不等式与不等关系知识梳理.docx
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1、不等式与不等关系【考纲要求】1 ,了解不等关系、不等式(组)的实际背景;2 .理解并掌握不等式的性质,理解不等关系;3 .能用不等式的基本性质解决某些数学问题.【知识网络】【考点梳理】要点一、符号法则与比较大小1 .实数的符号任意xeR,则x0 (x为正数)、x = 0或元0力0=+ 0;aQ,ba + b O,h 00 ;a0,bab0两个异号实数相乘,积是负数符号语言:aQ,b0ab X2 0, x = 0ox2=0.3、比较两个实数大小的法则:对任意两个实数。、b a-Z70OQb;a-Z? vOoacb ;a-b = 0oa = b。对于任意实数、三种关系有且只有一种成立。要点诠释:这
2、三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解 不等式的主要依据。要点二、不等式的基本性质.不等式的基本性质a bobb,b c n a c(1) a + bca ba + c b+cc 4 n ac bea b c = 0 ac = bec ac b,c d a + c b + d(2 )减法法则:a b,c d a-db-c(3 )乘法法贝 ij: a bO,c d 0ao bd 0a h(4)除法法则:ab0,cd0-0d c(5 )乘方法则:a bQ an bn 0(n e N,n 2)(6)开方法则:ab0a/b0(neN,n2)要点诠释:不等
3、式的概念和性质是进行不等式的变换,证明不等式和解不等式的依据,应正确理解和运用不等 式的性质,弄清每条性质的条件与结论,注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。要点三、比较大小的方法1、作差法:任意两个代数式。、b,可以作差ab后比较与0的关系,进一步比较。与人的大 小。2、作商法:任意两个值为正的代数式。、b,可以作商后比较q与1的关系,进一步比较。与人 b的大小。3、中间量法:若ab且bc,则ac (实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小:若两个式子具有相同的函数结构,可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.【典型例题】类型一:比较代
4、数式(值)的大小例1.已知:X,ywR,比较/ 一 %y+y2和x+y_的大小.【解析】(x2 -xy + y2)-(x+ y-1) =(x2 -x) + (y2 - y)-xy + l= (2x2 -2x + 2y2 -2y-2xy + 2)(%2 2x +1 + y2 2y +1 + x2 + y - 2xy)= J(x-l)2+(y 1)2 +(%V (x-l)20, (y-l)20, (x-)200 (jf-l)2 +(y-l)2 +(1- 2 0/ x xy + y Nx+y 1.【总结升华】作差比较法基本步骤:作差,变形,判断差的符号,结论,其中判断差的符号为目的, 变形是关键,常
5、用变形技巧有因式分解,配方,拆、拼项等方法.举一反三:【高清课堂:不等式与不等关系394833典型例题一】【变式1】若人C. q bD. b -a ba-b b【解析】取特殊值。=2/=1,代入验证即可【答案】B【变式2已知。(。6。0),试比较,和的大小. a br A/J-Lr- . 11 b a【解析】=,a b ab又ab 即Z?-q 0 时,一0且xwl,比较1 +log、3与210gx 2的大小.3_r【解析】作差:(1 + log v 3)-2 log v 2 = logA 3x- log v 4 = log v()0 x 1c3尤(1)当 3x , 即Ovx0,此时l + lo
6、g1.321og,.0 1144时取等号.3144时取等号.34时取等号.34时取等号.3x 1,与43 x(3)当( 3即 1xV时,log,.(一)W0,此时 l + log(321og12,其中 x =0x 1,c43x(4)当即 x一时,log()0,此时 l + logQ210gl2 13414例2.已知:a、 beR+ ,且aw己比较优,与的大小.【解析】:。、bwR* , :.aabh0, ahba 0作商:喏=(务(=(务令=令(*)a b b a b b b(1)若 ab0,则 1 , a-b0, (-y-b 1,此时 aabh abba 成立; bb(2)若 ba0,则a-
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