2019年中考数学专题复习卷 图形的相似（含解析）.doc

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1、1图形的相似图形的相似一、选择题一、选择题1.已知 ，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由 得，3a=2b，A. 由 得 ，所以变形正确，故不符合题意；B. 由 得 3a=2b，所以变形错误，故符合题意；C. 由 可得 ，所以变形正确，故不符合题意；D.3a=2b 变形正确，故不符合题意.故答案为：B.【分析】根据已知比例式可得出 3a=2b，再根据比例的基本性质对各选项逐一判断即可。2.如图，已知直线 abc，直线 m 分别交直线 a、b、c 于点 A,B,C，直线 n 分别交直线 a、b、c 于点D,E,F,若 , ,则 的值应该（ ）A. 等于 B.

2、大于 C. 小于 D. 不能确定【答案】B 【解析】 ：如图，过点 A 作 ANDF，交 BE 于点 M，交 CF 于点 N2abcAD=ME=NF=4（平行线中的平行线段相等）AC=AB+BC=2+4=6设 MB=x，CN=3xBE=x+4，CF=3x+4x0故答案为：B【分析】过点 A 作 ANDF，交 BE 于点 M，交 CF 于点 N，根据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再根据平行线分线段成比例得出 BM 和 CN 的关系，设 MB=x，CN=3x，分别表示出 BE、CF，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。3.在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端

3、点的坐标分别为 A（6，8），B（10，2），若以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩短为原来的 后得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为（ ） A. （5，1） B. （4，3） C. （3，4）D. （1，5）【答案】C 【解析】 ：以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的横坐标和纵坐标的一半，又A（6，8），端点 C 的坐标为（3，4）故答案为：C【分析】根据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。34.如图，在ABC 中

4、，点 D 在 AB 边上，DEBC，与边 AC 交于点 E，连结 BE，记ADE，BCE 的面积分别为 S1 ， S2 ， （ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 :如图，过点 D 作 DFAC 于点 F，过点 B 作 BMAC 于点 MDFBM，设 DF=h1 ， BM=h2 DEBC 若 设 =k0.5（0k0.5）AE=ACk，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2kS1= AEh1= ACkh1 ， S2= CEh2= AC（1-k）h23S1= k2ACh2 ， 2S2=（1-K）ACh20k0.5 k2（1-K）3S12S2

5、故答案为：D【分析】过点 D 作 DFAC 于点 F，过点 B 作 BMAC 于点 M，可得出 DFBM，设 DF=h1 ， BM=h2 ， 再4根据 DEBC，可证得 ，若 ，设 =k0.5（0k0.5），再分别求出 3S1和 2S2 ， 根据 k 的取值范围，即可得出答案。5.如图,在ABC 中,点 D 在 BC 边上,连接 AD,点 G 在线段 AD 上,GEBD,且交 AB 于点 E,GFAC,且交 CD 于点 F,则下列结论一定正确的是( ).A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ：GEBD, ,因此 A 不符合题意；GEBD, GFAC ，,因此 B、C 不符合题意；由得;

6、 ,因此 D 符合题意；故答案为：D【分析】抓住已知条件：GEBD，GFAC，利用平行线分线段成比例，及中间比代换，对各选项逐一判断即可求解。6.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，且 AE=2ED，EC 交对角线 BD 于点 F，则 等于（ ）A. B. C. D. 5【答案】A 【解析】 ：四边形 ABCD 为平行四边形，EDBC，BC=AD，DEFBCF， = ，设ED=k，则 AE=2k，BC=3k， = = 故答案为：A【分析】由平行四边形的性质可得EDBC，BC=AD，根据相似三角形的判定可得DEFBCF，则可得比例式,设 ED=k，则根据题意可得 AE=

7、2k，BC=3k，所以.7.已知 与 相似，且相似比为 ，则 与 的面积比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 与 相似，且相似比为 与 的面积比为：1:9故答案为：D【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答。8.如图，已知矩形 ABCD 中，AB2，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F点处，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD（ ）A. B. 1 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 ：设 AD=x，根据折叠的性质的得出 AB=AF=2，故 DF=x-2, 四边形 ABCD

8、是矩形，DC=AB=2,又四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，DCAD=FDDC,DC2=ADFD ,即 22=x(x-2)，解得 ：x1= ,x2=（舍去）。故答案为 ：【分析】设 AD=x，根据折叠的性质得出 AB=AF=2，故 DF=x-2,根据矩形的对边相等得出 DC=AB=2，根据相似多边形的对应边成比例得出关于 x 的方程，求解得出答案。9.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 ， 和 ，另一个三角形的最短边长为 2.5 cm，则它的最长边为（ ） 6A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm【答案】C 【解析】 设另一个三角形的最长边

9、为 xcm，由题意得5：2.5=9：x，解得：x=4.5，故答案为：C.【分析】要制作两个形状相同的三角形框架，其实质就是做两个相似的三角形框架，设另一个三角形的最长边为 xcm，根据相似三角形的对应边成比例即可得出关于 x 的方程，求解即可得出答案。10. 如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 E 在边 AB 上，BE4，过点 E 作 EFBC，分别交BD、CD 于 G、F 两点若 M、N 分别是 DG、CE 的中点，则 MN 的长为 （ ）A. 3 B. C. D. 4【答案】C 【解析】 ：取 DF、CF 中点 K、H,连接 MK、NH、CM，作 MONH（如下图）.四边形

10、 ABCD 是边长为 6 的正方形，BE=4.AE=DF=2,CF=BE=4.DGFBGE=.GF=2,EF=4.又M、N、K、H、都是中点，MK=GF=1,NH=EF=3.KF=DF=1,FH=CF=2,MK=OH=1.KH=MO=3NO=2.在 RtMON 中，7MN= = .故答案为 C.【分析】取 DF、CF 中点 K、H,连接 MK、NH、CM，作 MONH（如上图）；由正方形 ABCD 是边长和 BE 的长可以得出 AE=DF=2,CF=BE=4；再由题得到DGFBGE，利用相似三角形的性质可以求出.GF=2,EF=4；再根据三角形中位线可以得出MO=3，NO=2；利用勾股定理即可

11、得出答案.11.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为16，BAD60,则OCE 的面积是（ ）。A. B. 2 C. D. 4【答案】A 解析 ：菱形 ABCD 的周长为 16，菱形 ABCD 的边长为 4，BAD60,ABD 是等边三角形，又O 是菱形对角线 AC、BD 的交点，ACBD，在 RtAOD 中，AO= ，AC=2A0=4 ，8SACD= ODAC= 24 =4 ，又O、E 分别是中点，OEAD，COECAD， , ,SCOE= SCAD= 4 = .故答案为：A.【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4，

12、ACBD，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形得ABD是等边三角形；在 RtAOD 中，根据勾股定理得 AO= ，AC=2A0=4 ，根据三角形面积公式得 SACD= ODAC=4 ，根据中位线定理得 OEAD，由相似三角形性质得 ,从而求出OCE的面积.二、填空题二、填空题 12.矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8.点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上，满足PBEDBC，若APD是等腰三角形，则 PE 的长为数_. 【答案】3 或 1.2 【解析】 四边形 ABCD 是矩形，BAD=C=90，CD=AB=6，BD=10，PBEDBC，PBE=DBC，点 P 在

13、 BD 上， 如图 1，当 DP=DA=8 时，BP=2，PBEDBC，PE：CD=PB：DB=2：10，PE：6=2：10，PE=1.2；如图 2，9当 AP=DP 时，此时 P 为 BD 中点，PBEDBC，PE：CD=PB：DB=1：2，PE：6=1：2，PE=3；综上，PE 的长为 1.2 或 3，故答案为：1.2 或 3.【分析】 根据矩形的性质，可得出BAD=C=90，利用勾股定理求出 BD 的长，根据相似三角形的性质，可得出PBE=DBC，得出点 P 在 BD 上，然后分情况讨论：当 DP=DA=8 时，BP=2；当 AP=DP 时，此时 P 为 BD 中点，利用相似三角形的性质

14、得出对应边成比例，就可求出 PE 的长。13.在 RtABC 中C=90，AD 平分CAB,BE 平分CBA,AD、BE 相交于点 F，且 AF=4,EF= ,则AC=_【答案】【解析】 ：作 EGAF，连接 CF，C=90，10CAB+CBA=90，又AD 平分CAB,BE 平分CBA,FAB+FBA=45，AFE=45，在 RtEGF 中，EF= ,AFE=45，EG=FG=1，又AF=4,AG=3,AE= ，AD 平分CAB,BE 平分CBA,CF 平分ACB,ACF=45，AFE=ACF=45，FAE=CAF，AEFAFC， ,即 ,AC= .故答案为： .【分析】作 EGAF，连接

15、CF，根据三角形内角和和角平分线定义得FAB+FBA=45，再由三角形外角性质得AFE=45，在 RtEGF 中，根据勾股定理得 EG=FG=1，结合已知条件得 AG=3,在 RtAEG 中，根据勾股定理得 AE= ；由已知得 F 是三角形角平分线的交点，所以 CF 平分ACB,ACF=45，根据相似三角形的判定和性质得 ,从而求出 AC 的长.1114.如图，ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，DEBC，AD：DB1：2，则ADE 与ABC 的面积的比为_【答案】1:9 【解析】 【解答】解：AD：DB1：2，AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3，DE/BC，ADEABC，

16、，则 故答案为：1:9.【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方；由平行可得ADEABC，而且相似比AD：AB=AD：（AD+DB）=1:3.15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，点 E、F 分别在 BC、CD 上，若 AE= ，EAF=45，则 AF 的长为_【答案】【解析】 ：取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，四边形 ABCD 是矩形，D=BAD=B=90，AD=BC=4，NF= x，AN=4x，12AB=2，AM=BM=1，AE= ，AB=2，BE=1，ME= ，EAF=45，MAE+NAF=45，MAE+AE

17、M=45，MEA=NAF，AMEFNA， ， ，解得：x= AF= 故答案为： 【分析】取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，根据矩形的性质得出D=BAD=B=90，AD=BC=4，根据等腰直角三角形边之间的关系得出 NF= x，AN=4x，根据中点定义得出 AM=BM=1，根据勾股定理得出 BE=1，ME=， 然后判断出AMEFNA，根据相似三角形对应边成比例得出 AM FN=MEAN，从而得出关于 x 的方程，求解得出 x 的值，根据勾股定理得出 AF 的长。16.如图，E、F、G、H 分别为矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点

18、，连接 AC、HE、EC、GA、GF，已知AGGF，AC ，则 AB 的长为_【答案】2 13【解析】 ：设 AB=CD=2x，则 AE=BE=CG=DG=x，AD2=BC2=AC2-CD2=6-4x2 ， AGGF，AGD+CGF=90，在矩形 ABCD 中，D=FCG=90，AGD+DAG=90，CGF=DAG，ADGGCF， ，即 DGCG=ADCF，DG=CG=x，CF= AD， ,解得 x1=1,x2=-1（舍去），则 AB=2x=2故答案为：2.【分析】由 AGGF，及D=FCG=90，可证明ADGGCF，则 ，而 CG=DG，CF= AD，则 CG2= ，只需要得到另一个 CG

19、与 AD 的数量关系：由 AC 和勾股定理可知 AD2=BC2=AC2-CD2=6-(2CG)2 ， 构造方程即可解答.17.如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=15，AC= 20，点 D 在边 AC 上，AD=5，DEBC 于点 E，连结AE，则ABE 的面积等于_【答案】78 【解析】 :在 RtABC 中，BAC=90，AB=15，AC= 20，BC=25ABC 的面积=AB AC=1520=150CD=AC-AD=20-5-15DEBC，14DEC=BAC=90C=CCDECBA即 CE:20=15：25解之：CE=12BE=BC-CE=13SABE：SABC=BE:BC=1

20、3：25SABE：150=13：25解之：SABE=78故答案为：78【分析】根据题意，利用勾股定理求出 BC 的长，就可求出ABC 的面积，再证明CDECBA，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，求出 CE 的长，从而求出 BE 的长，然后根据 SABE：SABC=BE:BC，建立方程，求出ABE 的面积即可。18.如图，四边形 ABCD 为菱形，E 为对角线 BD 延长线上一点，BD4，DE1，BAE45，则 AB 长为 _【答案】【解析】 ：连接 AO 交 BD 于 O，作 BMAE 于 M，交 AC 于 NBAE=45，BMA=90，MAB=MBA=45，AM=BM，四边形 ABC

21、D 是菱形，ACBD，AOE=90，设 AM=BM=b，ME=a，E=E，AOE=BME=90，AOEBME， = ， = ，a2+ab=15 又a2+b2=25 53 得到：2a2+5ab3b2=0，（a+3b）（2ab）=0，15b=2a 代入得到 a= ，b=2 ，AB= AM=2 故答案为 2 【分析】连接 AO 交 BD 于 O，作 BMAE 于 M，交 AC 于 N根据三角形的内角和判断出MAB=MBA=45，根据等边对等角得出 AM=BM，根据菱形的性质得出 ACBD，AOE=90，设 AM=BM=b，ME=a，然后判断出AOEBME，根据相似三角形对应边成比例得出 O E E

22、M = A E B E，从而得出关于 a,b 的方程，a2+ab=15 ，根据勾股定理得出 a2+b2=25 ，53 得到：2a2+5ab3b2=0，求解得出，a,b 的值，根据等腰直角三角形边之间的关系由 AB= AM 得出答案。19.边长为 2 的正方形 ABCD 中 E 是 AB 的中点,P 在射线 DC 上从 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度运动,过 P 做 PFDE,当运动时间为_秒时，以点 P、F、E 为顶点的三角形与AED 相似【答案】1 或 【解析】 四边形 ABCD 是正方形，PFDE，A=DFP=ADC=90，ADE+EDP=EDP+DPF=90，ADE=FPD，ADE

23、FPD.（ 1 ）如图 1，当DPE=90时，易得FPDFEP，则ADEFEP，此时四边形 AEPD 是矩形，DP=AE=1，t=1，即当 t=1 时，ADEFEP；（ 2 ）如图 2，16当 DP=EP 时，易得FPEFPD，则FEPADE，此时四边形 AEHD 是矩形，DH=AE=1，HP=x-1，HE=AD=2，PE2=HE2+HP2=PD2 ， ，解得： ；综上所述，当 或 时，以点 P、F、E 为顶点的三角形与AED 相似.故答案为：1 或 .【分析】由题意知，不论点 P 运动到何处，易证得ADEFPD，所以只需FEP 与三角形 FPD 相似或全等即可。由题意可分两种情况：（1）当D

24、PE=90时，易得ADEFEP，可得比例式求解；（2）当DP=EP 时，易得FPEFPD，则FEPADE，于是可得比例式求解。三、解答题三、解答题 20.如图，点 D 在ABC 的边 AB 上，ACD=B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC 的长【答案】解：ACD=B，A=A，ADCACB， = ，即 = ，解得，AC=2 【解析】【分析】ACD=B，而A 是公共角，所以根据有两个角相等的两个三角形相似可得ADCACB，所以可得比例式,即,解得 AC=2.1721.如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足ACD=ABC，若 AC= ，AD=1，求 DB 的长【答案】解：ACD=ABC，

25、又A=A，ABCACD ， ，AC= ，AD=1， ，AB=3，BD= ABAD=31=2 【解析】【分析】根据已知条件易证得ABCACD ，由相似三角形的性质可得比例式,将已知的线段代入即可求解。22.如图，在正方形 ABCD 中，点 G 在边 BC 上（不与点 B，C 重合），连接 AG，作 DEAG，于点E，BFAG 于点 F，设 。（1）求证：AE=BF； （2）连接 BE，DF，设EDF= ，EBF= 求证： （3）设线段 AG 与对角线 BD 交于点 H，AHD 和四边形 CDHG 的面积分别为 S1和 S2 ， 求 的最大值 【答案】（1）因为四边形 ABCD 是正方形，所以BA

26、F+EAD=90，又因为 DEAG，所以EAD+ADE=90，所以ADE=BAF，又因为 BFAG，18所以DEA=AFB=90，又因为 AD=AB所以 RtDAERtABF，所以 AE=BF（2）易知 RtBFGRtDEA，所以 在 RtDEF 和 RtBEF 中，tan= ，tan= 所以 ktan= = = = =tan所以 （3）设正方形 ABCD 的边长为 1，则 BG=k，所以ABG 的面积等于 k 因为ABD 的面积等于 又因为 =k，所以 S1= 所以 S2=1- k- = 所以 =-k2+k+1= 因为 0k1，所以当 k= ，即点 G 为 BC 中点时， 有最大值 【解析】

27、【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义，可证得ADE=BAF，ADE=BAF 及 AD=AB，利用全等三角形的判定，可证得 RtDAERtABF，从而可证得结论。（2）根据已知易证 RtBFGRtDEA，得出对应边成比例，再在 RtDEF 和 RtBEF 中，根据锐角三角函数的定义，分别表示出 tan、tan，从而可推出 tan=tan。（3）设正方形 ABCD 的边长为 1，则 BG=k，分别表示出ABG、ABD 的面积，再根据 =k,求出 S1及 S2 ， 再求出 S1与 S2之比与 k 的函数解析式，求出顶点坐标，然后根据 k 的取值范围，即可求解。23.如图，以 的直角边 为直径作

28、 交斜边 于点 ，过圆心 作 ，交 于点 ，连接 .（1）判断 与 的位置关系并说明理由； 19（2）求证： ； （3）若 ， ，求 的长. 【答案】（1）解：DE 是圆 O 的切线证明：连接 ODOEAC1=3，2=AOA=OD1=A2=3在BOE 和DOE 中OE=OD，2=3，OE=OEBOEDOE（SAS）ODE=OBE=90ODDEDE 是圆 O 的切线（2）解：证明：连接 BDAB 是直径BDC=ADB=ABC=90OEAC，O 是 AB 的中点OE 是ABC 的中位线AC=2OEBDC=ABC，C=CABCBDC BC2=2CDOEBC=2DE，（2DE）2=2CDOE20 （3

29、）解： 设：BD=4x，CD=3x在BDC 中， ，BC=2DE=5（4x）2+（3x）2=25解之：x=1，x=-1（舍去）BD=4ABD=CAD=BDtanABD= 【解析】【分析】（1）连接 OD，根据平行线的性质及等腰三角形的性质证明2=3，再证明BOEDOE，可证出 ODDE，即可得证。（2）连接 BD，证明 OE 是ABC 的中位线，得出 AC=2OE，再证明ABCBDC，得出 BC2=ACCD，结合BC=2DE，AC=2OE，即可求证结论。（3）根据三角函数的定义，BD=4x，CD=3x，先求出 BC 的长，再根据勾股定理求出 x 的值，就可得出 BD的长，再根据ABD=C，利用

30、锐角三角函数的定义得出 AD=BDtanABD，即可解答。24.如果三角形的两个内角 与 满足 90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若ABC 是“准互余三角形”，C90，A60，则B_； （2）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC5，若 AD 是BAC 的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D），使得ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由 （3）如图，在四边形 ABCD 中，AB7，CD12，BDCD，ABD2BCD，且ABC 是“准互余三角形”求对角线 AC 的长 【答案】（1

31、）15（2）解：存在，如图，连结 AE，21在 RtABC 中，B+BAC=90，AD 是BAC 的平分线，BAC=2BAD，B+2BAD=90，ABD 是“准互余三角形”，又ABE 也是“准互余三角形”，B+2BAE=90，B+BAE+EAC=90，EAC=B,又C=C,CAECBA， ,即 CA2=CBCE，AC4，BC5，CE= .BE=BC-CE=5- = .（3）解：如图，将BCD 沿 BC 翻折得到BCF,22CD12，CF=CD=12，BCF=BCD,CBD=CBF,又BDCD，ABD=2BCD，CBD+BCD=90，2CBD+2BCD=180，即ABD+CBD+CBF=180，

32、A、B、F 三点共线，在 RtAFC 中，CAB+ACF=90，即CAB+ACB+BCF=90，CAB+2ACB90，ABC 是“准互余三角形”,2CAB+ACB=90，CAB=BCF，F=F,FCBFAC， ,即 FC2=FAFB,设 BF=x，AB=7,FA=x+7,x（x+7）=122,解得：x1=9，x2=-16（舍去）AF=7+9=16.在 RtAFC 中，AC= = =20. 【解析】 （1）解：ABC 是“准互余三角形”，C90，A60，2B+A=90，2B+60=90，B=15.故答案为：1523【分析】（1）根据“准互余三角形”，的定义，结合题意得 2B+A=90，代入数值即可求出B 度数.（2）存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得B+2BAD=90，根据“准互余三角形”，定义即可得ABD 是“准互余三角形”；根据ABE 是“准互余三角形”，以及直角三角形两内角互余可得EAC=B,根据相似三角形判定“AA”可得CAECBA，再由相似三角形性质得 ,由此求出 CE= .从而得 BE 长.（3）如图，将BCD 沿 BC 翻折得到BCF,根据翻折性质、直角三角形性质、“准互余三角形”定义可得到FCBFAC，再由相似三角形性质可得 ,设 BF=x，代入数值即可求出 x 值，从而求出AF 值，在 RtAFC 中，根据勾股定理即可求得 AC 长.