第2-2隐函数、对取数和参数方程求导法则.ppt

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1、第二节函数的求导法则（之二）一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、取对数求导法二、取对数求导法三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数 四、高阶导数四、高阶导数显函数显函数:因变量是由其自变量的表达式表达出来.一、隐函数的求导法则一、隐函数的求导法则例如例如:故y是 x 的函数.但是有些函数，它们自变量与因变量的对应法则是由一个方程所确定.定义定义.如果y与 x 的函数关系是由方程F(x,y)=0给出，则称y是x的隐函数隐函数（implicit function）.例如：例如：问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?令令y=y(x),将方程

2、将方程F(x,y)=0两边对两边对x求导，求导，隐函数求导方法求导方法:两边对 x 求导(注意 y=y(x)(含导数 的方程)定义：定义：如果y与是 x 的函数关系是由方程F(x,y)=0则称y是x的隐函数隐函数（implicit function）.隐函数求导法则隐函数求导法则:给出，解出解出例例1.1.解：解：解得例例2.求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数例例3.求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即例例4.求解解:方程两边对 x 求导得 1.求幂指型函数的导数二、取对数求导法二、取对数求导法求导方法

3、：两边对两边对x求导求导两边取对数两边取对数解方程解方程例例5.求的导数.解解:两边取对数,化为隐函数两边对 x 求导例例6.求的导数.解解:两边取对数,化为隐函数两边对 x 求导2.由若干个函数的积、商及方根组成的函数，也可以用取对数求导法求导两边对 x 求导对方程两边取对数例例7.求的导数.解：解：三、由参数方程确定的函数的求导法三、由参数方程确定的函数的求导法若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数关系,可导,则例例8.8.求曲线所确定的函数的导数解：解：解：解：当例例9.9.求椭圆处的切线方程.椭圆上对应点M0的坐标为处的切线方程：故椭圆化简得四、高阶导数四、高阶导数问题问题:变速

4、直线运动的加速度变速直线运动的加速度.1.定义定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,2.2.高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1 设解解:求特别地解解即例例2 2分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)注注:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,解解:同理可得同理可得例例3.3.类似可证:例例4.4.设方程解：解：两边分别对x求导，有解得解：解：确定的函数的二阶导数例例5.5.求由摆线的参数方程例例6.6.解解:内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法4.高阶导数作业 练习题2.2(P40):3,4,6 复习题2(P57):4(2),(3)5,6思考与练习思考与练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解解:化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为2.设求提示提示:分别用对数微分法求答案答案:,求解解：方程组两边同时对 t 求导,得 3.设4.设由方程确定,解解:方程两边对 x 求导,得再求导,得当时,故由 得再代入 得 求