全等三角形常见辅助线作法课件.ppt

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1、知识要点：知识要点：?判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL?如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所先推导出所缺的条件然后再证明缺的条件然后再证明。?一些较难的证明题要添加适当的辅助线添加适当的辅助线构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。构造辅助线的方法：构造辅助线的方法：?1截长补短法。截长补短法。?2平行线法（或平移法）：平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线。?3倍长中线法：倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，

2、从而将分散条件集中在一个三角形内。?4翻折法：翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。1截长补短法（通常用来证明线段和差相等）截长补短法（通常用来证明线段和差相等）?“截长法截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法?“补短法补短法”为把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。?例例1、如图、如图ACBD，EA、EB分别平分分别平分CAB、DBA，

3、CD过点过点E，求证：，求证：AB=AC+BD.分析：本分析：本题题是是线线段和差段和差问题问题的的证证明，基本方法是截明，基本方法是截长补长补短法，即在短法，即在AB上截取上截取AF，使，使AF=AC，这样这样，只要，只要证证明明 FB=BD即可，于是将即可，于是将问题转问题转化化为证为证明两明两线线段相等。段相等。答案答案?证明：证明：在在AB上取点上取点F，使，使AF=AC，连接，连接EF?EA平分平分CAB?CAE=FAE?CAEFAE（SAS）?C=AFE?ACBD?C+D=180?又又AFE+BFE=180?D=BFE?EB平分平分ABD?EBF=EBD?BFEBDE（AAS）?B

4、D=BF?AB=AF+BF?AB=AC+BD分析过程：分析过程：要证：要证：AB=AC+BD需证：需证：AC=AF、BD=BF要证：要证：AC=AF、BD=BF需证：需证：BFEBDE要证：要证：BFEBDE需证：需证：D=BFE要证：要证：D=BFE需证：需证：C=AFE要证：要证：C=AFE需证：需证：CAEFAE?注：注：?（1）若分）若分别别延延长长AC 和和BE，相交于点，相交于点G，能否，能否证证明明结论结论成立？如能，成立？如能，请请你你证证明，明，如不能，如不能，请说请说明理由。明理由。?（2）本）本题题中中E点是否是点是否是CD 的中点，如是，的中点，如是，请证请证明。明。?

5、（3）本题的大前提）本题的大前提AC BD不变，而在以下四个条件：不变，而在以下四个条件：EA 是是 BAC的平分线，的平分线，EB 是是 ABD的平分线，的平分线，E是是CD 的中点，的中点，AB=AC+BD中，任取两个作中，任取两个作为为已知条件，已知条件，另外两个作另外两个作为结论为结论，命，命题题是否成立？是否成立？请请你你说说明理由。明理由。已知：如图，在四边形 ABCD中，BD是ABC的角平分线，的角平分线，AD=CD，求证：BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。证明：在A+C=180例1 BD是是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB（已知

6、）1=2（已证）BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S）A3（全等三角形的对应角相等）1 1AD=DE（全等三角形的对应边相等）2 2 AD=CD（已知），AD=DE（已证）3 3*DE=DC（等量代换）4=C（等边对等角）AD1234BEC 3+4180（平角定义），A3（已证）A+C180（等量代换）已知：如图，在四边形 ABCD中，BD是ABC的角平分线，的角平分线，AD=CD，求证：BA到F，使BF=BC，连结DF。证明:延长A+C=180例2F1 12 23 3*BD是是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）A4在BFD和BCD中3DBF=BC（已知）1=2（已证）12

7、BD=BD（公共边）BCBFDBCD（S.A.S）FC（全等三角形的对应角相等）4=FCC（等量代换）（已证）DF=DC（全等三角形的对应边相等）3+4180 AD=CD（已知），DF=DC（已证）（平角定义）DF=AD（等量代换）A+C1804=F（等边对等角）（等量代换）?练习练习1、在、在RTABC中，中，BAC=90，AB=AC，BD平分平分ABC，CEBD，求证，求证BD=2CE.AEDBC?练习练习2、已知，如图：在、已知，如图：在 ABC中，中，C=2B，1=2，求证：，求证：AB=AC+CD.ABDC?2平行线法（或平移法）平行线法（或平移法）如果题目中含有中点，可以通过中点作

8、平题目中含有中点，可以通过中点作平行线或中位线行线或中位线对于对于Rt,有时可作出斜边的中线有时可作出斜边的中线?例例2、如图，、如图，ABC中，中，ABAC。E是是AB上异于上异于A、B的任意一点，延长的任意一点，延长 AC到到D，使，使CDBE，连接，连接DE交交BC于于F。求证：。求证：EFFD。?3倍长中线法倍长中线法如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。在一个三角形内。复习：复习：如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？可以

9、利用可以利用倍长中线法倍长中线法，即把中线，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形。如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线，延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结BE（也可连结（也可连结CE）。）。1A必有结论：必有结论：ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。BD2CE?例例1、如图、如图1，AD是是ABC的中线，求证：的中线，求证：ABAC2AD?例例2、如图，、如图，AD为为ABC的中线，的中线，ADB、ADC的的平分线交平分线交AB、AC于于E、F。求证：。求证：BE+CFEF分析：本分析：本题题中已知中已知D为为BC的中点，要的中点，

10、要证证BE、CF、EF间间的不等关系，可利用点的不等关系，可利用点D将将BE旋旋转转，使，使这这三条三条线线段在同一个三角形内。段在同一个三角形内。4翻折法翻折法?沿角平分线翻折构造全等三角形沿角平分线翻折构造全等三角形沿高线翻折构造全等三角形沿高线翻折构造全等三角形绕点旋转构造全等三角形绕点旋转构造全等三角形问题：问题：如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。A可以利用角平分线所在可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形直线作对称轴，翻折三角形E来构造全等三角形。来构造全等三角形。方法一：方法一

11、：在在AB上截取上截取 AE=AC，B连结连结DE。DC必有结论：必有结论：ADEADC。1 12 23 3*AED=C，ADE=ADC。ED=CD，问题：问题：如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。A可以利用角平分线所在可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。来构造全等三角形。方法二：方法二：延延 长长 AC 到到 F，使使AF=AB，连结，连结DF。BDC必有结论：必有结论：ABDAFD。B=F，BD=FD，1 12 23 3*FADB=ADF。如图

12、，已知ABC中，AD是是BAC的角平分线，的角平分线，练习练习1 1AB=AC+CD，求证：，求证：C=2B证明证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。A1 12 2*AD是是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）12在AED和ACD中E3 AE=AC（已知）41=2（已证）BDCAD=AD（公共边）AEDACD（S.A.S）B=4（等边对等角）C3（全等三角形的对应角相等)角形的一个外角等于和它3=B+4=2B（三ED=CD（全等三角形的对应边相等）又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）不相邻的两个内角和）EB=DC=ED（等量代换）C=2B（等量代换）如图，已知ABC中

13、，AD是是BAC的角平分线，的角平分线，练习练习1 1AB=AC+CD，求证：，求证：C=2B证明证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。A1 12 2*AD是是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）12 AB=AC+CD，CF=CD（已知）AB=AC+CF=AF（等量代换）在ABD和AFD中BD3C AB=AF（已证）1=2（已证）FAD=AD（公共边）ABDAFD（S.A.S）一个外角等于和它不相邻ACB=2F（三角形的 FB（全等三角形的对应角相等）的两个内角和）CF=CD（已知）ACB=2B（等量代换）B=3（等边对等角）?例例1、如图，在、如图，在ABC中，中，12，ABC2C。求证：求证：ABBDAC。?例例2、如图，在、如图，在ABC中，中，ADBC于于D，BADCAD。求证：求证：ABAC。?例例3、如图，正方形、如图，正方形ABCD中，中，12，Q在在DC上，上，P在在BC上。求证：上。求证：PAPBDQ。