=8 kN，作作用用于于点点E，载载荷荷F1=10 kN，作作用用于于点点C。求求小小车车静止时地面对车轮的约束力。静止时地面对车轮的约束力。本讲稿第四十一页，共五十九页以小车为研究对象，主动力和约束力组成空以小车为研

18、究对象，主动力和约束力组成空间平行力系，受力分析如图。间平行力系，受力分析如图。列平衡方程列平衡方程解：解：本讲稿第四十二页，共五十九页解方程得解方程得本讲稿第四十三页，共五十九页例例3-4 一一车车床床的的主主轴轴如如图图所所示示,齿齿轮轮C半半径径为为100 mm,卡卡盘盘D夹夹住住一一半半径径为为50 mm的的工工件件,A为为向向心心推推力力轴轴承承,B为为向向心心轴轴承承。切切削削时时工工件件等等速速转转动动,车车刀刀给给工工件件的的力力Fx466 N、Fy352 N、Fz1400 N,齿齿轮轮C在在啮啮合合处处受受力力为为Q,作作用用在在齿齿轮轮C的的最最低低点点，压压力力角角a a

19、20。不不考考虑虑主主轴轴及及其其附附件件的的质质量量,试试求求Q的的大大小及小及A、B处的约束力。处的约束力。FxFzFy本讲稿第四十四页，共五十九页AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100解解:取主轴及工件为研究对象。取主轴及工件为研究对象。向向心心轴轴承承B的的约约束束反反力力为为FBx和和FBz,止止推推轴轴承承A处处约约束束反反力力有有FAx、FAy、FAz,其其中中FAy 起起止止推推作作用用。主轴共受九个力作用主轴共受九个力作用,是空间一般力系。是空间一般力系。Q本讲稿第四十五页，共五十九页AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200

20、100Q本讲稿第四十六页，共五十九页AFAxFAyFAzFBzFBxFxFzFyByxz50200100Q本讲稿第四十七页，共五十九页3.4.1 平行力系中心平行力系中心平平行行力力系系中中心心是是平平行行力力系系合合力力通通过过的的一一个个点点。平平行行力力系系合合力力作作用用点点的的位位置置仅仅与与各各平平行行力力的的大大小小和和作作用用点点的的位位置置有有关关,而而与与各各平平行行力力的的方方向向无无关关。称称该该点点为为此此平平行行力力系系的的中中心。心。3.4 重心重心F1FRF2yzxOACBr1rCr2本讲稿第四十八页，共五十九页由合力矩定理：由合力矩定理：如果令如果令F0是力作

21、用线方向的单位矢量是力作用线方向的单位矢量则将上式代入（则将上式代入（1）式得）式得（1）F1FRF2yzxOACBr1rCr2本讲稿第四十九页，共五十九页通常采用投影式求出直角坐标通常采用投影式求出直角坐标分量分量去掉去掉F 0 这个单位矢量这个单位矢量F1FRF2yzxOACBr1rCr2本讲稿第五十页，共五十九页重重力力是是地地球球对对物物体体的的吸吸引引力力,如如果果将将物物体体看看作作由由无无数的质点组成数的质点组成,则重力便构成则重力便构成空间汇交力系空间汇交力系。3.4.2 重心重心由由于于物物体体的的尺尺寸寸比比地地球球小小得得多多,因因此此可可近近似似地地认认为为重力是个平行

22、力系重力是个平行力系,这力系的合力就是物体的重量。这力系的合力就是物体的重量。不不论论物物体体如如何何放放置置,其其重重力力的的合合力力的的作作用用线线相相对对于于物体总是通过一个确定的点物体总是通过一个确定的点,这个点称为这个点称为物体的重心。物体的重心。本讲稿第五十一页，共五十九页对于对于均质物体均质物体、均质板均质板或或均质杆均质杆,其重心坐标分别为其重心坐标分别为:3.4.2 重心重心均质物体的重心就是几何中心均质物体的重心就是几何中心,即即形心形心。均质物体均质物体均质板均质板均质杆均质杆本讲稿第五十二页，共五十九页3.4.3 确定物体重心的方法确定物体重心的方法1 1 简单几何形状

23、物体的重心简单几何形状物体的重心 如如果果均均质质物物体体有有对对称称面面,或或对对称称轴轴,或或对对称称中中心心,则则该该物物体体的的重重心心必必相相应应地地在在这这个个对对称称面面、或或对对称称轴轴、或或对对称称中中心心上上。简简单单形形状物体的重心可从相应状物体的重心可从相应工程手册工程手册上查到。上查到。本讲稿第五十三页，共五十九页2 分割法分割法 如如果果一一个个物物体体由由几几个个简简单单形形状状的的物物体体组组合合而而成成,而而这这些些简简单单物物体体的的重重心心是是已已知知的的,那那么么整整个个物物体体的的重心可由下式求出。重心可由下式求出。3 负面积法负面积法 若若在在物物体

24、体或或薄薄板板内内切切去去一一部部分分(例例如如有有空空穴穴或或孔孔的的物物体体),则则这这类类物物体体的的重重心心,仍仍可可应应用用与与分分割割法法相相同同的的公公式式求求得得,只只是是切切去去部部分分的的体体积积或或面面积积应应取取负值。负值。本讲稿第五十四页，共五十九页例例:求图示均质板重心的位置。求图示均质板重心的位置。解一解一 分割法分割法aaaayxO建立图示坐标系建立图示坐标系将将薄薄板板分分为为两两部部分分,其其重重心心分别为分别为C1和和C2C2C1本讲稿第五十五页，共五十九页解二解二 负面积法负面积法yxO将将薄薄板板分分为为大大、小小两两个个正正方方形形,其重心分别为其重心分别为C1和和C2本讲稿第五十六页，共五十九页4 悬挂法悬挂法本讲稿第五十七页，共五十九页5 称重法称重法则则若汽车左右不对称，如若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）何测出重心距左（或右）轮的距离？轮的距离？有要测得重心的高度要测得重心的高度,可将后可将后轮抬起轮抬起,测出相关数据测出相关数据H本讲稿第五十八页，共五十九页本讲稿第五十九页，共五十九页