6.1-6.2 计数原理与排列组合 -(人教A版2019选择性必修第二、三册) (教师版).docx
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1、计数原理与排列组合知识剖析1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理 做一件事情,完成它可以有几类办法,在第一类办法中有血1种不同的方法,在第二类办法中有血2种不同的 方法,在第九类办法中有种不同的方法 那么完成这件事共有可=租1+血2 +,+租几种不同的方法. 分步乘法计数原理做一件事情,完成它需要分成几个步骤,做第一步有根1种不同的方法,做第二步有根2种不同的方法, 做第九步有机九种不同的方法,那么完成这件事有N =租1 x m2 x x )?1rl种不同的方法.分类计数原、理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存,
2、每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.Eg小芳要去party,衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子,那她有多少种搭配的方式去party呢?显 然是3+ 4x5 = 23种方式.2排列排列概念从几个不同元素中,任取m(机4九)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从九不 同元素中取出租个元素的一个排列.排列数 从几个不同元素中,任取租(租三九)个元素的所有排列的个数叫做从几个元素中取出血元素的排列数,用符号表示.其中4$ =九(九 一 l)(n - 2) (n m + 1) (m ,n E N* ,m W n)Am n - (n-m)!阶乘n !表示正整数1到
3、九的连乘积,叫做九的阶乘规定0 ! = 1.3组合组合概念【练习】小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制,5人坐一排.若小明的父母都与 他相邻,则不同坐法的种数为.【答案】12方法3不相邻问题插空策略若某些元素要求不能相邻,则采取插空法.即先把没有要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端.【典题1】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?【解析】分两步进行,第一步排2个相声和3个独唱共有犬种,第二步将4个舞蹈插入第一步排好的6个空档(包括元素之间空档和首尾两个空档)排列,共有种式不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序
4、共有点蝮种.舞蹈舞蹈舞蹈舞蹈空档空档空档空档空档空档【练习】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是【答案】3600方法4元素相同问题隔板策略将几个相同的元素分成瓶份,TH为正整数),每份至少一个元素,可以用血-1块隔板,插入几个元素排成一 排的九-1个空隙中,所有分法数为C密1.【典题1】有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?【解析】题中说“10个运动员名额”,说明他们是没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙.在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法 共有乙种分法.1班2班3班
5、4班 5班6班 7班【练习】将12个相同的小球分给甲、乙、丙三个人,其中甲至少1个,乙至少2个,丙至少3个,则共有多少种不同的分法?【答案】28方法5定序问题倍缩或空位插入策略对某些元素的顺序要求是固定的,可用倍缩法或者空位法.【典题1】7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?【解析】(倍缩法)对7人全排列有属种排法,其中甲乙丙的顺序是随意的,甲乙丙三人排列一共有编种(分别是甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲),假设“7人排队,其中甲乙丙3人按甲乙丙顺序”有工种排法,则后5种情况同理也是有工种排法,所以=4 = % =看甲乙丙甲乙丙甲丙乙乙甲丙乙丙甲丙甲乙丙乙甲X种方法
6、X种方法X种方法X种方法X种方法其实几个元素排列,其中根元素固定顺序,则共有不同排法种数是喘.(空位法)设想7人坐在7把椅子上照相,那先让除甲乙丙以外的4人就坐,共有解种方法;其余的三个位置再安排甲乙 丙就坐,由于他们顺序一定,即只有1种坐法,则共有的1=的种方法.【练习】停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多 少种?【答案】CAl方法6排列组合混合问题先选后排策略【典题1】有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.【解析】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有鬣种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4
7、个不 同的盒内有题种方法,根据分步计数原理装球的方法共有星用解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?【练习】一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种【答案】192方法7平均分组问题除法策略【典题1】将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服 务,则有多少种不同的分配方案?【解析】分组分组的时候,分四步取书得髭金金盘种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨给6位志愿者起名字Qi,的,。5,6,我们先看两组都是2人的情况,若第一步
8、是。1。2,第二步是a3a4,记为(。1。2 ,。3。4),它与(a3a4的分法其实是一样的,则重复了兆次,故分两组2人其实只有嬖;那两组1分配那两组1分配22故先将6名志愿者分为4组,共有笔箸种分法;再将4组人员分到4个不同场馆去,共有用种分法,故所有分配方案有:【点拨】故所有分配方案有:【点拨】cl cl cl clAl = 1080种. 对于这些分组问题,一般思路是先分组再分配,由于4个场馆是强调不一样的,故后面要有分配可; 在遇到平均分组的时候,要注意“重复计数的现象”,采取“除法策略”,因为它是“重复了倍数计数”,采 取起名字的方法能让你更好理解其中缘由!【练习1】将4名大学生分配到
9、3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则有多少种不同的分配方案?【答案】36【练习2】6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?【答案】15方法8环排问题线排策略一般地,71个不同元素作圆形排列,共有(几-1)!种排法.如果从几个不同元素中取出血个元素作圆形排列共有品g 1)!=化【典题1】7人围桌而坐,共有多少种坐法?【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人并从此位置把圆形展成 直线其余6人共有(7 1)! =6!种排法.【练习】6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈?【答案】240方法9分类讨论策略【典题1】6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,
10、有多少种不同的分法?【解析】分三种情况讨论:三人每人2本,有髭C式/ = 90种不同的分法,(由于分组数目一样,可先让甲从6本书里拿2本底,再让乙在剩下的4本里拿2本鬣,最后丙拿剩下的2本0)三人中一人1本,一人2本,一人3本,有谶底或编=360种不同的分法,(先给书分组戏W”,由于题中说到甲乙丙3人,说明他们谁拿几本书是有区别的,故还要“后排列题”)三人中一人4本,其余2人各1本,有或酸掰=90种不同的分法,(先从6本书中抽出4本隽,再把它给甲乙丙其中1人盘,最后把剩下2本给剩下2人房)则有90 + 360 + 90 = 540种不同的分法.点评该题6木书是不一样的,不能用“隔板法”,要分类
11、讨论.有点像处理定序问题的倍缩法.若题目只改一个字“6本相同的书分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有 种不同的分法则就用“隔板法”得到答案为废=10种.【典题2】已知内 ,。2as为1 ,2 ,3 ,4 ,5的任意一个排列,则满足:对于任意几(1 ,2 ,3 ,4 ,5),都有的+ g +册工九的的排列S,。5有多少个?【解析】根据题意,ar ,a2 ,.,曲为1,2 ,3 ,4 ,5的任意一个排列,则。1 +。2 +。5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15,若% + g +。5 - 5al,必有a133,当的 = 5时,任意排列都符合题意,此时有用=24个排列,当的 = 4时,
12、只要的。5即符合题意,此时有3“ = 18个排列,当的=3时,g = l或2,此时有32145、31245、32154、31254、32415、31425、31524,共7个排列符合题意,则有24 + 18 + 7 = 49个满足题意的排列.【练习】某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要求是物理、 化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则该生的可能选法总数是【答案】18方法10正难则反总体淘汰策略若题目从其正面入手比较麻烦,可能分类太多或不确定,或不清楚是否出现“重复计数、则可考虑从反面入 手用“淘汰法”.【典题11从0 ,1
13、 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种?【解析】这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法.三个数之和为偶数有两种可能,所取的三个数含有3个偶数的取法有程,只含有1个偶数的取法有玛品,和为偶数的取法共有玛品+品,而其中和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有乙原+髭- 9 = 51.【典题2】6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法【解析】方法一分类讨论甲在最右端,有发=120种方法; 乙在最左端,甲不在最右端,有用川=96种方法;甲乙均在中间,有题用= 288种方法;则一共有1
14、20 + 96 + 288 = 504种方法.(本题有两个特殊元素,若采取分类讨论的方法,则比较麻烦.)方法二淘汰法6人全排列,有四种方法;甲在最左端,有屣种方法;乙在最右端,有点种方法;甲在最左端且乙在最右端,有&种方法;则一共有4则一共有45 54 -5 5+ 4t = 720 - 2 x 120 + 24 = 504种方法.(不要漏加回川)(利用集合中的veezi图,更便于理解.)。:6人全排列雇M:甲在最左端展M乙在最右端展M nN;甲最左端乙最右端题所求的是白色部分6-鹿+ H。:6人全排列雇M:甲在最左端展M乙在最右端展M nN;甲最左端乙最右端题所求的是白色部分6-鹿+ H【点拨
15、】遇到这种由于限制条件有些多,导致分类太多或者不能很明确分类的时候,可以采取淘汰法!巩固练习以下每题尽量用多种方法求解.1()【多选题】为弘扬我国古代的“六艺文化、某夏令营主办单位计划利用暑期开设 “礼,,”乐射,,“御”书数,,六门体验课程,每周一门,连续开设六周.则()A.某学生从中选3门,共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法【答案】CD【解析】根据题意,依次分析选项:对于4某学生从中选3门,6门中选3门共有*=20种,故A错误;对于以
16、课程射”“御”排在不相邻两周,先排好其他的4门课程,有5个空位可选,在其中任选2个,安排“射”“御”,共有川飕= 480种排法,故5错误;对于C课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,由捆绑法分析:将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他3门课 程全排列,共有a* = 144种排法,故C正确;对于D课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,分2种情况讨论,若课程“乐”排在最后一 周,有A55种排法,若课程“乐”不排在最后一周,有C/CJV种排法,则共有福+盘盘川=504种排法,故。正确.故选:CD.)将6个数2 ,0 ,1 ,9 ,20 ,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0
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