专题一 第8讲恒成立问题与有解问题.docx

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1、第8讲恒成立问题与有解问题1 a【母题】(2014全国I )设函数/(x)=alnx+一厂Y云(qW1),曲线y=/(x)在点(1,式1)处的切线斜率为0.求。；(2)若存在的21,使得求的取值范围. JL思路分析存在比21,使得人xo)士I/(X)minl,使得/Uo)W的充要条件为aa a川) f，即)T f,八 a 12a 1解得一也一1 4也一1.若白1, 21 a故当工(1，时，/ (x)vo，当xwj士，+8)时，/。)0,於)在(1,寸/上单调递减，在J士，+8)上单调递增.所以，存在刈21,使得人均)q1所以不符合题意.乂I11cia1 a右 ci ,则 y(i)=- -= 5

2、 v - 4乙 6Z 1综上，。的取值范围是(一地一1, */2 1)U(1, + ).子题 1已知函数“x) = lnx办，g(x)=x29 qR.(1)求函数“)的极值点；(2)若x)Wg(x)恒成立，求a的取值范围.解(l)/(x) = ln xax 的定义域为(0, +),f (x)=J-a当 时，/ (x)=：a0,所以x)在(0, +8)上单调递增，无极值点；当 aQ 时，由 / (幻=:一40,得 04!， JiCl由/ (x)=Ja0时，。力范式一了恒成立， X令%, x0,则(x)=-i令攵(x)= 1 x2 In x, x0,则当0 时,k (x)=2x0,存(1, +8)

3、上,hr (x)0,所以/i(x)在(0,1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减.所以a)max = /z(l)= l,所以2一1.即a的取值范围为a一1.子题2 (2020北京市西城区师范大学附属实验中学模拟)已知为函数於)=Mn %的极 e值点.求的值；kx(2)设函数g(x)=下,若对/乃(0, +),使得火xi)g(x2)2。，求女的取值范围.解 (iyz (x)=afLiln x+fx+1), X1闺=(生H。味+i)1闺=(生H。味+i)=0,解得。=2,&，+8)上单调递增,当a=2时，/ (x)=x(21nx+l),函数於)在(。，古)上单调递减，在所以九=七为函数ZU)I

4、n %的极小值点,因此 =2.(2)由(1)知人工之吊=/ g；)= 一圭,函数g(x)的导函数g(尤)=41一%把一当Q0时，当 x0, g(x)在(一8, 1)上单调递增；当 Q1 时，/ (x)0, g(x)在(1, +8)上 单调递减，对/汨(0, +), 3x2=p 使得 g3)=g(：)=一去。/(即)，符合题意.当=0时,g(x)=0,取即=对 VX20R 有/UDg(X2)0,不符合题意.当N0时, 当尤vl 时,gf (x)1 时,gf (x)0, g(x)在(1, +) 单调递增，g(X)min = g(l)=k I若对 X/X(O, +), 3%2eR,使得人为)一g(X

5、2)20,只需 g(x)min/(x)min,即一 美，解得 kW 一)综上所述,综上所述,攵 (-85。，+ 0).规律方法(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.分离参数法，将参数分离出来，进而转化为x)max或。勺(x)min的形式，通过导数的应用 求出/U)的最值，即得参数的范围.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.【跟踪演练】. (2020全国II改编)已知函数段)=21nx+L若於)W2x+c,求c的取值范围.解设 。)=) 2x C,贝/?(%) = 21n x2x+1 c,、2其定义域为(

6、0, +), hf (x)=2.当 040；当 Q1 时，h (x)0.所以飘工)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，+8)上单调递减.从而当X=1时，/z(x)取得最大值，最大值为/z(l)= -1C故当一1一cWO,即 c2 1 时,x)W2x+c.所以。的取值范围为1, +oo).1 .已知函数九)=(1 x)e，一 1.(1)求加)的极值;(2)设 g(x) = (x%)2 + (lnx工)2,存在即 (-8, H-oo), %2e(0, +),使方程/Ul)=g(X2) 成立，求实数机的最小值.解(1(X尸一xe,当 x(0, +8)时，/ (幻0,当冗=0时,汽处有极大值10)

7、 = e01=0,於)没有极小值.(2)由知於卢0,又因为 g(x) = (xE)2+(lnx：)2,o,所以要使方程/Ui)=g(X2)有解，必然存在松(。，+),使g(X2)=0,所以X=E, lnx=y,等价于方程In尸孑有解，即方程m=xn x在(0, + 8)上有解，记(x)=xlnx,尤(0, +),则(x) = lnx+l,令今(%)=0,得x=5，所以当x(0, 0时，/ (x)vO, /z(x)单调递减，当工(占+8)时，(x)0, (x)单调递增,所以当 时，/2(X)min = 一)， CC所以实数2的最小值为一!.专题强化练1 .(2020新高考全国I改编)已知函数)=

8、4尸|lnx+ln a.若於)21,求a的取值范围.解 人犬)的定义域为(0, +), / (x)=6/ev 1当 01 时，Hl)=Q+lnaL当 4=1 时，Xx) = ex-1Inx, f (x) = ei当 x(0)时，/ (x)0.所以当=i时，兀)取得最小值，最小值为yu)=i,从而兀r)2L当 q1 时，危)=ae” 1Inx+lna2如一1一In尤21.综上，的取值范围是1,+8).2 .设函数八应二。%2xln x(2。一l)x+一 1(qR).若对任意的光1, +), 恒成 立，求实数，的取值范围.解 f (x)=2ax 1 In 九一(2- l) = 2(x 1) In

9、x(x0),易知当 x(0, +8)时，inxx-1,则 f (x)22q(x 1) (x 1) = (2- 1)(% 1).当2120,即2：时，由xl, +8)得/(不)三。恒成立，府)在1, +8)上单调递增，段)为= (),符合题意；当时，由xl, +8)得/ (WO恒成立，4工)在1, +8)上单调递减，Xx)/i)=o,显然不符合题意，舍去；当 时，由 In xWx 1,得 In 1,即 In1 一：,A*则 / (x) W2a(X 1) (1 J = ()(2以一1),当1,七时，/ (x)W0恒成立，r i -I在1,制上单调递减，当 x1l，明时，/(1) = 0,显然不符合题意，0,舍去.综上可得，+8).