第17练　空间几何体.docx

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1、第17练空间几何体专项典题精练高考汇编（2021 .新高考全国I ）已知圆锥的底面半径为位，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的 母线长为（）A. 2 B. 22 C. 4 D. 472答案B解析 设圆锥的母线长为/,因为该圆锥的底面半径为北，所以2兀X也=兀/,解得/=2，1 2.（2015全国I ）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？ ”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米 堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺

2、，圆周率约为3,估算 出堆放的米约有（）A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛答案B解析由题意知，米堆的底面半径为与（尺），1 1320体积丫=小乂邪氏2.力=q-（立方尺）.320所以堆放的米大约为不祟722（斛）.9 X 1.623. （2018全国I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，则。截 此正方体所得截面面积的最大值为（）州 2/3 岖立4 d. 3 4 JL/. 2答案A解析 如图所示，在正方体A3CQAiBGOi中，平面ABDi与棱AA, AiBi, 4。所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与AN, AiBi, 4。平行，44由

3、铲7?3=铲得R= 1 ,则。一ABC是正四面体，棱长为1,设”是A3C的中心，贝| OHJ_平面A5C,又CHU平面ABC,所以 OH_LCH, CH=V，则oh=N净萼又 AM=y3.所以球离球托底面OE尸的最小距离为小+坐一1, D正确.15.（2021 .蚌埠模拟）有四个半径为1的小球，球。球。2,球。3放置在水平桌面上，第四 个小球。4放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球O,与 这四个小球均外切.则球。的半径为.解析 将四个球的球心两两连线，可得出棱长为2的正四面体。|。2。3。4,正四面体。1。2。3。4 的外接球球心即为球心。，如图所示，设点。4在底

4、面。2。3的射影为点M, 则球心。在线段04M上,2s设正四面体0|。2。3。4的外接球半径为r, 由正弦定理可知，正。2。3的外接圆半径为。3= 而 04M=7ChQ -。3/由题意可得，（。4”一厂）2 +。3/ = /,球0的半径为幸一1.16.(2021 .张家口模拟)早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可 构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面 和多面角都全等.如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点， 30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一.如果把sin 36。按|计算，则该正二十面体的表

5、 面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于.答案55$36兀解析由题图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为七 正五边形的外接圆半径为匕正二十面体的棱长为/23则一 =sin 36。=彳，所以 R2 = 3 + (R )2,闾2 + (叼,所以正五棱锥的顶点到底面的距离是即R2 =所以该正二十面体的外接球表面积为S球=4兀K=4兀x gyp /)=平论 而该正二十面体的表面积是S 正二十面体= 20X：X/X/Xsin 60。= 5小I2,所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于与在36兀练后疑难精讲考情分析高考常考知识，主要考查几何体的表面积与体积，

6、球的组合体问题.常以选择 题、填空题的形式出现，部分题目难度较大.一、空间几何体的截面问题【核心提炼】1 .用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质 确定截面形状是解决截面问题的关键.2 .确定截面的主要依据有平面的四个公理.直线和平面平行的判定和性质.两个平面平行的性质.(4)球的截面的性质.【练后反馈】题号38101214正误错题整理：二、表面积与体积【核心提炼】1 .柱体、锥体、台体、球的表面积公式： (1)圆柱的表面积S=27ur(r+/);(2)圆锥的表面积5=兀升+/)；(3)圆台的表面积 S=7i(/ 2+r2+r/ /+/7)； (4)球的

7、表面积S=4兀底.柱体、锥体和球的体积公式： (1柱体=S(S为底面面积，h为高);(2)V锥体为底面面积，为高)；4(3)V 球=卒7?3.J J【练后反馈】题号12713正误错题整理：三、多面体与球【核心提炼】多面体的外接球模型：长方体的外接球直径为体对角线,n ,+按+ 02则 R=、一5;正方体的外接球半径为R=华； 正方体的内切球半径为（2）柱体模型如图A,在三棱柱PBGABC中，已知雨，平面ABC,设外接球半径为R,球心为。，AABC 的外接圆圆心为。I，则R=7004+OiA2=yl2+/,其中r=ON为48。外接圆半径. 锥体模型如图B,在正三棱锥PA3C中，先求出高线长h=P

8、0i=ylR2w,在RtZXOOiA中，/?2 =。0彳+3=一r）2+/，解方程求出R,其中R为外接球半径，r=OiA 为ABC外接圆半径，。为ABC的外接圆圆心.（4）正四面体（构造正方体）、对棱相等的三棱锥（构造长方体）如图C：正四面体。一A BC可构造正方体（所有面对角线相等）；如图D：对棱相等的三棱锥A 5C。可构造长方体（对面的对角线相等）.【练后反馈】题号4569111516正误错题整理：易错对点精补1.T4补偿（2021 晋中模拟）已知长方体A8CZ）4BiG。的底面是边长为2的正方形，高为4, E是。9的中点，则三棱锥8 GC的外接球的表面积为（）A. 12兀 B. 20兀

9、C. 24兀 D. 32兀答案B解析 如图，。为的中点，M为GC的中点，连接由题意可得GE=C=2也，GC=4,AC2+Ci2=CiC2,GEC为直角三角形，GM=EM=CM,又在三棱锥Bi-CiEC中,BGJL平面GEC,.OMJ_ 平面 CiEC,：.外接球球心是BiC的中点。，设球的半径为R,则2/?=田0=4+16=6 = 2/,，球的表面积3=4兀/?2=20兀2.T5补偿（2021 南阳模拟）已知球面上4 B, C三点，2是球心.如果A3=6C=AC=4, 且球的体积为邛兀，则三棱锥OABC的体积为（）A. 1 B币 C雪 D. 2答案c角翠析由 AB=BC=AC=y3,可得ABC

10、为正三角形,J3设其中心为G,可得其外接圆的半径=福m=1, / AJLJLI再设球的球心为。，半径为上 连接0G（图略）， 由球的体积为粤%,得前3=当屋得/?=小，球心到平面ABC的距离为0G=7口2-产=小_ 1 = 2,又 SAABc=eXyXyix 2=4，.v =1x33x9=2/1 y o-abc 3 x 4 以， 2 3. T16补偿（多选）（2021 济南模拟）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”， 是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种 半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构

11、成（如图所示），若 它的所有棱长都为明，则（）BA.班平面EAB20B.该二十四等边体的体积为号- JC.该二十四等边体外接球的表面积为8兀D. PN与平面所成角的正弦值为七-答案BCD解析 对于A,假设A对，即平面EAB,于是BFLAB,乙48尸=90。，但六边形ABFPQH 为正六边形，ZABF= 120,矛盾，所以A错；对于B,将二十四等边体补形成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为23-8x|x|20X 1 X 1 X 1,所以 B 对； 对于C,取正方形ACPM的对角线交点。，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为R=也，其表面积为4tiR2=8兀，所以C对；对于D,因为PN

12、在平面E8F7V内的射影为NS,所以PN与平面E6FN所成角即为NPNS, 其正弦值为篇=a=乎，所以D对.B4.T14补偿（多选X2021 ,广益实验中学模拟）在棱长为1的正方体ABCO45GDi中，点M在棱CCi上，则下列结论正确的是（）A.直线与平面ADO4平行B.平面BMD截正方体所得的截面为三角形 TTC.异面直线AO1与4C1所成的角为彳D. MB+MC的最小值为小答案ACD解析 对于A, 平面AOAAi平面5CG51, 3MU平面3CGB,即可判定直线与平 面4DD14平行，故正确；对于B,如图1,平面截正方体所得的截面可能为四边形，故错误；对于C,如图2,异面直线与4G所成的角

13、为/OiAC,因为。小。为等边三角形，即可判定异面直线A。与4G所成的角为全 故正确;图4图4对于D,如图3, MB+MD=MD+MDy如图4,原问题相当于AC。& 直线AC, 5。间 的距离为1,在AC上找一点”使得到。，B两点间距离之和最小.只需找到B关于AC的对称点,加。+加。的最小值即为线段。的长度,后。=百万=布,故正确.5 .T8补偿已知三棱锥尸一ABC的所有棱长为2, D, E,尸分别为B4, PB, PC的中点， 则此三棱锥的外接球被平面OE厂所截的截面面积为.答案T解析 如图，作平面A3C于N点，交平面DE产于M点，取三棱锥PA3C的外接球 球心为。，则设外接球半径OP=OB

14、=r,易知BN=半,陪声而萼则在 Rt/XONB 中，户=（）2+（r）2,解得r=哗, 又。，E,产分别为研，PB, PC的中点e I1a/6则 PM=”N=%,则球心到平面。石尸的距离0M=则球心到平面。石尸的距离0M=V6_V6 y62 3 = 6此三棱锥的外接球被平面。所所截的截面为以B一。腓=为半径的圆, 则截面面积为=%.6 .T13补偿（2021 长春模拟）“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最 灵敏的球面射电望远镜，如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面, 截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积S=2兀R/2,其中R为球

15、的 半径，h为球冠的高），设球冠底面的半径为r,周长为C,球冠的面积为S,则卷的值为K.（结果用5, C表不）败安 Cy/MSC2口木 27rs解析 如图，7+(R-/z)2=R2,又 S=2兀R/z,；.R2一(r输S_ S2 47T/?2S-S2兀 4tt2/?24 兀 2r2 3 厂一C .C 4成2s一 2C, 一2兀，4兀24兀2叱，即 R2C2=4tiR2S-S29N 4 兀 sc2，4 兀SC2) C/4兀SY-4 =2 兀S故正方体ABCD-A/iG。的每条棱所在直线与平面ABA所成的角都相等.取棱 A3, BB、, BiCi, GOi, DD, AO 的中点区 F, G, H

16、, M, N,则正六边形E/G/MN所在平面与平面ABD平行且面积最大,1 、叵、历3、h此截面面积为S正六边形mg”mn=61=坐, 由上面讨论知AC与MP平行且相等，而与N尸平行且相等，因此AC与N/平行且相等，从而四边形ACFN是平行四边形，。/AN,A7V2+AD2ND2 4+4 3 52ANAD _2X2X2-8所以ND4N是异面直线A。与。尸所成的角（或其补角）.由已知，AO=2, DN=小,AN=CF=2, cosZDAN=确；由平面ADE与平面。石方垂直知AO在平面OEb内的射影是DM,7T所以NAOE为直线与平面DE/所成的角，此角大小为不C正确;由11面讨论知A8=8C=C4= 1,设。是球心，球半径为R,