7.2-7.3 离散型随机变量 -(人教A版2019选择性必修第二、三册) (学生版).docx

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1、离散型随机变量知识剖析一离散型随机变量及其分布列1随机变量概念一般地，对于随机试验样本空间。中每个样本点3,都有唯一的实数X(3)与之对应，我们称X为随机变量.分类随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.Eg:投掷一个骰子，得到的点数为X,它是离散型随机变量，能够一一列举出来；一人一天摄取的卡路里丫，它是连续型随机变量.2分布列概念一般地，设离散型随机变量X可能取的值为, X2/，Xn，X取每一个值=1 ,2 ,，九) 的概率P(X = Xi) = Pi，则称以下表格X%2 %71PP1P2 Pi Pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.性质离散型随机变量的分布列具有下述两个性质(1

2、) Pi0, i = l,2,，n(2) Pi + P2 + . + Pn = l3两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1 PP则称X服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率.二离散型随机变量的数字特征1离散随机变量的均值(数学期望)(1)概念一般地，随机变量X的概率分布列为X%1%2 Xi %7lpPlP2 Pi Pn则称E(X) = %1 Pi+%2 P2 + + %i Pi+ + / p九=忆lUPi为X的数学期望或均值，简称为期望.它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)若y = Q x + b ,其中。力为常数，则y也是

3、变量YaX + baX2 + b aXi + b aXn + bPPiP2 Pi Pn则E (r) = a E(X) + b,即E(a X + b) = a E(X) + b.(利用期望的概念可以证明) (3)一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X) = 1 x p + Ox(l - p)=p 即若X服从两点分布，则E(X) = p.2离散型随机变量取值的方差和标准差(1) 一般地，若离散型随机变量x的概率分布列为则称XXi%2 Xi %nPPlP2 Pi PnD( X) = (%i E(X)2pi + (%2 E(X)2p2 + +(X E(X)2 p = W(u E(X)2 Pi

4、i=l为随机变量X的方差，有时候也记为，(%),并称7W)为随机变量X的标准差，记为X)。随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散.(2)一般地，(a X + b).(可用方差的概念证明)(3) DX = (X2) -E2(X)证明 )( X)=(与 一 E(X)2pi + (%2 - E(X)2p2 + +(%” E(X)pnn=W& - E(X)2 Pji=ln=W区一 2XE(X) + E2(X)0i=ln乏国也一 2xtPiE(X) +非(乂加 i=lnnn=W # Pi

5、 _i=li=li=ly 2%tp/(x)+y E2(x)ptnn%i=li=l=E(X2) - 2E(X) E(X) + E2(X) 1=E(X2) -产=E(X2) - 2E(X)+ F(X)经典例题123456p“1。2a3。4。5a6【题型一】离散型随机变量的分布列性质【典题1】设随机变量f的分布列如表:其中1 ,a2，。6构成等差数列，则。1。6的（）A.最大值为B.最大值为福C.最小值为D.最小值为名936936【典题2】设随机变量f的分布列为尸6 = = ak(k = l ,2 ,3 ,4 ,5),则()A. 15a = 1B. P(0.5 0.8) = 0.2D. P笆=1)

6、= 0.3C. P(0.1 ： 0.5) = 0.2A. m 2B. 0 m 1C. 0 m 2D. 1 m 2巩固练习1()若随机变量X的分布列如表:X-3-20123p0.10.20.20.30.10.1则当P(X V?n) = 0.5时，血的取值范围是()2(巧 设随机变量f的分布列为P(f = 3 = q/c(/c = 1 ,2 ,3 ,4),则P(Jd)等于()435D.A-1D.D.x 9C. EX = 2 fDX = 1.8D. EY = 7 fDY = 16.2【题型二】离散型随机变量的数字特征【典题1】设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量y满足y = 3X + 1,则

7、下列结果正确的有()X01234Pq0.40.10.20.2A. q = 0.2A. q = 0.2B. EX = 2 fDX = 1.4【典题2】已知4 = B = 1,2,3,分别从集合4B中各随机取一个数0,b,得到平面上一个点P(a,b),事件“点 P(a)恰好落在直线+ y =几上”对应的随机变量为X, P(X = 7i) = %, X的数学期望和方差分别为 E(X),D(X),贝女)7A. P4 = 2P2B. P(3 X 5)4C. E(X) = 4D. D(X)=-3【典题3】已知随机变量X的分布列如表:X-101pabc其中q力,c0.若X的方差OX 4 ：对所有a (0 ,

8、1b)都成立，则()1712A. b-B. b-D. b-3333巩固练习1()【多选题】设离散型随机变量X的分布列为X1234P0.20.10.2q若离散型随机变量丫满足y = 2x +1,则下列结果正确的有(A. q = 0.2C. E(X) = 2 ,D(X) = 1.8B. q = 0.2C. E(X) = 2 ,D(X) = 1.8C. E(X) = 3 ,D(X) = 1.4D. E(r)= 7 fD(Y) = 5.6!()【多选题】已知随机变量f的分布列是-101P122P2随机变量?7的分布列是123P122P2则当p在(0 ,1)内增大时，下列选项中正确的是()A. E(9

9、= E&)B.，&) =，()C. E(f)增大D. US)先增大后减小【题型三】求离散型随机变量的分布列【典题1】甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2个黑球;乙袋装有1个白球，3个黑球；现从甲、乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的个数为f,则P(f = 2) =，E(C= .【典题2】甲、乙两名运动员站在4B,C三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在4B, C三处投中的概率均分别为 234设X表示甲运动员投中的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率.【

10、典题3】核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭 子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检 测呈阳性的概率为P(OP%则的取值范围是.?()某游戏的参与者现在从标有5 ,6 ,7 ,8 ,9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌 金(单位：元)；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其 奖金(单位：元)，若随机变量f和分别表示参与者在每一局游戏中的赌金与奖金，则E(f)()= (元)；0(f)。=(元).4()某合资企业招聘大学生时加试英语听力，待测试的小

11、组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男 生人数)，若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为2.求该小组中女生的人数为；若该小 JL D组中每个女生通过测试的概率均为I每个男生通过测试的概率均为;现对该小组中男生甲、男生乙和 43女生丙3人进行测试.记这3人中通过测试的人数为随机变量X,则数学期望为一.春节逛庙会，是中国特有的集吃喝玩乐于一体的传统民俗文化活动，在一次庙会上，有个“套圈 游戏。规则如下：每组每人3个圆环，向4 ,8两个目标投掷，先向目标4连续掷两次，每套中一次得1 分，都没有套中不得分，再向目标8掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主 办方发放奖品.已知

12、小华每投掷一次，套中目标/的概率为套中目标B的概率为j假设小华每次投掷 42的结果相互独立.(1)求小华在一组游戏中恰好套中一次的概率；(2)求小华在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望；(3)小华非常喜欢这个游戏，连续玩了 5组套圈游戏，假设小华每组投掷的结果相互独立，求小华恰有3 组套圈游戏中得2分或者3分的概率.)体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则 患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.对于几(ziEN*)份血液样本，有以下两种检验方式：一是 逐份检验，则需检验几次.二是混合检验，将，2份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那 么这几份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳 性，就需要对它们再次取样逐份检验，则几份血液检验的次数共为几+ 1次.已知每位体检人未患有该疾 病的概率为的(0 p 1),而且各体检人是否患该疾病相互独立.若p = 求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率；某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优” ？请说明理由.