理论力学点的运动学和刚体的基本运动精选文档.ppt

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1、理论力学点的运动学和刚体的基本运动本讲稿第一页，共六十七页本讲稿第二页，共六十七页运动学运动学运动学研究的对象运动学研究的对象运动学学习目的运动学学习目的运动是相对的运动是相对的瞬时、瞬时、时间间隔时间间隔运动分类运动分类5-1 运动学的基本概念运动学的基本概念是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。(包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。建立机械运动的描述方法 建立运动量之间的关系为后续课打基础及直接运用于工程实际。(relativity):参考体(物);参考系;静系;动系。1)点的运动 2)刚体的运动引引 言言 本讲稿第三页，共六十七页一一.矢径法：矢径法：运动方程，轨迹运

2、动方程，轨迹5-2 5-2 点的运动方程点的运动方程二二.直角坐标法直角坐标法4本讲稿第四页，共六十七页 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位动点的位置的方法叫置的方法叫自然坐标法自然坐标法。弧坐标法弧坐标法一一.弧坐标弧坐标,自然轴系自然轴系1.弧坐标的运动方程弧坐标的运动方程S=f(t)补充：极坐标法补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用对平面曲线运动时可用)同理可导出柱坐标下的点的运动方程同理可导出柱坐标下的点的运动方程三三.弧坐标法弧坐标法5本讲稿第五页，共六十七页一一.矢径法：矢径法：5-3 5-3 动点的速度和加速度动点的速度和加

3、速度一般（思考园）一般（思考园）速度：加速度：6本讲稿第六页，共六十七页二二.直角坐标法直角坐标法7本讲稿第七页，共六十七页 加速度加速度.注注 这里的这里的 x,y,z 都是时间单位连续函数都是时间单位连续函数。当消去参数当消去参数 t 后后,可得到可得到 F(x,y)=0 形式的轨迹方程形式的轨迹方程。F(y,z)=0 8本讲稿第八页，共六十七页点的速度点的速度三三.自然轴系自然轴系切线方向矢切线方向矢 法线方向矢法线方向矢 指向凹侧副法线方向矢副法线方向矢全是变矢量,-密切面割线r与弧线s极限时重合9本讲稿第九页，共六十七页切向加速度切向加速度 -表示速度大小的变化点的加速度点的加速度法

4、向加速度法向加速度 -表示速度方向的变化10本讲稿第十页，共六十七页由图可知11本讲稿第十一页，共六十七页例例 5.1 一绳一绳AMC的一端系于固定点的一端系于固定点A，绳子穿过滑块，绳子穿过滑块M上上的小孔。绳的另一端系于滑块的小孔。绳的另一端系于滑块C上。滑块上。滑块M以已知等速以已知等速v0运动。绳长为运动。绳长为l，AE的距离为的距离为a且垂直于且垂直于DE。求滑块。求滑块C的速的速度与距离度与距离AM=x之间的关系。又当滑块之间的关系。又当滑块M经过经过E点时，滑点时，滑块块C的速度为何值？的速度为何值？12本讲稿第十二页，共六十七页曲率半径与法向加速度有关先求速度和法向加速度点的瞬

5、时全加速度点的瞬时全加速度13本讲稿第十三页，共六十七页（求切向加速度）14本讲稿第十四页，共六十七页5-4 刚体的平动和定轴转动刚体的平动和定轴转动例 由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 是指刚体的平行 移动和转动5-4-15-4-1刚体的平行移动刚体的平行移动(平动平动)基本运动基本运动本讲稿第十五页，共六十七页OB作定轴转动作定轴转动CD作平动作平动AB、凸轮均作平动、凸轮均作平动位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。本讲稿第十六页，共六十七页一一.刚

6、体平动的定义刚体平动的定义:刚体在运动中刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变其上任意两点的连线始终保持方向不变。由由A,B A,B 两点的运动方程式两点的运动方程式:而而例例AB在运动中方向和大小始终在运动中方向和大小始终不变不变 它的轨迹它的轨迹可以是直线可以是直线可以是曲线可以是曲线本讲稿第十七页，共六十七页得出结论得出结论:即即二二.刚体平动的特点刚体平动的特点:平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度速度,加速度都一样。加速度都一样。即即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。平动定理平动定理:当刚体

7、平动时，刚体内各点轨迹的形状相同（或重叠），当刚体平动时，刚体内各点轨迹的形状相同（或重叠），在同一瞬时各点都有相同的速度和加速度在同一瞬时各点都有相同的速度和加速度 本讲稿第十八页，共六十七页5-4-2 5-4-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一一.刚体定轴转动的特征及其简化刚体定轴转动的特征及其简化定义：当刚体运动时，刚体内有一线段上的所有点始终保持不动，刚体的这种运动称为定轴转动定轴转动，该直线称转轴转轴。二二.转角和转动方程转角和转动方程 -转角,单位弧度(rad)=f(t)-为转动方程 方向规定:从z 轴正向看去,逆时针为正 顺时针为负本讲稿第十九页，共六十七页三三.定轴转动的角速度

8、和角加速度定轴转动的角速度和角加速度 1.角速度角速度：工程中常用单位：n=转/分(r/min)则则n与与 的关系为的关系为:单位单位 rad/s若已知转动方程本讲稿第二十页，共六十七页2.角加速度角加速度:设当t 时刻为 ,t+t 时刻为+与与 方向一致为加速转动方向一致为加速转动,与与 方向相反为减速转动方向相反为减速转动 3.匀速转动和匀变速转动匀速转动和匀变速转动当 =常数常数,为匀速转动匀速转动；当 =常数常数,为匀变速转动匀变速转动。常用公式常用公式与点的运动相类似。与点的运动相类似。单位单位:rad/s2(代数量代数量)本讲稿第二十一页，共六十七页 ,是对整个刚体而言(各点都一样

9、)；v,a是对刚体中某个点而言(各点不一样)。(即角量与线量的关系)5-4-3 5-4-3 定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体上各点的速度和加速度一一.线速度线速度V和角速度和角速度 之间的关系之间的关系R称为转动半径转动半径本讲稿第二十二页，共六十七页二二.角加速度角加速度 与与an,a 的关系的关系本讲稿第二十三页，共六十七页结论结论:v方向与方向与 相同时为正相同时为正,R,与与 R 成正比。成正比。各点的全加速度方向与各点转动半径夹角各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致都一致,且且 小于小于90o ,在同一瞬间的速度和加速度的分布图为在同一瞬间的速度和加速度的分布图为

10、:各点速度分布图各点速度分布图各点加速度分布图各点加速度分布图本讲稿第二十四页，共六十七页 我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,它们变速的基本原理是什么呢?5-4-4 5-4-4 轮系的传动比轮系的传动比一一.齿轮传动齿轮传动因为是做纯滚动(即没有相对滑动)无论内、外啮合，都有：本讲稿第二十五页，共六十七页定义齿轮传动比齿轮传动比对于两个啮合的齿轮，其齿数 Z1，Z2与齿轮的半径 R1,R2 成正比本讲稿第二十六页，共六十七页由于转速n与w 有如下关系：显然当:时,为升速转动；时,为降速转动。本讲稿第二十七页，共六十七页三三.链轮系链轮系:设有：A,B,C,D,E,F,G,H

11、 轮系,则总传动比为：其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。二二.皮带轮系传动皮带轮系传动(而不是 方向不同)皮带传动本讲稿第二十八页，共六十七页5-4-5 5-4-5 定轴转动刚体的角速度、角加速度，定轴转动刚体的角速度、角加速度，其上各点的速度、加速度的矢量表示其上各点的速度、加速度的矢量表示一一.角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度的矢量表示按右手定则规定按右手定则规定 ，的方向。的方向。本讲稿第二十九页，共六十七页二二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示先检查他们的方向先检查他们的方向分别为切向分别为切向和

12、法向和法向本讲稿第三十页，共六十七页一一.基本概念和基本运动规律及基本公式基本概念和基本运动规律及基本公式第五章第五章 点的运动学点的运动学 和刚体的基本运动和刚体的基本运动习题课习题课本讲稿第三十一页，共六十七页例例 5.6 如图机构中，如图机构中，AB 杆与套筒杆与套筒 B 固连，可在铅垂滑道内滑动，固连，可在铅垂滑道内滑动，CD 杆穿过套筒杆穿过套筒 B 与齿轮与齿轮 E 固连，固连，齿轮齿轮 E 的半径为的半径为 r；曲柄曲柄 OC 长度为长度为 R、以匀角速度、以匀角速度 转动。转动。齿轮齿轮 G 与齿轮与齿轮 E始终啮合。始终啮合。求：（求：（1）齿轮）齿轮 G 的半径，轮心的位置

13、如何确定？的半径，轮心的位置如何确定？（2）齿轮）齿轮 G 的角速度。的角速度。本讲稿第三十二页，共六十七页解：（解：（1）CD 杆作平动，杆作平动，则点则点 E 的轨迹与的轨迹与 C 点轨迹相同，点轨迹相同，是一个是一个半径为半径为R 的圆的圆，该圆心该圆心 G 在在 OC 的平行线上，的平行线上，且且 EG=OC。以以 G为圆心、半径分别为为圆心、半径分别为 R-r、R+r的两个圆均可取为齿轮的两个圆均可取为齿轮 G，前者为外啮合、后者为内啮合；图示为外啮合情况，因此，我们取齿前者为外啮合、后者为内啮合；图示为外啮合情况，因此，我们取齿轮轮 G 的半径的半径 R-r。本讲稿第三十三页，共六

14、十七页例例 5.7 如图圆盘如图圆盘 C 以匀角速度以匀角速度 绕倾斜轴绕倾斜轴 OB 转动，盘面与转轴转动，盘面与转轴垂直，圆盘的半径为垂直，圆盘的半径为 r；设设 OB 轴在轴在 平面平面Oyz内，盘面与内，盘面与 平面平面Oyz的交线为的交线为 CD，点，点A 为圆为圆盘边缘上一个固连点。盘边缘上一个固连点。求：求：CA 与与CD 为任意角为任意角时时 A 点的速度和加速度矢量。点的速度和加速度矢量。解：以矢量思路考虑，有解：以矢量思路考虑，有OB方向单位矢方向单位矢:CD方向单位矢方向单位矢:角速度矢量角速度矢量:本讲稿第三十四页，共六十七页角加速度矢量角加速度矢量:速度矢量速度矢量:

15、本讲稿第三十五页，共六十七页5-5 5-5 刚体的定点转动（不讲）刚体的定点转动（不讲）一一.定义定义刚体运动时，如果其上有一点始终不动，刚体运动时，如果其上有一点始终不动，则称该刚体作定点转动则称该刚体作定点转动速度投影定理速度投影定理-讲解讲解刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点连线方刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点连线方向的投影相等。向的投影相等。证明：设刚体上任意两点证明：设刚体上任意两点A、B，它们在同一瞬，它们在同一瞬时的速度分别为时的速度分别为 v A，vB，则，则本讲稿第三十六页，共六十七页点积矢量点积矢量ABAB长度不变：AB换为AB方向的单位矢量：也必然成立速度投影定理

16、速度投影定理刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点连线方向的投影相等。刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点连线方向的投影相等。本讲稿第三十七页，共六十七页定点转动刚体的角速度、角加速度和其上各点的速度、加速度定点转动刚体的角速度、角加速度和其上各点的速度、加速度设 t 瞬时某点 A 的速度 v A 0，v A OA（O为其定点）取含 OA线的平面 v A，取平面上异于 OA 线任取一点B，使 v B v A，平面上所有点的速度均垂直于该平面（对A、B应用速度投影定理面内分量必然都为零），平面上任意直线上各点的速度必为直线分布；（否则 t 时间后，该直线将被弯曲或伸缩，这对刚体是不容许的）。同理A

17、B 线上各点的速度也必须是直线分布，因为与 矢端的连线不平行于平面，这条矢端连线一定会与 平面相交，设交点为 C，其速度必为零，所以 OC 线上所有点的速度为零（OC 线上所有点的速度也必须直线分布）本讲稿第三十八页，共六十七页在 t 瞬时，OC 线是唯一的，若刚体上还有一条速度为零的直线，可推知这两条直线决定的平面上所有点的速度也为零，进一步可推知整个刚体的速度为零，这与 vA 0矛盾。在 t 至t+t时间内，平面只能绕 OC 线转动一个微小角度，否则，在t+t瞬时，平面将沿 OC 线折成一个角或变成凹凸不平的曲面，这对刚体是不容许的。由于 平面与刚体固连，在 t 至t+t 时间内，刚体的运

18、动也只能是跟随 平面绕 OC 线转动一个微小角度。因此在 t 到 t+t时间内，可以将刚体看成绕 OC 线作定轴转动，转过的角度为，OC 线称为刚体在 t 瞬时的瞬时转动轴瞬时转动轴，简称瞬轴瞬轴。由以上分析得：定点转动刚体在每一瞬时都有一根瞬轴，刚体的定点转动是刚体绕一系列瞬轴转动的合成。在每一瞬时 t，平面转角速率(t)/t 便是刚体的瞬时角速度瞬时角速度的值，按右手规则化为矢量，便是瞬时角速度矢量瞬时角速度矢量 ，与瞬轴瞬轴共线本讲稿第三十九页，共六十七页定义：角加速度矢量角加速度矢量 ，与定轴转动刚体相比，定点转动刚体的瞬轴瞬轴一般都在变化（无论是相对刚体（无论是相对刚体的位置、还是相

19、对于参考系的位置）的位置、还是相对于参考系的位置），定点转动刚体角速度矢量 的大小、方向一般是随时间变化的，其作用线总是通过固定点 O；由方程知，定点转动刚体的角加速度矢量的大小、方向一般也是随时间变化的，并且与的方向一般不在一直线上瞬时速度矢量瞬时速度矢量微分得微分得瞬时加速度矢量瞬时加速度矢量现在与的方向是变化的本讲稿第四十页，共六十七页5.7（曲率半径）5.10（平动和定轴转动）5.15（矢量法求线速度）本讲稿第四十一页，共六十七页42本讲稿第四十二页，共六十七页 61 点的运动矢量分析方法点的运动矢量分析方法 62 点的运动的直角坐标法点的运动的直角坐标法 63 点的运动的自然坐标法点

20、的运动的自然坐标法 第六章第六章 点的运动学点的运动学本讲稿第四十三页，共六十七页一一.基本概念和基本运动规律及基本公式基本概念和基本运动规律及基本公式1.基本概念：直线运动基本概念：直线运动,曲线运动曲线运动 (点点);平动平动,定轴转动定轴转动 (刚体刚体)。2.基本运动规律与公式基本运动规律与公式:第五章第五章 点的运动学点的运动学 和刚体的基本运动和刚体的基本运动习题课习题课本讲稿第四十四页，共六十七页本讲稿第四十五页，共六十七页 刚体定轴转动刚体定轴转动转动方程转动方程:角速度角速度:角加速度角加速度:匀速转动匀速转动:匀变速运动匀变速运动:本讲稿第四十六页，共六十七页二二.解题步骤

21、及注意问题解题步骤及注意问题1.1.解题步骤解题步骤:弄清题意,明确已知条件和所求的问题。选好坐标系：直角坐标法，自然法。根据已知条件进行微分，或积分运算。用初始条件定积分常数。对常见的特殊运动，可直接应用公式计算。注意问题：注意问题：几何关系和运动方向。求轨迹方程时要消去参数“t”。坐标系（参考系）的选择。本讲稿第四十七页，共六十七页例题例一例一、列车圆弧行走例例4 已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM0.4m，在 某瞬时测得例例6已知如图，O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线的抛角为 。本讲稿第四十八页，共六十七页三三.例题例题例例1列车在列车在R=300m的曲线上匀变速行

22、驶。轨道上曲线部分长的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长l=200m，当列车开始走上曲线时的速度，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开曲，而将要离开曲线轨道时的速度是线轨道时的速度是v148km/h。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？本讲稿第四十九页，共六十七页解解：由于是匀变速运动，则常量。由公式而由已知列车走上曲线时，全加速度列车将要离开曲线时，全加速度返回返回其中其中本讲稿第五十页，共六十七页例例2已知如图，求时正好射到已知如图，求时正好射到A点且用力最小。点且用力最小。分析：只有在A点，vy0且为最大高度时，用力才最小。

23、解解：由由于在A点时，vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用时间为：本讲稿第五十一页，共六十七页将上式代入和，得：将代入，得返回返回本讲稿第五十二页，共六十七页例例3已知：重物A的（常数）初瞬时速度方向如图示。求：滑轮3s内的转数；重物B在3s内的行程；重物B在3s时的速度；滑轮边上C点在初瞬时的加速度；滑轮边上C点在3s时的加速度。本讲稿第五十三页，共六十七页）常数（）解解：因为绳子不可以伸长，所以有），（滑轮3s内的转数重物B在3s内的行程重物B在3s时的速度本讲稿第五十四页，共六十七页 t=0 时，滑轮边上C点在3s时的加速度返回返回滑轮边上C点在初瞬时的加速度本讲稿第五十五页，共六十

24、七页例例4 已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM0.4m，在 某瞬时测得求：转动方程;t5s时，点的速度和 向心加速度的大小。解：解：M 本讲稿第五十六页，共六十七页 t5s时，点的速度和向心加速度的大小当当5s时，时，M返回返回本讲稿第五十七页，共六十七页例例5试画出图中刚体上两点在图示位置时的速度和加速度。返回返回本讲稿第五十八页，共六十七页例例6已知如图，从O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线的抛角为 。（与上升的最大高度无关，只要（与上升的最大高度无关，只要求时间对抛射角度的变化率）求时间对抛射角度的变化率）到达高度为 h 时，t 与的关系有下式确定解解：选坐标系，则O

25、本讲稿第五十九页，共六十七页欲使最早到达，必须满足将对求导数将（最早到达的条件）（最早到达的条件）代入，得又证毕。表示出在某一角度下时间会最短。（极值）表示出在某一角度下时间会最短。（极值）返回返回本讲稿第六十页，共六十七页 哈工大第六版习题7-17-4.7-87-127-14本讲稿第六十一页，共六十七页课堂自学课堂自学.用柱坐标法给出点的运动方程用柱坐标法给出点的运动方程。与与 有何不同有何不同?就直线和曲线分别说明就直线和曲线分别说明。(直线直线.曲线都一样曲线都一样),),为速度的为速度的大小变化率大小变化率,在曲线中应为切向加速度在曲线中应为切向加速度 。柱坐标法方程柱坐标法方程62本

26、讲稿第六十二页，共六十七页指出在下列情况下指出在下列情况下,点点M作何种运动作何种运动?,(匀变速直线运动)(匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止)(直线运动)(匀速运动)(圆周运动)(匀速运动)(直线运动)(匀速曲线运动)(匀变速曲线运动)63本讲稿第六十三页，共六十七页 点作曲线运动点作曲线运动,画出下列情况下点的加速度方向。M1点作匀速运动 M2点作加速运动 M3点作减速运动判断下列运动是否可判断下列运动是否可 能出现能出现,若能出现判断是什么运动若能出现判断是什么运动?(加速运动加速运动)(不可能不可能)(匀速曲线运动匀速曲线运动)(不可能或改不可能或改作作 直线加速运动直线加速运动)(

27、不可能或改作不可能或改作直线减速运动直线减速运动)(不可能不可能)(减速曲线运动减速曲线运动)64本讲稿第六十四页，共六十七页 点作直线运动时点作直线运动时,若其速度为零若其速度为零,其加速度也为零其加速度也为零 点作曲线运动时点作曲线运动时,若其速度大小不变若其速度大小不变,加速度是否一定为零加速度是否一定为零答答:不一定不一定.速度为零时加速度不一定为零速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时自由落体上抛到顶点时)加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度切向加速度和法向加速度的物理意义？切向加速度和法向加速度的物理意义？答

28、：表示速度大小的变化答：表示速度大小的变化 表示速度方向的变化表示速度方向的变化65本讲稿第六十五页，共六十七页点点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，问沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢？证明证明 是沿着主法线方向是沿着主法线方向,即即 。证明证明:由于点由外向内运动由于点由外向内运动,曲率半径曲率半径 越来越小越来越小,所以加速度所以加速度越来越大越来越大。而速度。而速度 v=常数常数,故点运动快慢不变。故点运动快慢不变。解：解：66本讲稿第六十六页，共六十七页哈工大第六版哈工大第六版6-26-66-76-9 67本讲稿第六十七页，共六十七页