4 第4讲 基本不等式.docx

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1、第4讲基本不等式教材回顾-基础自测理教材 知识海理.基本不等式：，不或” (1)基本不等式成立的条件：420, bQ.等号成立的条件：当且仅当4 =白时取等号.其中华称为正数，匕的算术平均数，砺称为正数，人的几何平均数.1 .几个重要的不等式(lcP-b22ab(a9 Z?WR),当且仅当时取等号.Q)abWR),当且仅当时取等号.(3)“ bR),当且仅当。=/?时取等号.(4)+注23，人同号)，当且仅当。=人时取等号.C4-20,则(1)如果积孙是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2版.(简记：积定和最2如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,w有最大值是主.(简记：和定

2、积最大)诊断自测n判断正误(正确的打“ j ”，错误的打“ x ”)(1)函数y=x+：的最小值是2.()(2)函数於) = cosx+Sp x(0, 3)的最小值等于4.()Ji 乙,“x0且)0”是个+2”的充要条件.() y 尤(4)不等式/+/7222H与色孕2，有相同的成立条件.()答案：义(2)X(3)X (4)X辍(教材习题改编)设x0, y0,且x+y=18,则孙的最大值为()A. 80B. 77C. 81D. 82解析：选C.xyW(8=(竽)=81,当且仅当x=y=9时等号成立，故选C.A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为一2D.有最

3、大值，且最大值为一2解析：选D.因为x1,则x+口的最小值为44解析：+7=-1+7+14+1=5.4当且仅当x1=，即x=3时等号成立.答案：5（教材习题改编）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是.解析：设矩形的长为xm,宽为ym,则x+y=10,所以S=xyW所以S=xyW所以S=xyW2= 25,当且仅当x=y=5时取等号.答案：25 m2析考点析考点析考点分类讲解化解疑难考点1利用基本不等式求最值（典例迁移）SHE （1）已知00, b0, +8=1,则(1+)。+)的最小值为._1,1 3x+ (43x) I? 4【斛析】 (1)x(4-3x)=g (3x

4、)(4-3x)Wq 2 =Q，当且仅当3x=4-3x, 2即时，取寺号.(2)由题知。一3= 6,因为 20,即0,所以 2+/2X 2OX=2X2F=1, 当且仅当2=/,即1=一3。=一3, /?=1时取等号./+折+?=(1+喑)(1+皇)=(2+2(2+力)=5 + 2(工+325+4=9.当且仅当4=/?=3时，取等号.【答案】(1)| (2)1 (3)9迁移探究1（变问法）若本例中的条件不变，贝壮十的最小值为.解析：因为 a0,。0, a-b= 1,所以1+：=妇+区铲=2+。+注2+2、的*=4,即的最小值为4,当且仅当a a b a b a bJ a b 9 a b= /?=：

5、时等号成立.答案：4迁移探究2（变条件）若本例条件变为：已知0, b0, 4a+b=4,则（1+0+加 最小值为.b解析：由 4+/?=4 得 += 1,判 i+=（2+软泊）=尚+与+襦+：甥+2/|=+千当且仅当外3=后 时取等号.冬安.11%迎 A I 2规I律I方【法利用基本不等式求最值的方法（1）知和求积的最值：”和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：具备条件 正数；验证等号成立.（2）知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意 利用基本不等式求最值的条件.（3）构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替 换”或“常

6、数1”的替换，构造不等式求解.阈变式训练1. （2019南昌市摸底调研）已知函数 ）=工+不;32）的最小值为6,则正数m的值为解析：因为 x2, m0,所以 y=一2+ _ + 222、/ （x-2） -9+2 = 2m+2,当 x/V 乙 /v= 2+5i时取等号，又函数y=x+&（x2）的最小值为6,所以2ml+2=6,解得根=4. 人 乙答案：42 .（一题多解）（2019长沙市统一模拟考试）若0, b0, a-b=ab,则的最小值为2（a+b） 解析：法一：由于，因此或+/?（）（舍去），当且仅当=/?=2时取等号.法二：由题意，得所以+6=(+匕)(+白=2+计2+2=4,当且仅

7、U UA U/U Ct当a=b=2时取等号.hh1法三：由题意知所以 a+Z?=7 r+/?=2+Z? 1 +7 r2+2=4,当且 brb 1b 1仅当a=b=2时取等号.答案：4.已知不等式(x+y)e+1)N9对任意的正实数x, y恒成立，则正实数a的最小值为解析：(x+y)(：+?)= 1+”21+。+2/=(/+l)2(x, y, a0), a yJx y当且仅当y=ycix时取等号，所以(x+y)+j的最小值为(或 +1产，于是(W+恒成立.所以。24.答案：4考点利用基本不等式解决实际问题(师生共研)屈m 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转 化

8、为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处 理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为)，=%200元+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴 多少元才能使单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为2=枭+阻晒一X LX2。22后零2。= 2。，当且仅当詈，即x=400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每 吨的平均处理成本最低，

9、最低成本为200元.(2)不获利.设该单位每月获利为S元，则3=100%一尸100X一02-200叶80 000)= 300x-80 000= -1(x-300)2-35 000,因为 400,600,所以 80 000, 40 000.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.反思归纳利用基本不等式求解实际问题的注意事项（1）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.（2）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.阈变式训练某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的 四周墙壁建造单价为每米400元，中

10、间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平 方米60元（池壁厚忽略不计），则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低.(,225 60X200=800X(%+解：设泳池的长为x米，则宽为米，总造价 於0=400义（2了+2*）+1000）,即x=15时等号成立.即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.刷好题高效演练-分层突破基础题组练1.若m Z2eR,且次0,则下列不等式中，恒成立的是（）A. cr-b22ah1.1 2 a b yabB. a-h2yabD扛红2解析：选D.因为/+及一2=（一与2,0,所以A错误,对于B, C,当0, b0,b aa * b=2-2.（2019安徽

11、省六校联考）若正实数x, y满足x+y=2,且恒成立，则M的最大Az值为（A.B. 2C.D. 4解析：选A.因为正实数x, y满足x+y=2, 上、一（x+）2 22所以盯W4=T= 1所以1;xy又恒成立，xy所以MW1,即M的最大值为1.233.设Q0,则函数产x+姓y郛J最小值为（A. 0B2C. 1解析:解析:2=0,当且仅当x+1=7,即时等号成立.所以函数的最小值为0.故选A.乙 JL乙x + n3 . （2019,长春市质量检测（一）已知x0, y0,且4x+y=xy,贝U x+y的最小值为（）A. 8B. 9C. 12D. 16A 1ZA 1 A. V- v广解析：选 B.由

12、 4x+y=xy 得亍+=1,则 x+y=（x+y）j+1+4力2皿+5 = 9,当且仅当号=）,即x=3, y=6时取“=，故选B.2 93=g,当且仅当2x=y=1时取等号.4 .已知x0, y0, 2x+y=3,则盯的最大值为.解析：xy=-2=9 答案：g5 .（2017高考江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/ 次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是解析：一年购买警次，则总运费与总存储费用之和为X 6 + 4%=4（2乎+1）2 XJiy A y8、, x=240,当且仅当jv=30时取等号，故总运费与总存储费用

13、之和最小时x的值是30.答案：306 .函数产Wy（x1）的最小值为-立力LI 71 + 1解析：因为产x+1立力LI 71 + 1解析：因为产x+1立力LI 71 + 1解析：因为产x+1=1+4=x+1 + t-r-2, x1,x+1所以 y2y/l2=o,当且仅当x=0时，等号成立.答案：07 .已知 x0,）0,且 2x+8yxy=0,求（1）孙的最小值；（2）x+y的最小值.解：（1）由 2x+8y-xy=0,0, y0,q 2则1=一十一22 x y得xy264,当且仅当x=16, y=4时，等号成立.所以孙的最小值为64.q 2(2)由 2x+8y外=。，得；+；=1， 人 y则

14、无+尸件+!) a+y)= 10+10+2 A/*=18.y xl y x当且仅当x= 12且y=6时等号成立，所以x+y的最小值为18.综合题组练1 .若 0, b0, a+b=+k 则，+8y 的最小值为()aA. 6B. 9C. 18D. 24解析：选 C.因为。0, b0, a+b=+v9 所以 aba+/?)=+b0,所以=1 .则 3十 812213a 39=2d3+劭22/32平两=18,当且仅当=4。=2时取等号.所以3+81人的 最小值为18.故选C.2 .不等式x2+xv+对任意小(0, +8)恒成立，则实数X的取值范围是()cz v*A. (-2, 0)B. (8, -2

15、)U(1, +00)C. (-2, 1)D. (8, -4)U(2, +8)n h解析：选C.根据题意，由于不等式f+x4+对任意凡b(o, +8)恒成立，则Y+%(+ ,因为*+旨2 q*=2,当且仅当a=b时等号成立，所以f+x2,求解此 一元二次不等式可知一2%0, y0,且2x+4y+xy=l,贝1J x+2y的最小值是解析：令，=x+2y,则 2x+4y+町=1 可化为 1 =2x+4y+wW2(x+2y) +解析：令，=x+2y,则 2x+4y+町=1 可化为 1 =2x+4y+wW2(x+2y) +解析：令，=x+2y,则 2x+4y+町=1 可化为 1 =2x+4y+wW2(x+2y) +=2t+g.因为 x0, y0,所以 x+2y0,即/0, ?+16/80,解得126也一8.即 x+2y 的最小 值是 6/28.答案:6一84 .已知正实数，b满足。+/?=4,则-77+工3的最小值为。十1 b+3解析：因为 6/ + Z? = 4,所以 +1+/? + 3 = 8,所以+=(。+ D + S +a+1b+3 o3)1岛+席=柒2+雷+索)2/2+2)=3,当且仅当a+l=8+3,即a=3, b=l时取等号，所以工+总的最小值为:a+1 b+32