第2 章凝聚类分析.ppt

《第2 章凝聚类分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2 章凝聚类分析.ppt（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、扩张原理扩张原理1 一元扩张原理一元扩张原理设有映射设有映射由它可以诱导出一个新映射，仍记作由它可以诱导出一个新映射，仍记作f。称称其中其中为为的像。的像。由它还可以诱导出另一个映射，记作由它还可以诱导出另一个映射，记作 。其中其中 的原像。的原像。为为称称定理定理1 1 设设而 则，有定理定理2 2 设设而 则，有定义定义1 1（扩张原理（扩张原理）设有映射设有映射与则由它可以诱导出两个如下映射，分别记为例例1 1 设设 ，,求求(1)；定理定理3 3 设设 ，以及，以及 ,，则有，则有(2)；(3)；(4)；(5)；(6)成立当且仅当成立当且仅当 ,存在存在 ，使得，使得 。(7)。(1)

2、；定理定理4 4 设设 ，以及，以及 ,，则有，则有(2)f是满射，；(3)；(4)；(5);(6)；(7)；(8)。定理定理5 5（1）；当当f f为单射时取等式。为单射时取等式。（2）;当当f f为满射时取等式。为满射时取等式。2 多元扩张原理多元扩张原理定义定义1 1（扩张原理（扩张原理）设有映射设有映射则则 f 可诱导出可诱导出注注1 1：当当n=1n=1时，定义时，定义1 1即为扩张原理即为扩张原理。定理定理1 1 设设则这里这里 ，有例例1 1 设设 ，而而计算计算 ,定理定理2 2 设设 则（则（1）（2）当且仅当当且仅当 ，存在，存在 ，使使 。定理定理3 3 设设 则有则有3

3、 凸凸fuzzy集集定义定义1 1 设设X为向量空间，为向量空间，,称称A是凸是凸fuzzy 集（集（convex fuzzy set）,如果如果 ，有，有注注1 1：若若，则上式等价于，则上式等价于 定理定理1 1 设设A为凸为凸fuzzy集，当且仅当集，当且仅当 证：证：必要性必要性设设 ，截集，截集 是凸集。是凸集。则则 即即故故为凸集。为凸集。充分性充分性记记则则 已知已知故故因此因此 。为凸集，为凸集，定理定理2 2 设设 ，且，且A,B是凸是凸fuzzy集，集，则则 也是凸也是凸fuzzy集。集。证：证：定理定理3 3 设设 ，则，则A是凸是凸fuzzy集的充分集的充分必要条件是必

4、要条件是A满足下列条件之一：满足下列条件之一：（1）A(x)是是R上的不减函数；上的不减函数；（2）A(x)是是R上的不增函数；上的不增函数；（3）存在）存在 ，使，使A(x)在在 内不减，内不减，在在 内不增，而且内不增，而且4 fuzzy数数定义定义1 1（2）（1）A是正规，即存在是正规，即存在 注注1 1：全体全体fuzzyfuzzy数记为数记为 。如果如果称为称为fuzzyfuzzy数（数（fuzzy numberfuzzy number），），使，使 是闭区间。是闭区间。，注注2 2：已知已知A A是是fuzzyfuzzy数，数，若若suppA为有界集；为有界集；（1）A是有界是有

5、界fuzzy数，数，（2）A是正是正fuzzy数，数，若若 ;（3）A是负是负fuzzy数，数，若若 。例例1 1 设设则则注注3：fuzzy数可视为普通数的推广。数可视为普通数的推广。，且，且，即，即A是是fuzzy数。数。，例例2 2 设设易证易证A是是fuzzy数，称为正态型数，称为正态型fuzzy数（数（normal fuzzy number）或）或Gaussian fuzzy数，记数，记A为为(a,)。，且，且例例3 3 设设易证易证A是是fuzzy数，称为梯形数，称为梯形fuzzy数数（trapezoidal fuzzy number），简记为），简记为。，且，且特别地，特别地，A

6、 A为为称为三角形称为三角形fuzzy数（数（triangular fuzzy number）或三角）或三角fuzzy数，简记为数，简记为。若若这时这时A简记为简记为。fuzzyfuzzy数，其隶属函数为数，其隶属函数为，则称，则称A A为对称的三角为对称的三角定理定理1 1 设设是闭区间，是凸集。是闭区间，是凸集。证：当证：当当当根据第根据第3 3节定理节定理1 1知知 A A 是凸是凸fuzzyfuzzy集。集。，则，则 A A 是凸是凸fuzzyfuzzy集。集。，所以所以，因为，因为，是凸集。，是凸集。，则，则定理定理2 2其中其中L(x)L(x)为增函数，右连续，为增函数，右连续，R

7、(x)为减函数，左连续，为减函数，左连续，注注4：fuzzyfuzzy数数A A可记为可记为 。且且当且仅当当且仅当且且其中其中 L 和和 R 是是 的函数，并且的函数，并且L(0)=R(0)=1，L和和R在在 上不增。上不增。，记为记为 。特殊的特殊的fuzzyfuzzy数数（1 1）LRLR型型fuzzyfuzzy数数则则 LR 型型fuzzy数数注注5 5：若取若取 ，即为三角即为三角fuzzy数数 。所有所有LR型型fuzzy数构成的集记为数构成的集记为 。设设 ，则可以推出下面的运算规则则可以推出下面的运算规则其中其中 L 是是 的函数，并且的函数，并且L(x)=L(-x)，L(0)=1，L在在 0,1 上严格递减。上严格递减。当当 时，时，L(x)=0，记为，记为 。（2 2）对称）对称fuzzyfuzzy数数所有对称所有对称fuzzy数构成的集记为数构成的集记为 。显然显然 。分别称分别称 为为A与与B的扩展的扩展加法，扩张减法，扩张乘法，扩张除法。加法，扩张减法，扩张乘法，扩张除法。定义定义2 2 设设 ，而，而*为为 上的二元运算，上的二元运算，其扩张运算为其扩张运算为其中其中 。