综合能力训练.docx

《综合能力训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《综合能力训练.docx（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、综合能力训练第/卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1.设集合 4 = -l/23,5=234C=xR|lWx3WJ（AnC）U3=（）A.2B.2,3C.-1,2,3D. 1,2,3,42. （2021广西南宁二中高三月考）在ABC中，。是A3边的中点，点在边上，且3=2C,则前二（）KAB-AC B.AB + AC63633设的内角ARC所对的边分别是力c已知2ccos B+bcos A=-cos氏则 B二（）CT4.从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）225 .（2021新高考/,5）已知月产2是椭圆。:？ + 一=

2、1的两个焦点，点M在。上，则 94|MR|.|MF2|的最大值为（）A.13B.12C.9D.66 .已知 558tl3485,设 6z=log53,Z?=log85,c=logi38,Pl!（）X.abcB.bacC.bcaD.cab.（2021广西桂林高三模拟）已知某几何体的三视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形, 则该几何体的体积为（）俯视图-，得如=1+(: +2+/+ 422242011卜万氾n2+ni-Z-1-12n2n2l? f A 2+n 0a 24-?i故刀尸4.声3=+4.尹18.证明:因为3。=。产为线段的中点, 所以CFLBD.因为平面BCZ),Cbu平面BCO,所以。

3、尸，A8 又因为 ABu平面 ABD,BDu平面 ABD,ABHBD=B, 所以。尸，平面ABDDD(2)解:在三棱锥A-BCD中,在平面BCD内作BE_LCD于点E. 以B为原点建立空间直角坐标系，如图所示.由题得 A(0,0,3),3(0,0,0),。(-遮,0),。(-遮,3,0),DA =(信 3,3),瓦?=(0Q3),近=(-V3,l ,0),丽=(-73,3,0).5=ADl(V3,-3,3)=(V3Ar3z3A)(0Al)9所以丽=丽 + 丽=(遮(九1),3(1-力,3幻.设ni=(xi,yi,zi),n2=(x2,y2,z2)分别为平面AB。,平面CBQ的法向量,tBA =

4、 05 (n2BC = 0,-DA = 0, n2,BQ = 09即SX + 3ZL。,-V3x2 + 丫2 = o,+ 3(l-2)y2 + 3az2 = 0.不妨取ni 二(遮,0),n2=(次尢3九2(4-1 ).因为二面角A-8Q-C的正弦值为早,4所以|cos|3/l+3/l|_ V32- I12A2+4(A-1)24解得舍去）或2三. 24因此，震的值为3 DA419 .解:周末运动时间在区间40,50）内的学生有3 000x0.02x10=600（名）.周末运动时间在区间80,90）内的学生有3 000x0.01 x 10=300（名）.按照分层抽样共抽取9名学生，则抽取的周末运

5、动时间在区间40,50）内的学生有6名，周末运动时间在区间80,90）内的学生有3名.所以随机变量X的所有可能取值为01,2,3.H1fif2or2rli rr3ror尸(X=0)二咎=2p(x=l)二咎= p(x=2)=等二|,p(x=3)二咎=堤LgOt-Lf gJL4L9o9/所以随机变量X的分布列为X0123P1843141528521所以风”4+1x-2x|+3xQ.(2)/z=t=35x0.1+45x0.2+55x0.3+65x0.15+75x0.15+85x0.1=58.5,14.6, 所以 43.9=58.5-14.6=-87.7=58.5 + 14.6x2=+2。，所以 P(

6、43.9W87.7)=Pa-o+2Q=l-0.818 6=0.181 4,所以 y5(12,0.181 4),所以 P(Y=3)=C% xO.181 43x0.818 69220x0.006 0x0.165 06Ho.218.20 .(1)解:设椭圆。的焦距为2c.依题意,2c=q=4,c=2,Z?=2a/3.22椭圆。的标准方程为(2)解:由知人(-2,0),设 P(xo,yo),M%,y),过椭圆。上点尸的切线方程为誓+若=1, 1612直线的斜率七针=3，1%。+2则直线MFi的斜率/cmFi =-2,直线MF的方程为y=-*(x+2),即o=-(xo+2)(x+2), y。yo联立，解

7、得x=-8.故点M的轨迹方程为x=-8.证明:依题意及(2),知点MN的坐标可表示为点N在切线上，由式得了%=竽？ 2yo点M在直线MFi上，由式得加=鲍吐2 yoW川 2=您=啜|MB|2 =(2)_(_8)2+* = 36 呼。+ 2产, 4yoy()故”止 =9(久。+8产.光 =j_.(/+8)2 蚁面了-4% 36例+(配+2)2 - 16 %+(配 + 2)2222注意到点P在椭圆C上，即得+4=1, 161222于是 =竺手,代入式并整理得霜故鹄的值为定值去 4叫川 4|MF221 .解:2 段)=ln( 1 +x) +#-x,其定义域为 G1, +8),(X)=(X)=11 x

8、(ax+a-l)一+ax-l 二1+x1+x当=0时当工(。,+00)时/(%)0,则/(%)在区间(0,+00)内单调递减,此 JL I v时次%)勺(0)=0,不符合题意.当00,当x(0,瞥)时/(%)0,则加0在区间(0,+oc)内单调递增，此JL 1 人时五/0)=0,符合题意.当al时，令八二0,得xi=0,x2=型液0)=0,符合题意.综上所述,。的取值范围为1,+00).(2)证明:由(1)可知，当a=0时x)0在区间(0,+oo)上都成立，即ln(l +%)%在区间(0,+oo)上都成立，Infl + rj+lnfl + r + /+白， nz/ nz7 nz7 nz nz

9、nz即时(1+?(1+为(1+孙表由于2N：则答制+如打袅L.(1+*)(1+*)(1+9卜L0在区间(0,+cc)上都成立,即xx2n(l+x)在区间(0,+oo)上都成立, 2XS + S+5)ln(l+*)+ln(l +分+ln(l +nn2即2+i)i2n22-n(n+i)(2n+i)-6n4ln(1+*)(1+总),曰 6n3+4n2-3n-l传 12 6n3 _ i 12n3 . 2,*, ln (1 +工遂(1+*)(1 +京)(1 +黄),(1+3(1 +总)(1+)(1+3(1 +总)(1+)e.22.解：(1)圆C的直角坐标方程为(x-l)2+y2=i,即x2+y2-2x=

10、Q, 所以圆C的极坐标方程为p2-2pcos。=0,即p=2cos 0.(2)设点P的极坐标为3/),Q(P2, e+,则|OP| + |OQ|=2cos 8+2cos(e +1)=3cos O-Vsin 8=2Vcos(e + 蓝)所以当时,|OP| + QQ|取最大值2百.6所以当时,|OP| + QQ|取最大值2百.6r-2x + 2.x -3, 23.解:当 =3 时次x)= 8,-3 % 5.不等式兀x)W10等价于X 3 或.1-2% + 2 10 18 5, 2%-2 10,解得-4Wx-3 或-3WxW5 或 5|说的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

11、充分也不必要条件.已知ABC是面积为竽的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上,若球。的表面积4为16兀，则0到平面ABC的距离为（）A.V3C.lD.2.已知函数段）Js：俨2）:1 x 05A.lB.-29 .如图，已矢口函数 #x）=sin（a% +象自左至右的三个相邻交点，且20| 二 |0?|=?则co+m=（）A.-B.2+C.3D.22212.已知八%尸2/-2+131i）在区间（0,+00）内有且只有一个零点,则/（%）在区间-1,1上的 取值范围为（）A.-4,0B.-4,lr 3C.-l,3D.4,12第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分

12、）13.（2021广西柳州高三三模）若复数z=2+（z+l）i,其中i为虚数单位,则复数z的模为.2214 .（2021广西南宁高三适应性测试）已知双曲线冬一3=1（。力。）的左焦点为为，过 a乙 b乙点Fi的直线与两条渐近线的交点分别为点MM点尸1位于点M与点N之间），且研=2瓦瓦又过点后作于点P（点。为坐标原点），且|ON| = |OP|,则双曲线石的 离心率e=.15 .记“点M（x,y）的坐标满足2+y2Wa（“o）”为事件A,记“点M,y）的坐标满足fx-2y 4,U + y 0.在三棱锥P-ABC中,PA J_平面ABQZBAC=AP=3AB=2V3.Q是边3C上的一动点, 3且直

13、线PQ与平面ABC所成角的最大值为率则三棱锥PA3C的外接球的表面积为.三 解答题（本大题共6小题，共70分）.（12 分）已知数列。中=2,且 z=2zr+2（22,e N*）.（1）求42,。3,并证明“-是等比数列；设为二黑，求数列5的前n项和Sn.2 18.（12分）（2021广西桂林高三联合调研）如图所示，在三棱锥A-BCD中，侧棱A3,平面BCD,F 为线段 BD 的中点,N8CD=空,AB=3,8C=CD=2.3（1）证明平面A3O;19.（12分）（2021山东泰安高三一模）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了 3 000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成频率分布直

14、方图如图所示.频率/组距0.030.020.0150.01 。53力40 50 60 70 80 运动时品(1)按照分层抽样，从周末运动时间在区间40,50)和80,90)内的学生中随机抽取了 9名学 生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生周末运 动时间在区间40,50)内的人数为X,求X的分布列和数学期望；(2)以各组的区间中点值代表该组的各个值.由频率分布直方图可认为:周末运动时间，服 从正态分布其中山为周末运动时间的平均数近似为样本的标准差s,并已求 得K14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名 学生，记周末运动时间

15、在区间(43.9,87.7之外的人数为匕求P(y=3)(精确到0.001).参考数据 1：当 /附,)时/-0/忘+0卜0.682 7,P3-2o，W+2bk0.954 5,P(/-3。$+3犷0.997 3.参考数据 2:0.818 6为0.165 06,0.181 43ko.006 0.22.(12分)已知椭圆。邑+ 3=1(。0)的左、右焦点几放与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆。上任意一点P作椭圆C的切线与直线的垂线相交于点M求点M 的轨迹方程；(3)若切线MP与直线=-2交于点N,求证:舞为定值.20 .(12 分)已知函数x)=ln(

16、 1 +x) +-x2-x(NO).若x)0在区间(0,+oo)上都成立，求。的取值范围；(2)已知e为自然对数的底数，证明VN*,五 (1 +*)(1 +总)(1 +*)e.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写 清题号.21 .(10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为;二:为参数)，现以原点。为极 点/轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆。的极坐标方程；设R。是圆C上的两个动点，且NPOQ=*求IOPI + IOQ的最大值.22 .(10分)选修45:不等式选讲已知函数於)二|工+。|+|%-5|.当i7

17、=3时，求不等式的解集; 若火x)21,求实数a的取值范围.答案：1 .D 角星析/nc=1,2,(ACO=123,4,故选 D.2 .A 解析:前= BD- BE=-AB -BC=-AB -(AC - AB)=-AB -AC.232363.D 解析:由正弦定理可得 2sin Ceos B+sin Bcos A=-sin Acos B,所以 2sin Ceos B=-sin(A+B)=-sin C.因为。(0,兀),所以 since(0,1).所以 cos B=-.2.D 解析:四棱锥的底面可由6个面和6个对角面构成，每个面对应4个四棱锥,故所求概率为P=12X4 _ 6故选D.3 .C 解析

18、:由题意知|M乃| + MFi=6, 则 JIMFJIMF2I 丝也!包=3,2则|M/iHF2|W9,当且仅当|B| 二 |MF2|=3时，等号成立.故|MAHF2|的最大值为9.4 .A 解析:, =log53=log5334=logi2581l, 73 CL 1, b-.334V5584,a =log85 =log8455 1, Z. Z?|.V 134l,.e.c-44 57 .D 解析油题中三视图可知，该几何体是由正方体截去四个角所得,如图.三棱锥Ci-BiDiC的体积为工x工xlxlxl，,故几何体的体积为1-4X - = 326638 .C 解析:AAC 三点不共线,，|荏 +

19、ACBCAB + ACAB - ACAB + 前F|荏一版|2= 荏.前00 荏与前的夹角为锐角.故荏与前的夹角为锐角”是 “I荏+ 1？|阮r的充要条件，故选c.9 .C 解析:设等边三角形ABC的边长为名球。的半径为RCABC的外接圆的半径为r,贝I=史3 4兀R2=16私，A 7744解得a=3,R=2.故 r=- X 6Z=V3. 32设0到平面45。的距离为d,则法+户=R2, 故 d=7R2-丫2 = ,4-3 = 1 .故选C.10 .C 解析:= 1 .若。（-1,。）,贝1 sin（兀/）=1,，二-真若 0,+oo）,则 e二 l, 2V2a-一211 .C 解析油 2|P

20、Q| = |QR|=，得|PQ=*IQR匚?，最小正周期 T=PQ + QR=所以外=兀,解得。=2. a所以/（x）=sin（2% + -） +-.设点PQ的横坐标分别为X1,X2,X2-X1=*根据P.Q的对称性2+2+2l2+?=兀,可解得xi=0,X2=f, 663此时Xx)=l,(cc Tt 1 . TT 1 .2 x 0 + - +-=sin- + -=167 262所以口+m=3.12.B解析:函数/(1)=213-加+ 1(R)在区间(0,+oo)内有且只有一个零点, .*./(%) =2x(3x-ax (0, +oc).当 W 0时=2x(3x-) 0,即函数x)在区间(0,

21、 +oo)内单调递增.由式0)=1, 可知/在区间(0, +8)内没有零点,舍去；当a0时/(x)=2x(3x-)0的解集为% % 、3 j洸)喂 + 1=0,解得 7=3.*./(x)=2x3-3x2+1 ,/,(x)=6x(x-1).工当时式x)在区间Gl,0)内单调递增,在区间(0,1)内单调递减. 又犬-1)=43Ao)=11)=0,函数兀X)在区间-1,1上的取值范围是-4,1.13 .手 解析:因为 z=2+(z+l)i,所以 z(l-i)=2+i,匕匕 I、)2+i(2+i)(l+i) l+3i w . .I/12 , /32V1014 .亭 解析:不妨设点M在第二象限，点N在第

22、三象限，如图所示.洸)喂 + 1=0,解得 7=3.*./(x)=2x3-3x2+1 ,/,(x)=6x(x-1).工当时式x)在区间Gl,0)内单调递增,在区间(0,1)内单调递减. 又犬-1)=43Ao)=10）,I be 则点回(-GO),所以|FiP| = |FN|=*=O.RI所以 ON = OP =y/c2-b2=a,所以|W|二2|BN|=2b,所以 MN = MF + FN=3b.所以 tan ZFi OP=an ZMON=,n NMON=tan(2 NB OP), aa3ba2b 所以事1-滔所以与=穹二4.1 4所以右孚 az az3315.* 解析:如图，由题意可知，事件

23、3表示三角形区域（阴影部分），事件A表示以原点为圆心，以。为半径的圆.若P（引A） = l,则说明圆在三角形区域内，故当实数4取最大值时圆与直线4x-3y+4=0相2切，此时原点到直线4x-3y+4=0的距离d=疯即d= , 4 = | = VH,所以=翌,即寸44+3455/25，的最大值为fl 乙D16.57兀 解析:如图所示，在三棱锥P-ABC中，因为PAJ_平面ABC,所以NPQ4即为直线PQ与平面A3C所成的角，所以 tan/PQA* = 因为NPQA的最大值为率所以tan/PQA的最大值为百，所以AQ的最小值是国,又因为。在边5c上运动，所以点人到3C的距离为百.此时A。，3c因为

24、 A8=2b=2AQ,所以在 Rt/ABQ 中,N48C二二所以 NAC5=7i-NBAC-NABC=： 66设三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,ABC的外接圆圆心为0；取H为PA的中点，连接 AO；OO0H,O4,OP,则。0平面 ABC,所以 00,A0,.因为0A=0P,H为24的中点，所以0HLPA.所以四边形A7/00,是矩形.在ABC 中，=2AO, sin 乙4cB所以=2A0； 2所以AO,二2百，所以H0=A02g.在RSPOH中,由勾股定理得P0ZPH2 + H02 = JQPA)2 + HO2=J(I)2 4- (2V3)2 =4， 2所以三棱锥P-A8C的外接球的半径7?=。0=合,则其表面积S=4tijR2=4h x (合)=57兀17.解：(1)由已知。尸2。-卜+2(三2,1*)得 “2=4,43=7.an-n-2an-2n+2.即。-=2。-卜(/2-1). 厮=2(22,N),且=an-i-(n-l)扇力是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得力=(卜1)2/，即。尸2+4设。尸且前项和为丁小贝I+捺+捻+乙乙乙乙